費 騰 尹 龍 信春玲 何亞東,2*

(北京化工大學(xué) 1.機電工程學(xué)院； 2.教育部高分子材料加工裝備工程研究中心， 北京 100029)

引 言

冷卻單螺桿通常用在串聯(lián)擠出發(fā)泡生產(chǎn)線中，主要用于冷卻聚合物熔體，以優(yōu)化熔體的強度和應(yīng)變硬化性能，從而得到高質(zhì)量的發(fā)泡產(chǎn)品。隨著串聯(lián)擠出生產(chǎn)線生產(chǎn)優(yōu)質(zhì)發(fā)泡材料的趨勢不斷擴大，人們對于冷卻效果更好的冷卻螺桿的需求也與日俱增。因此，如何提高螺桿的冷卻效果已經(jīng)成為聚合物發(fā)泡過程中十分重要的環(huán)節(jié)。

冷卻單螺桿擠出機的螺桿幾何形狀對于生產(chǎn)線的經(jīng)濟運行和泡沫產(chǎn)品的質(zhì)量至關(guān)重要，可以通過改變螺桿幾何形狀和熔體流動形式來提高螺桿的冷卻效果。傳統(tǒng)冷卻單螺桿通常采用多頭開槽螺桿，相對于傳統(tǒng)螺桿，人們開發(fā)了不同類型的高性能冷卻螺桿。例如，Rauwendaal[1]發(fā)明了一種高性能熱傳遞(HHT)螺桿，該螺桿通過多頭螺棱的相互交錯改變?nèi)垠w的流動形式，從而提高二階擠出機的冷卻能力。Fogarty[2]開發(fā)的Turbo螺桿在大導(dǎo)程多頭螺桿的螺棱上開設(shè)矩形窗口，使各螺槽連通并形成循環(huán)通道，提高了螺桿的冷卻能力。Barr[3]開發(fā)了能量傳遞提升的螺桿，該螺桿通過不同高度的螺棱來改變?nèi)垠w流動形式，降低了熔體的溫度梯度，使得熔體的溫度分布更加均勻。但是，冷卻單螺桿一直是由擠出機制造商根據(jù)與泡沫制造商簽訂的保密協(xié)議而開發(fā)的，關(guān)于冷卻單螺桿的設(shè)計信息很少。

數(shù)值計算方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在模擬聚合物加工的各種設(shè)備中，對于冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的傳熱研究也多集中在數(shù)值模擬方面。例如，Han[4]通過數(shù)值模擬方法分析了廣泛用于熱塑性泡沫擠出的冷卻單螺桿擠出機的性能，結(jié)果表明，黏性剪切生熱是導(dǎo)致熔體溫度升高的主要原因之一。Wang等[5]通過伽遼金數(shù)值模擬的方法研究了多頭螺紋螺桿構(gòu)型對聚合物熔體均質(zhì)化和冷卻效果的影響，發(fā)現(xiàn)熔體在多頭螺桿中的剪切應(yīng)力較高，同時較長的停留時間促進了混合和冷卻。范濤等[6]運用polyflow軟件研究了螺棱斷面形狀對單螺桿擠出機熔融輸送段熔體溫度分布的影響，結(jié)果顯示梯形斷面的螺桿相對于矩形、鋸齒形斷面的螺桿更有利于熱量傳遞。陳佳興等[7]運用polyflow軟件研究了橡膠在單螺桿擠出機內(nèi)的三維非等溫流動問題，結(jié)果表明，由于膠料自身的剪切變稀特性和溫度依賴性，壓力與溫度上升的趨勢會隨著轉(zhuǎn)速的升高而減緩。以上這些數(shù)值模擬方法需要建立模型、劃分網(wǎng)格和迭代求解，整個過程較為復(fù)雜。本文基于聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)傳熱提出一種簡便的數(shù)學(xué)模型，通過引入平均溫度來表征螺槽深度方向的溫度變化，利用平均剪切速率簡化黏性生熱的計算，將冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的三維流動與傳熱問題轉(zhuǎn)化成二維平面問題，建立了冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體傳熱模型；基于該模型分析了螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)及工藝參數(shù)對聚合物熔體傳熱過程的影響；通過計算流體動力學(xué)(CFD)數(shù)值模擬的方法驗證了傳熱模型的準(zhǔn)確性。

