肖蕊梅 江新華 李明遠(yuǎn)

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

Raman散射是基于光與物質(zhì)作用后產(chǎn)生的對(duì)稱分布在Rayleigh散射光兩側(cè)的非彈性光散射效應(yīng)，可通過(guò)散射光與入射光相比頻率的位移分析被散射分子的組成和結(jié)構(gòu)。Raman光譜技術(shù)廣泛應(yīng)用于食品質(zhì)量[1]、生物醫(yī)藥[2]、刑事偵查[3]和環(huán)境保護(hù)[4]等領(lǐng)域，因此對(duì)Raman散射的研究有著重要的實(shí)際意義。

Lie等[5]提出受激Raman散射中的分子振動(dòng)模型可以用阻尼和外部正弦場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的Morse振子的經(jīng)典方程來(lái)描述

y″(t)+αy′(t)+(1-e-y)e-y=Acosωt

式中，t為時(shí)間變量，y代表振子的振幅,也是時(shí)間t的函數(shù)，α為阻尼系數(shù)，A為調(diào)制強(qiáng)度，ω為驅(qū)動(dòng)頻率。他們利用四階Runge-Kutta法得到數(shù)值解，當(dāng)阻尼系數(shù)α在0.001～0.4之間(此時(shí)阻尼極限較弱)且驅(qū)動(dòng)頻率ω較大時(shí)，以ω為橫坐標(biāo)，振子的最大振幅ymax為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系作圖，發(fā)現(xiàn)圖像中間部分會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的上下兩個(gè)分支，即雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，解到底收斂于哪個(gè)分支取決于初始條件和驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的相位。如果驅(qū)動(dòng)頻率從小到大開始變化，隨著驅(qū)動(dòng)頻率的增加，ymax的增長(zhǎng)非常緩慢且一直收斂于下分支，直到某一個(gè)臨界點(diǎn)，ymax會(huì)突然增大并跳到上分支，接下來(lái)又會(huì)迅速減??；如果驅(qū)動(dòng)頻率從大到小變化，ymax將從上分支開始迅速增大，直到某一個(gè)臨界值，突然下降到下分支，體現(xiàn)了解的滯后現(xiàn)象。由于Stokes波強(qiáng)度的急劇增長(zhǎng)與分子振幅的突然增加有關(guān)，一般的諧振子模型無(wú)法解釋Stokes波強(qiáng)度的急劇增長(zhǎng)現(xiàn)象，而Morse振子模型卻可以很好地解釋分子振幅的突然增加，因此該模型可以用來(lái)描述受激Raman散射中的分子振動(dòng)，進(jìn)而解釋Stokes波強(qiáng)度的急劇增長(zhǎng)現(xiàn)象。

本文旨在研究受激Raman散射分子振動(dòng)數(shù)學(xué)模型在小阻尼且弱驅(qū)動(dòng)下的初值問(wèn)題

(1)

其中ε是擾動(dòng)系數(shù)，通常0<ε?1，α、ω為正常數(shù)。首先我們利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明初值問(wèn)題(1)的解是存在唯一的，進(jìn)而利用攝動(dòng)方法求出漸近解的首項(xiàng)并給出余項(xiàng)估計(jì)，從而證明漸近解的一致有效性。

1 解的存在唯一性

為證明解的存在唯一性，作變量代換，令

y(t)=εv(t)

代入式(1)得

(2)

記

M0(ε0)=K0[(α+2ω)(2+ε0ω)+α·(1+ε0ω)2]

故T、M、M0(ε0)、K0也為正常數(shù)。

接下來(lái)將證明定理1，將式(2)寫成積分方程的形式

v=F(v)=F1(v)+F2(t)

(3)

其中，

(4)

(5)

記

(6)

由于

故?ε2>0，當(dāng)0<ε≤ε2?1時(shí)

即

(7)

由于

故?ε3>0，當(dāng)0<ε≤ε3?1時(shí)

|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|≤6

即

|2e-2εξ-e-εξ-1|≤|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|·|εξ|≤6ε|ξ|

(8)

由于

故?ε4>0，當(dāng)0<ε≤ε4?1時(shí)

(9)

