2018 年 3 月 20 日挪威科學(xué)與文學(xué)院宣布，將該年度阿貝爾獎(jiǎng)（挪威設(shè)立的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)）授予美籍加拿大數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands），以表彰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所作出的終身成就.他提出的最終以他名字命名的數(shù)學(xué)理論“朗蘭茲綱領(lǐng)”（Langlands program），通過(guò)與素?cái)?shù)的共同聯(lián)系將幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)等概念結(jié)合起來(lái)，在數(shù)學(xué)的眾多分支領(lǐng)域之間架起了“橋梁”.

當(dāng)時(shí)挪威國(guó)王為朗蘭茲頒獎(jiǎng)，致敬這項(xiàng)最新的科研成果.素?cái)?shù)，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最龐大、最古老的數(shù)集，數(shù)學(xué)家們歷經(jīng) 2300 年的努力一直在不斷探索它的奧秘.那么是什么吸引無(wú)數(shù)杰出的數(shù)學(xué)家，數(shù)千年來(lái)前仆后繼地投身于素?cái)?shù)研究中？

為了研究素?cái)?shù)，數(shù)學(xué)家們利用素?cái)?shù)篩選算法，將正整數(shù)進(jìn)行篩選，并將僅剩的素?cái)?shù)保留下來(lái).在 19 世紀(jì)，用試除法來(lái)篩選獲得了數(shù)百萬(wàn)以內(nèi)的素?cái)?shù)列表.當(dāng)然，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)可以在不到一秒鐘的時(shí)間內(nèi)找出數(shù)十億以內(nèi)的素?cái)?shù)，但所用篩法的核心思想 2000 年來(lái)從未改變.

公元前 300 年，亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家歐幾里得描述到：“素?cái)?shù)是只能用 1 來(lái)計(jì)數(shù)的數(shù).”這意味著素?cái)?shù)不能被除了 1 以外的任何小于自身的數(shù)整除.并且為了保證整數(shù)的唯一分解，數(shù)學(xué)家們并不把 1 看作素?cái)?shù).此外，歐幾里得還證明了素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的、沒(méi)有窮盡.

公元前 200 左右，古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出了素?cái)?shù)的快速篩選法，這是一種簡(jiǎn)單且古老的篩法，用來(lái)找出一定范圍內(nèi)所有的素?cái)?shù).

埃拉托斯特尼素?cái)?shù)篩法的思路是這樣的：首先，留下 2 ，把 2 的倍數(shù)都劃掉;2 后面第一個(gè)沒(méi)劃去的數(shù)是 3 ，留下 3 ，把 3 的倍數(shù)都劃掉;然后留下 5 ，把 5 的倍數(shù)都劃掉;再留下 7 ，把 7 的倍數(shù)都劃掉.如此這般，將最小的四個(gè)質(zhì)數(shù)——2，3，5，7——的倍數(shù)依次篩掉.此時(shí)，下一個(gè)未被篩掉 11 的平方已經(jīng)大于 100，所以停止.這樣在 2 到 100 之間的整數(shù)只執(zhí)行這 4 次篩選，最終只留下了素?cái)?shù)集合.

從 1 ～ 100 之間的數(shù)字中篩除 2， 3， 5 和 7 的倍數(shù)，留下就是素?cái)?shù)再通過(guò)8次篩選，可以分離出 400 以內(nèi)的全部素?cái)?shù).通過(guò) 168 次篩選，可以分離出 100 萬(wàn)以內(nèi)的全部素?cái)?shù).這便是埃氏篩法的強(qiáng)大之處.

為素?cái)?shù)制表的早期代表人物是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·佩爾（John Pell），他致力于將有用的數(shù)字制成表格.其研究動(dòng)力來(lái)源于對(duì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantos） 所提出的古老算術(shù)問(wèn)題的研究熱情，還來(lái)自于對(duì)數(shù)學(xué)真理進(jìn)行系統(tǒng)整合的個(gè)人追求.由于他的不懈努力，在 18 世紀(jì)早期 10 萬(wàn)以內(nèi)的素?cái)?shù)得以廣泛傳播.截止 1800 年，各種獨(dú)立的研究項(xiàng)目列出了百萬(wàn)以內(nèi)的全部素?cái)?shù).

為了將這項(xiàng)繁瑣的篩選工作自動(dòng)化，德國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！づd登堡 （Carl Friedrich Hindenburg）使用一種可調(diào)節(jié)的滑塊，一次性排除整張紙上的所有倍數(shù).另一種技術(shù)含量低卻高效的方法是使用模板來(lái)定位特定素?cái)?shù)的倍數(shù).到19世紀(jì)中葉，奧地利數(shù)學(xué)家雅各布·庫(kù)利克（Jacob Kulik）開展了一個(gè)項(xiàng)目：找出 1 億以內(nèi)的所有素?cái)?shù).但直至庫(kù)利克逝世，這些工作還沒(méi)有完成，不過(guò)已經(jīng)找出來(lái)的素?cái)?shù)填滿了4212頁(yè)表格.