1 聚合物熔體傳熱模型

1.1 幾何模型

如圖1所示，將螺槽和機筒展開在兩個平面上，沿螺槽方向為z方向，垂直于螺槽方向為y方向，建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系。螺槽深度為H，螺槽寬度為W，螺紋升角為φ，沿螺槽方向的速度分量為Vbz，垂直于螺槽的速度分量為Vbx。

圖1 螺槽和機筒展開后的幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 The geometry of the screw channel and barrel after unfolding

1.2 數(shù)學(xué)模型

基于聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)的流動，做出以下基本假設(shè)：

1)熔體為不可壓縮流體，流動定常；

2)熔體不受重力作用，不考慮熔體的體積力與慣性力的作用；

3)不考慮間隙漏流，忽略螺棱與機筒內(nèi)表面的間隙的影響；

4)壓力只是x、z方向的函數(shù)；

5)熔體在壁面不會產(chǎn)生滑移；

6)在x和z方向上的熱傳導(dǎo)可忽略不計，取y方向上的平均溫度表征該方向的溫度變化；

7)螺槽的曲率忽略不計。

基于以上基本假設(shè)，聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)滿足如下能量方程。

(1)

式中，D為螺桿直徑，m；N為螺桿轉(zhuǎn)速，r/min。

以冪律流體作為聚合物熔體的本構(gòu)方程，則冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體黏性生熱的計算公式如下所示。

式中，K為聚合物熔體的稠度，Pa·sn；n為非牛頓指數(shù)。

結(jié)合能量方程(1)給出各位置的邊界條件如下。

在螺槽底部y=0位置的運動邊界條件為

在機筒表面y=H位置的運動邊界條件為

在螺槽底部y=0和在機筒表面y=H位置的熱邊界條件為

(2)

式中，αs為螺桿表面的對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；αb為機筒表面的對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；Ts為螺桿表面溫度，℃；Tb為機筒表面溫度，℃。

入口邊界條件為

T|z=0=T0

(3)

式中，T0為聚合物熔體的入口溫度，℃。

對能量方程(1)沿螺槽深度方向進行積分，得到冷卻單螺桿內(nèi)熔體溫度變化。

(4)

基于假設(shè)vz只是x、y的函數(shù)，與z無關(guān)，式(4)左側(cè)可以表示為

(5)

于是有

(6)

將式(6)代入式(5)，得到

由潤滑近似和冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體質(zhì)量守恒[8]可以得到

式中，Gm為聚合物熔體的產(chǎn)量，kg/h；W為螺槽寬度，mm。

于是有

(7)

當(dāng)引用平均溫度表示熔體在螺槽中的溫度變化時，結(jié)合熱邊界條件式(2)，方程(4)右側(cè)第一項可表示為

(8)

方程(4)右側(cè)第二項可以表示為

(9)

將式(7)、(8)、(9)代入式(4)，可得

(10)

對能量方程(10)進行截面積分，得到周向截面平均，即

(11)

通常大直徑螺桿能夠進行螺桿內(nèi)部冷卻，小直徑一般無法設(shè)置螺桿冷卻，即αs=0，螺桿為絕熱邊界，則方程(11)簡化成如下形式。

(12)

Keum[9]給出了冪律流體在機筒表面的對流換熱系數(shù)和修正系數(shù)C(n)。

冪律流體在機筒表面的對流換熱系數(shù)計算如下所示。

(13)

式中，L為螺桿長度，m；P為聚合物熔體受到的壓力，Pa。

其中，修正系數(shù)C(n)為

將式(13)和入口邊界條件(3)代入方程(12)中，并對方程(12)進行求解，可得到冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體沿著螺槽通道的平均溫度分布，即聚合物熔體的傳熱理論分析模型為

2 傳熱理論模型參數(shù)分析

聚合物熔體在冷卻單螺桿中傳熱過程相當(dāng)復(fù)雜，熔體溫度變化也受到多種因素影響。影響熔體傳熱的因素主要可以歸納為被加工材料的物性參數(shù)、加工過程中的操作工藝參數(shù)和螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)三大類[10]，本文基于聚合物熔體傳熱理論分析模型，選取螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與操作工藝參數(shù)作為研究對象，探究它們對聚合物熔體冷卻過程的影響。