下面證明F(v)=F1(v)+F2(t)是定義在連續(xù)函數(shù)空間上的壓縮映像，從而用不動(dòng)點(diǎn)定理證明定理1。

取ε0=min {ε1,ε2,ε3,ε4}，由于

(10)

由式(6)、(7)可知，當(dāng)|v|≤M，0<εt≤T時(shí)

|F1(v)|≤2×2|εv|×|v|×t≤4M2T

(11)

通過(guò)計(jì)算F2(t)可知，當(dāng)0<ε≤ε0?1時(shí)

即

F2(t)≤M0(ε0)

(12)

將式(11)、(12)代入式(3)得

|F(v)|≤|F1(v)|+|F2(t)|≤M0(ε0)+4M2T

令

M0(ε0)+4M2T≤M

(13)

接下來(lái)證明F：v→F(v)為壓縮映射，由式(3)可得

(14)

其中，

由于v1∈v,v2∈v，故|v1|≤M,|v2|≤M，則有

g′(v)=2e-2εv-e-εv-1

根據(jù)不等式(8)和拉格朗日中值定理?ξ∈(v1,v2)，|ξ|≤M，有

|g(v2)-g(v1)|=|g′(ξ)(v2-v1)|≤|2e-2εξ-e-εξ-1||v2-v1|≤6εM|v2-v1|

(15)

將式(15)和0<εt≤T代入式(14)得

|F(v1)-F(v2)|≤12εM|v1-v2|t≤12MT|v1-v2|

令

12MT<1

(16)

2 多重尺度法求近似解

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中對(duì)多重尺度法的介紹，可取兩時(shí)間尺度分別為t1=t，t2=εt，代入式(1)得

(17)

令

y=εy0+ε2y1+ε3y2+…

(18)

故

(19)

將式(18)、(19)代入到式(17)，并令ε的一次冪系數(shù)相等得

解得

(20)

令ε的二次冪系數(shù)相等得

解得

為消除長(zhǎng)期項(xiàng)，需滿足

解得

(21)

將式(21)以及t1=t，t2=εt代入到式(20)得

(22)

3 余項(xiàng)估計(jì)

定理2在0<ε≤ε0?1，0<εt≤T時(shí)，有|y(t)-εy0(t)|=ε|v(t)-y0(t)|≤ε2M3(ε0,T)，其中M3(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。

令v(t)=y0(t)+R(t)，代入式(2)得

(23)

其中

將初值問(wèn)題(23)寫成積分方程的形式

由式(6)知|φ(t,τ)|≤2，則

|R|≤s1(t)+s2(t)+s3(t)

(24)

根據(jù)不等式(9)

(25)

(26)

利用Maple軟件計(jì)算s3(t)可知

其中

通過(guò)Maple軟件計(jì)算可知，存在常數(shù)ε和T，當(dāng)0<ε≤ε0?1，0<εt≤T時(shí)，有

s3(t)≤εM1(ε0,T)

(27)

其中M1(ε0,T)是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)。

將式(25)～(27)代入到式(24)得

(28)

其中M2(ε0,T)也是與ε0和T有關(guān)的正常數(shù),且

由文獻(xiàn)[7-8]可知，當(dāng)0<ε≤ε0?1，0<εt≤T時(shí)，存在與ε0和T有關(guān)的正常數(shù)M3(ε0,T)，使得

|R|≤εM3(ε0,T)

根據(jù)第2節(jié)求得的漸近解首項(xiàng)為εy0，故

|y-εy0|≤ε|R|≤ε2M3(ε0,T)

由此可知第2節(jié)求得的漸近解首項(xiàng)是一致有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用多重尺度法求解了受激Raman散射分子振動(dòng)數(shù)學(xué)模型中初值問(wèn)題的漸近解首項(xiàng)，并證明了初值問(wèn)題的解的存在性和漸近解的一致有效性，但不足之處是只求解了漸近解的首項(xiàng)，且在選取時(shí)間尺度時(shí)僅選取了兩個(gè)時(shí)間尺度，故求得的近似解不夠精確。若要得到更高的精確度，可計(jì)算漸近解的后幾項(xiàng)或者選取多重時(shí)間尺度，當(dāng)然計(jì)算量也會(huì)隨之增加。