如果不是"數(shù)學(xué)王子"高斯（Carl Friedrich Gauss）決定對(duì)素?cái)?shù)自身進(jìn)行分析整理，這樣一套“大數(shù)據(jù)”的結(jié)果可能也僅限于用作素?cái)?shù)參考表.

17 世紀(jì)，對(duì)數(shù)表的誕生大大推動(dòng)了天文、航海的蓬勃發(fā)展.一本作為給高斯生日禮物的對(duì)數(shù)工具書后附錄了一張300萬(wàn)以內(nèi)的素?cái)?shù)表，這個(gè)在旁人看起來(lái)無(wú)實(shí)際用途的表格卻激發(fā)了他的強(qiáng)烈興趣.他開始著手進(jìn)行數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)工作.

他每次以 1000?個(gè)數(shù)為一組，分別計(jì)數(shù)這一范圍內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù).先計(jì)數(shù) 1000 以內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，接著是 1001 到 2000 之間，然后是 2001 到 3000 之間，以此類推，高斯開始探索這個(gè)在旁人看來(lái)毫無(wú)樂(lè)趣的素?cái)?shù)列表.

高斯發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)值增大，素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率會(huì)逐漸降低，遵循“反對(duì)數(shù)”定律.雖然高斯的素?cái)?shù)分布定理并沒(méi)有算出素?cái)?shù)數(shù)目的精確值，但他給出了一個(gè)非常好的近似值.例如，根據(jù)素?cái)?shù)定理預(yù)測(cè)在 1000000 到 1001000 之間存在 72 個(gè)素?cái)?shù)，而正確結(jié)果是 75，誤差在 4% 左右.由此，他提出一個(gè)猜想：?π（x）≈x/lnx，其中?π（x）為不大于 x 的素?cái)?shù)個(gè)數(shù).也就說(shuō)當(dāng) x 趨近無(wú)限時(shí)，有下式成立：.

而在這個(gè)猜想提出一個(gè)世紀(jì)之后，這個(gè)稱之為素?cái)?shù)定理（prime number theorem）才得到了證明.

隨著素?cái)?shù)計(jì)數(shù)范圍越來(lái)越大，估計(jì)值與真實(shí)值的相對(duì)誤差將趨近于 0.懸賞百萬(wàn)獎(jiǎng)金、位列當(dāng)今數(shù)學(xué)界七大難題之一的黎曼猜想（Riemann hypothesis），也描述了高斯定理估算的精確程度.

素?cái)?shù)定理和黎曼猜想已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注，但它們?cè)谠缙冢际菑目菰锏乃財(cái)?shù)表數(shù)據(jù)分析開始的.現(xiàn)在，我們獲取數(shù)據(jù)的方式都來(lái)自于計(jì)算機(jī)程序的運(yùn)算，不再需要手算篩選，但數(shù)學(xué)家們?nèi)栽趯ふ已芯克財(cái)?shù)的新模式.除了 2 和 5 之外，所有素?cái)?shù)都以 1，3，7 或 9 結(jié)尾.19 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)末位數(shù)字在素?cái)?shù)中存在相同的出現(xiàn)頻率.換句話說(shuō)，如果你計(jì)數(shù)到 100 萬(wàn)，25%的素?cái)?shù)末位為 1，25% 末位為 3，25% 末位為 7，25% 末位為 9.

除了 2 和 5 之外，所有素?cái)?shù)都以 1，3，7 或 9 結(jié)尾.19 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)末位數(shù)字在素?cái)?shù)中存在相同的出現(xiàn)頻率.末位為1，3，7，9的素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率

幾年前，斯坦福大學(xué)的數(shù)論學(xué)家萊姆克·奧利弗（Lemke Oliver） 和坎南·桑德拉賈恩（Kannan Soundararajan）在實(shí)驗(yàn)中觀察素?cái)?shù)及下一個(gè)相鄰素?cái)?shù)的末位數(shù)字規(guī)律，意外發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題.例如，23 之后的素?cái)?shù)是 29，它們的末位數(shù)字是前 3 后 9.那么，相鄰兩個(gè)素?cái)?shù)的末位數(shù)字，是前 3 后 9 常見(jiàn)，還是前 3 后 7 常見(jiàn)呢？

數(shù)論學(xué)家們預(yù)計(jì)這些數(shù)據(jù)會(huì)存在一些差異，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果遠(yuǎn)超出預(yù)期.將相鄰素?cái)?shù)末位數(shù)字對(duì)按照間距不同進(jìn)行分組，譬如，23 與 29 間距為 6.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，像 23 和 29 這樣前 3 后 9 的素?cái)?shù)對(duì)的占比，超過(guò)先 7 后 3 的素?cái)?shù)對(duì)占比，盡管這兩種相鄰素?cái)?shù)對(duì)的間距都6.雖然數(shù)學(xué)家們很快給出了一種較為可信的解釋，但是，當(dāng)研究連續(xù)素?cái)?shù)時(shí)，大部分的數(shù)學(xué)家還局限在分析數(shù)據(jù)進(jìn)而尋找合理解釋的階段，距離揭示真相的唯一標(biāo)準(zhǔn)——數(shù)學(xué)上的證明，似乎還需要很長(zhǎng)一段路要走.