選取直徑45 mm的螺桿，螺棱寬度按照0.8%D的原則選取，螺棱法向?qū)挾葹?.5 mm，選擇四頭螺紋，采用聚苯乙烯熔體作為物料，機筒溫度設(shè)置為100 ℃，熔體入口溫度為200 ℃。研究螺槽深度、螺紋升角、螺桿轉(zhuǎn)速和產(chǎn)量這4個參數(shù)對熔體降溫過程的影響，具體參數(shù)值見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)、工藝參數(shù)和物性參數(shù)Table 1 Structural parameters,processing parameters and physical parameters

2.1 螺槽深度對熔體平均溫度的影響

圖2為螺槽深度為3、5、7、9 mm的螺桿內(nèi)聚合物熔體的平均溫度沿擠出方向的降溫曲線，圖3為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨螺槽深度的變化。

圖2 不同螺槽深度下熔體沿擠出方向的降溫曲線Fig.2 Variation in average temperature of the melt with channel depth

圖3 出口平均溫度隨螺槽深度的變化Fig.3 Variation in average outlet temperature with channel depth

(14)

式中，V為螺槽容積，m3；Q為聚合物熔體的體積流量，m3/s。

螺槽深度方向的傳熱效率降低抑制了熔體冷卻，而黏性生熱量減少和停留時間增長促進了熔體冷卻，隨著螺槽深度增加，黏性生熱和停留時間對熔體冷卻的促進作用大于沿螺槽深度方向傳熱效率降低的抑制作用，因此，隨著螺槽深度增加，出口平均溫度出現(xiàn)先升高后降低的趨勢?？紤]到螺槽深度還會影響冷卻單螺桿的輸送能力，即螺槽深度越深，聚合物熔體的產(chǎn)量越大，在冷卻單螺桿的設(shè)計過程中，應(yīng)盡可能選擇螺槽深度較深的螺桿來增強冷卻單螺桿對熔體的冷卻能力。

2.2 螺紋升角對熔體平均溫度的影響

圖4為螺紋升角為30°、40°、50°、60°的螺桿內(nèi)聚合物熔體的平均溫度沿擠出方向的降溫曲線，圖5為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨螺紋升角的變化。

圖4 不同螺紋升角下熔體沿擠出方向的降溫曲線Fig.4 Variation in average temperature of the melt with the helix angle

圖5 出口平均溫度隨螺紋升角的變化Fig.5 Variation in average outlet temperature with the helix angle

從圖4可以看出，熔體平均溫度沿著擠出方向逐漸降低。隨著螺桿長度增加，熔體的降溫速率逐漸減小，溫度變化趨于平穩(wěn)；隨著螺紋升角增加，螺紋升角對熔體降溫曲線的影響越來越不明顯。從圖5可以看出，隨著螺紋升角增大，熔體的出口平均溫度先降低后略微升高，且隨著螺紋升角增大，螺紋升角對于熔體出口平均溫度的影響越來越小。螺紋升角在30°～50°之間，出口平均溫度下降曲線的斜率較大，說明此時螺紋升角對熔體降溫的影響作用較大。當(dāng)螺紋升角為56°時，出口平均溫度最低，為122.79 ℃。當(dāng)螺紋升角大于56°時，出口平均溫度開始緩慢上升，螺紋升角為60°時，出口平均溫度升至122.84 ℃。螺紋升角從56°增大到60°，出口平均溫度僅上升了0.05 ℃，表明當(dāng)螺紋升角大于56°時其對出口平均溫度的影響很小。

熔體的出口平均溫度隨著螺紋升角增大出現(xiàn)先降低后略微升高的趨勢是因為螺槽升角增大，熔體流動行程變短，熔體在螺槽內(nèi)的停留時間變短。螺紋升角增大，熔體受到螺棱的剪切作用減小，熔體產(chǎn)生的黏性生熱量減少。停留時間變短抑制了熔體冷卻，黏性生熱量減少促進了熔體冷卻，兩者共同作用使聚合物熔體的出口平均溫度先降低后略微升高。

2.3 螺桿轉(zhuǎn)速對熔體平均溫度的影響

圖6為螺桿轉(zhuǎn)速為10、20、30、40 r/min的聚合物熔體的平均溫度沿擠出方向的降溫曲線，圖7為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨螺桿轉(zhuǎn)速的變化。

圖6 不同螺桿轉(zhuǎn)速下熔體沿擠出方向的降溫曲線Fig.6 Variation in average temperature of the melt along the extrusion direction under different screw speeds

圖7 出口平均溫度隨螺桿轉(zhuǎn)速的變化Fig.7 Variation in average outlet temperature with the screw speed

