段留旺

排列組合問(wèn)題是屬于一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，常與生活實(shí)際相聯(lián)系.在解答排列組合問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們不僅要熟練運(yùn)用排列組合中的基礎(chǔ)知識(shí)，還要掌握一些解題的基本方法和技巧，這樣才能更快地解答問(wèn)題.本文重點(diǎn)談一談解答排列組合問(wèn)題的三個(gè)技巧，以供同學(xué)們參考.

一、合理運(yùn)用分類、分步計(jì)數(shù)原理

解答排列組合問(wèn)題常需運(yùn)用到兩個(gè)基本原理：分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.分類計(jì)數(shù)原理是指，完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Ⅳ=m+n種不同的方法.分步計(jì)數(shù)原理是指，完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Ⅳ=mxn種不同的方法，有些排列組合題目較為復(fù)雜，需同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.在解題時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析，一般是先分類再分步處理，即先分為若干個(gè)“既不重復(fù)也不遺漏”的類，再將每類中的計(jì)數(shù)問(wèn)題分成若干個(gè)“完整的步驟”，求出完成每個(gè)步驟的方法數(shù)，按照分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類計(jì)數(shù)原理得出總數(shù).例1.如圖所示，用4種不同的顏色涂人圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有____，

解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有4x3x2xl-24種涂法;二是用3種顏色，由分步計(jì)數(shù)原理可得這時(shí)A，B，C的涂法有4x 3x2-24種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以由分類計(jì)數(shù)原理可得不同的涂法共有24+ 24x2-72種.

在分類時(shí)，需注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).在利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)要注意按事件發(fā)生的順序分步進(jìn)行.

二、優(yōu)先處理特殊位置或元素

有些題目對(duì)元素或者位置有特殊要求，如部分元素相鄰或不相鄰、有些位置必須空著等.在解題時(shí)，我們首先要根據(jù)題目的要求，將有特殊要求的位置或者元素優(yōu)先排列出來(lái)，再排沒(méi)有要求的元素，如將要求相鄰的元素捆綁在一起當(dāng)作一個(gè)“大元素”與其他元素一起排列，將不相鄰的元素插入沒(méi)有要求的元素之間的空隙中;將有特殊要求的位置先排上，再排其他沒(méi)有要求的元素，等等.

例2.某學(xué)校周二安排有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、體育六節(jié)課，要求數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)課，體育不排在第四節(jié)課，則這天課程表的不同排法種數(shù)為（ ）.

A.720

B.504

C.384

D.120

本題中數(shù)學(xué)課和體育課為特殊元素，第一節(jié)課和第四節(jié)課為特殊位置，所以我們需優(yōu)先處理這些特殊位置、特殊元素，于是以數(shù)學(xué)課的排法進(jìn)行分類：數(shù)學(xué)課排在第四節(jié)與不排在第四節(jié)，然后再考慮其他元素或者位置.

三、先分組后分配

我們會(huì)遇到一些分組分配問(wèn)題，而解答這類問(wèn)題的基本思路是先分組后分配，在分組時(shí)，只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象，此時(shí)不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A：（n為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù).在分組后再將各組按照題目要求進(jìn)行分配.

例3.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（ ）.

A.12種 B.10種 C.9種 D.8種

排列和組合問(wèn)題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，雖然一般難度不大，但在解題時(shí)，同學(xué)們一定要合理運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、優(yōu)先處理特殊位置或元素、學(xué)會(huì)先分組后分配，這樣才能陜速、正確地解題.

（作者單位：河南省中牟縣職業(yè)高中）