李加祿

波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)，怎樣解題是數(shù)學(xué)教師永恒的探究課題.在此筆者對(duì)一道中考試題進(jìn)行評(píng)析和多角度探解，充分挖掘一類幾何問題的育人功能.在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度探究，使學(xué)生熟練掌握知識(shí)的關(guān)聯(lián)、方法的貫通，獲得通性通法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

2020年武漢市中考第23題：

二、試題評(píng)價(jià)

1.立足學(xué)生基礎(chǔ)，巧設(shè)問題梯度

本題是以初中非常典型的“手拉手”旋轉(zhuǎn)相似模型為背景的幾何探究壓軸題，表述簡潔明了，對(duì)問題的設(shè)置精準(zhǔn)到位，低起點(diǎn)、小坡度、高落點(diǎn)，體現(xiàn)了設(shè)問的層次感，拾級(jí)而上.應(yīng)該說學(xué)生對(duì)這一模型背景是熟悉的.試題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，解法多樣，能較好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

第（1）問考查了相似三角形的判定，由已知的相似條件得到對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而利用角的等式性質(zhì)得到∠BAD=∠CAE，從而順利得證.這是典型的低起點(diǎn)，注重對(duì)“雙基”的考查.學(xué)生對(duì)第一問的順利解答，不僅增強(qiáng)了解題的信心和勇氣，也為解答第（2）問打下了基礎(chǔ).

第（3）問難度加大，要求學(xué)生具有構(gòu)造完整的數(shù)學(xué)模型和熟練應(yīng)用模型的能力，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維和發(fā)散思維的考查，對(duì)學(xué)生計(jì)算、類比探究、邏輯推理、幾何構(gòu)圖等能力的要求較高，靈活巧妙的轉(zhuǎn)化與化歸，體現(xiàn)了幾何的魅力和思維的精巧.此問命題者有意設(shè)置“一題多解、一題多圖、多解歸一”的情形，對(duì)學(xué)生的思維要求較高，呈現(xiàn)了試題的區(qū)分度，真正體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的收獲與發(fā)展.

2.探尋問題本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思想

愛因斯坦說：“當(dāng)一個(gè)人忘掉了他在學(xué)校所接受的東西，剩下來的才是教育.”這里所說的“剩下來的”就是思想方法，思想點(diǎn)亮人生，實(shí)現(xiàn)終身學(xué)習(xí)與發(fā)展.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型.第（2）問中通過添加輔助線（連接CE）轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型解決問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸思想.問題（3）圖3中已有一個(gè)確定形狀的Rt△BCD，再構(gòu)造一個(gè)與之形狀相同、大小確定的三角形組成“手拉手”相似模型即可使圖形產(chǎn)生聯(lián)系，再把分散的條件集中在某個(gè)直角三角形中求解線段長度，這就是問題的本質(zhì)和內(nèi)涵所在.而△BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都可以作為公共頂點(diǎn)構(gòu)造“手拉手”幾何模型，形成了多種構(gòu)造方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，和而不同，美美與共.

3.設(shè)問豐富多樣，彰顯核心素養(yǎng)

史寧中教授認(rèn)為，最基本的數(shù)學(xué)思想有三種：抽象、推理和建模.數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.在解決新問題時(shí)，能不能把新問題轉(zhuǎn)化為已知的幾何模型，這就體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).如第（2）問，需要學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，通過對(duì)第（1）問的前期分析和理解，添加輔助線構(gòu)造模型.又如第（3）問中以確定形狀的Rt△BCD的每個(gè)頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)構(gòu)造“手拉手”幾何模型有多種構(gòu)造方法;由條件∠BAD=∠CBD=30°聯(lián)想再作一個(gè)30°的角構(gòu)造“一線三等角”幾何模型.本題的三個(gè)設(shè)問層層遞進(jìn)，螺旋上升，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從認(rèn)識(shí)模型、應(yīng)用模型和構(gòu)造模型三個(gè)方面展開，既有幾何證明，又有比例和線段求值，設(shè)問豐富多樣，靈活漸變，有效地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

評(píng)析：考慮到直線AB同側(cè)有兩個(gè)相等的角∠BAD=∠CBD=30°，于是聯(lián)想再作一個(gè)30°的角構(gòu)造“一線三等角”相似模型求解.相比前面6種解法，解法7構(gòu)圖簡單，學(xué)生很容易想到，但繁難的數(shù)學(xué)計(jì)算讓學(xué)生望而生畏，淺嘗輒止.同時(shí)這一問也體現(xiàn)了命題者用心良苦，為學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生多開了一扇門，很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

四、教學(xué)導(dǎo)向

1.提高識(shí)圖能力，培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)

識(shí)圖能力是求解幾何問題的基礎(chǔ)。在平時(shí)的教學(xué)中教師不僅要讓學(xué)生觀察、分析圖形各個(gè)元素之間的關(guān)系，更要鼓勵(lì)學(xué)生多畫圖，特別是根據(jù)題目的文字語言畫出圖形.在畫圖過程中，學(xué)生會(huì)對(duì)圖形各元素之間的關(guān)系有更清晰的認(rèn)識(shí)，也會(huì)對(duì)圖形的性質(zhì)有更深刻的理解.如本題的第（2）問，若學(xué)生能用變換的觀點(diǎn)來分析問題，識(shí)破與第（1）問結(jié)論有密切的關(guān)系，那么突破添加輔助線的難點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的“手拉手”相似模型，問題便迎刃而解了.對(duì)于殘缺不全的圖形，教師應(yīng)化動(dòng)為靜，以提高學(xué)生的識(shí)圖能力和分析推理能力，進(jìn)而培養(yǎng)其幾何直觀素養(yǎng).

2.關(guān)注基本幾何圖形，培養(yǎng)幾何構(gòu)圖能力

如何構(gòu)造輔助線（或圖形）是幾何教學(xué)的難點(diǎn)，也代表著幾何解題的最高水平.由本題第（3）問中的7種解法可知，問題主要考查學(xué)生對(duì)基本幾何圖形（“手拉手”和“一線三等角”相似模型）的構(gòu)圖能力，邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).在平時(shí)的教學(xué)中，教師要不斷給學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想，面對(duì)較為復(fù)雜的幾何問題時(shí)，我們要認(rèn)真分析圖形，從中找出基本圖形，分析圖形之間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，然后運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理或計(jì)算，從而快速找到解題的突破口，同時(shí)也要善于總結(jié)基本圖形，歸納解題模型，積累解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖和構(gòu)圖能力.

3.注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)理解，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力

章建躍博士認(rèn)為：“理解數(shù)學(xué)，理解教學(xué)，理解學(xué)生是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，關(guān)鍵是理解，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重在理解.數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是組織和構(gòu)造模型的過程.每個(gè)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)都是一個(gè)基本模型，若干基本模型可以組成復(fù)合模型，從具體問題中識(shí)別、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型可以考查和訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、分析能力、建模能力，幫助學(xué)生深刻地理解知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.這樣才能看清知識(shí)的“前生”與“后世”，才能懂得知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，掌握知識(shí)體系與結(jié)構(gòu)，真正做到理解數(shù)學(xué)，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力.

責(zé)任編輯 邱 艷