從圖6可以看出，熔體平均溫度沿著擠出方向逐漸降低。隨著螺桿長度增加，熔體的降溫速率逐漸減小，溫度變化趨于平穩(wěn)；隨著螺桿轉(zhuǎn)速增大，聚合物熔體降溫曲線的曲率越來越小，聚合物熔體的降溫速率越來越小。從圖7可以看出，隨著螺桿轉(zhuǎn)速增大，熔體的出口平均溫度升高，螺桿轉(zhuǎn)速越大，聚合物熔體升溫越明顯。隨著螺桿轉(zhuǎn)速增大，聚合物熔體受到的剪切作用越明顯，聚合物內(nèi)部產(chǎn)生的黏性生熱量越大。隨著螺桿長度增大，聚合物內(nèi)產(chǎn)生的熱量無法及時被機筒帶走，只能沿著擠出方向傳遞給擠出機下游，導(dǎo)致聚合物的降溫速率隨著轉(zhuǎn)速增大而降低，因此，出口平均溫度會隨著轉(zhuǎn)速增大而升高。

2.4 產(chǎn)量對熔體平均溫度的影響

圖8為產(chǎn)量為15、20、25、30 kg/h的聚合物熔體的平均溫度沿著擠出方向的降溫曲線，圖9為螺桿長度為30D的螺桿內(nèi)熔體的出口平均溫度隨產(chǎn)量的變化。

圖8 不同產(chǎn)量下熔體沿擠出方向的降溫曲線Fig.8 Variation in average temperature of the melt along the extrusion direction under different outputs

圖9 出口平均溫度隨產(chǎn)量的變化Fig.9 Variation in average outlet temperature with the output

從圖8可以看出，熔體平均溫度沿著擠出方向逐漸降低。隨著螺桿長度增大，熔體的降溫速率逐漸降低；產(chǎn)量越大，曲線曲率越小，熔體平均溫度沿著擠出方向的降溫速率越小。從圖9可以看出，隨著產(chǎn)量增大，熔體的出口平均溫度增大。隨著產(chǎn)量增大，熔體在螺槽內(nèi)的平均停留時間變短，熔體受到的剪切作用增大，產(chǎn)生的黏性生熱量大，導(dǎo)致熔體的出口平均溫度升高。增加螺桿長度有利于聚合物熔體冷卻，增大產(chǎn)量不利于聚合物熔體冷卻。因此，在設(shè)計冷卻單螺桿過程中需要綜合考慮各因素之間的相互作用。

3 模擬驗證

為了驗證聚合物熔體傳熱理論分析模型的準(zhǔn)確性，采用CFD模擬分析軟件Fluent對該模型以及影響聚合物傳熱性能的結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)進行驗證。選擇螺桿長度為2D(90 mm)的熔體模型作為研究對象，通過Fluent模擬計算出口截面的平均溫度，并與聚合物熔體傳熱理論分析模型的計算結(jié)果進行對比。

3.1 物理模型與網(wǎng)格劃分

以45 mm冷卻單螺桿為研究對象，建立聚合物熔體流道的三維計算模型，根據(jù)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)分別對聚合物熔體模型進行三維建模和網(wǎng)格劃分，對聚合物熔體流道采用正六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，這樣有利于計算的收斂并減小計算量。圖10為螺槽深度5 mm、螺紋升角40°的物理模型與網(wǎng)格劃分模型。

圖10 聚合物流體的物理模型和網(wǎng)格劃分模型Fig.10 Physical model and mesh generation model of polymer fluid

3.2 控制方程

聚合物熔體是一種非牛頓流體，其在螺桿內(nèi)的流動特性較為復(fù)雜，為了簡化螺桿內(nèi)熔體的流動行為，做如下假設(shè)：

1)流體為不可壓縮流體，在螺桿中穩(wěn)定流動，且充滿流道；

2)流體與螺桿和機筒壁面間無滑移，且忽略慣性力作用；

3)熔體的密度、比熱容、導(dǎo)熱系數(shù)均為恒定值，不隨溫度改變；

4)流體與機筒表面間傳熱良好，與螺桿表面間不存在熱交換，即螺桿表面絕熱。

基于上述假設(shè)，聚合物熔體流場的連續(xù)性方程為

運動方程為

能量方程為

式中，τ為應(yīng)力張量。

3.3 邊界條件

通過螺桿壁面的旋轉(zhuǎn)代替螺桿旋轉(zhuǎn)，設(shè)置不同轉(zhuǎn)速。邊界條件具體設(shè)置如下：

1)動力學(xué)邊界條件 質(zhì)量流量入口，壓力出口，熔體與機筒間的壁面無滑移，螺桿壁面旋轉(zhuǎn)。

2)熱力學(xué)邊界條件 聚合物熔體入口溫度為200 ℃，熔體與機筒貼合壁面的溫度為100 ℃。

3.4 本構(gòu)方程與物性參數(shù)

選擇冪律流體作為本構(gòu)方程，熔體稠度K為8 694 Pa·sn，非牛頓指數(shù)n為0.47。采用聚苯乙烯作為物料，具體物性參數(shù)為：密度978 kg/m3，比熱容2 086 J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)0.261 W/(m·K)。

3.5 網(wǎng)格無關(guān)性驗證

為了檢驗網(wǎng)格尺寸對數(shù)值模擬結(jié)果的影響，保證計算精度和結(jié)果準(zhǔn)確性，避免網(wǎng)格大小及數(shù)量對計算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，需要對計算模型進行網(wǎng)格無關(guān)性驗證。使用螺槽深度為5 mm、螺紋升角為40°的螺桿，在聚合物產(chǎn)量為20 kg/h、轉(zhuǎn)速為20 r/min的工藝條件下進行數(shù)值模擬，以出口平均溫度作為評價指標(biāo)來驗證熔體模型網(wǎng)格大小和網(wǎng)格單元數(shù)對計算結(jié)果的影響。網(wǎng)格單元數(shù)和模擬結(jié)果如表2所示。

表2 熔體網(wǎng)格無關(guān)性驗證Table 2 Verification of melt grid independence

由表2可以看出，隨著網(wǎng)格尺寸減小、網(wǎng)格單元數(shù)增加，出口平均溫度升高。當(dāng)網(wǎng)格尺寸從2 mm減小到1 mm時，網(wǎng)格單元數(shù)從45.38萬增加到56.72萬，出口平均溫度的相對變化率小于0.5%，表明此時網(wǎng)格尺寸與網(wǎng)格單元數(shù)對計算結(jié)果的影響很小，可以滿足網(wǎng)格無關(guān)性的要求，故本文采用1 mm的網(wǎng)格尺寸進行模擬計算。

圖11為不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)條件下聚合物熔體的出口平均溫度的計算值與模擬值對比圖。從圖中可以看出，隨著螺槽深度的增大，出口平均溫度出現(xiàn)先升高后降低的趨勢；隨著螺紋升角的增大，出口平均溫度先降低后增大；當(dāng)螺桿轉(zhuǎn)速大于15 r/min時，隨著螺桿轉(zhuǎn)速的增大，出口平均溫度增大；隨著產(chǎn)量的增加，出口平均溫度增大。模擬值與理論值基本吻合，最大相對誤差為1.21%。但是隨著螺桿直徑增大，誤差范圍會增大，當(dāng)螺桿直徑大于90 mm時，螺桿絕熱條件已經(jīng)無法滿足冷卻要求，需要進行螺桿內(nèi)部冷卻。數(shù)值模擬過程說明聚合物熔體的傳熱分析模型是可靠的，可以預(yù)測聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)的降溫過程。

圖11 出口平均溫度隨結(jié)構(gòu)參數(shù)和工藝參數(shù)的變化Fig.11 Variation in average outlet temperature with the structure parameters and process parameters

4 結(jié)論

本文建立了冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的傳熱理論分析模型，得到聚合物熔體在冷卻單螺桿內(nèi)傳熱平均溫度的解析解。探究了結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)對冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體冷卻過程的影響，結(jié)果表明，當(dāng)螺槽深度為5～9 mm、螺紋升角為30°～50°時，通過增大螺槽深度和螺紋升角,同時降低螺桿轉(zhuǎn)速和減少產(chǎn)量，能夠有效增強冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的冷卻，此時該模型能夠滿足冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的降溫需求。最終通過CFD數(shù)值模擬驗證了聚合物熔體傳熱理論分析模型的準(zhǔn)確性，模擬值與理論值基本吻合，最大相對誤差為1.21%。以上結(jié)果表明，該模型能夠預(yù)測冷卻單螺桿內(nèi)聚合物熔體的降溫過程，可以為聚合物熔體降溫過程提供一定的理論參考，用于指導(dǎo)冷卻單螺桿的結(jié)構(gòu)設(shè)計和工藝參數(shù)選擇。