計(jì)康

在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們經(jīng)常會遇到函數(shù)定義域問題.此類問題屬于基礎(chǔ)題目，難度一般不大，解題的關(guān)鍵在于充分研究函數(shù)的解析式，挖掘隱含條件.很多同學(xué)在解答此類問題時(shí)經(jīng)常得到不完整的或錯(cuò)誤的答案，對此筆者總結(jié)了兩類函數(shù)定義域的求法，以供大家參考.

一、求初等函數(shù)的定義域

初等函數(shù)主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù).在求初等函數(shù)的定義域時(shí)，我們要仔細(xì)觀察函數(shù)的解析式，尤其要關(guān)注其中是否含有分式、根號、絕對值、指數(shù)冪等.因?yàn)楹瘮?shù)解析式中一般含有隱含的條件，如根號下的式子必須大于或等于0，分式的分母不為0、絕對值必須大于或等于0、指數(shù)冪的底數(shù)必須不為0等.然后建立相應(yīng)的關(guān)系式，求得x的取值范圍.

例1.求以下函數(shù)的定義域：

（1）??? ;（2）??? .

分析（1）中的函數(shù)為分式函數(shù)，且分子中含有根式，因此分母x+1≠0，x2-4x≥0，然后取兩個(gè)不等式的交集即可得到函數(shù)的定義域.（2）式中不僅含有分式、根式，還含有指數(shù)冪、絕對值，因此需使X+1≠0，，最后取其交集即可.

解：（1）∵??? ，

∴X2-4X≥0，且X≠-1，

解得X≤0，且X≠-1，或X≥4，

∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，0）∪[4，+∞）.

（2）∵??? ，∴x≠-1，且，

可得X<0，且x≠-1，

∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，0）.

二、求復(fù)合函數(shù)的定義域

復(fù)合函數(shù)一般是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上的函數(shù)組成的.此類函數(shù)較為復(fù)雜，我們需先明確復(fù)合函數(shù)是由哪幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成，然后分別求出每個(gè)初等函數(shù)的定義域，再將外部函數(shù)的定義域看作內(nèi)部函數(shù)的值域，建立關(guān)系式，最后綜合所得的結(jié)果即可得到函數(shù)的定義域.一般地，若已知y=f（X）的定義域是[m，n]，求函數(shù)y=f[g（X）]的定義域，可建立關(guān)系式：所得的結(jié)果即為函數(shù)y=f[g（X）]的定義域.

例2.已知函數(shù)y=f（x）的定義域是（-1，4），求函數(shù)y=f（X2-3）的定義域.

解：∵函數(shù)y=f（x）的定義域是（-1，4），

∴-1<x2-3<4，

解得或，

∴y=f（X2-3）的定義域?yàn)??? .

該函數(shù)由函數(shù)y=f（X）和y=X2-3復(fù)合而成.需將函數(shù)y=f（X）的定義域的定義域看作函數(shù)y=X2-3的值域來求解.

例3.已知函數(shù)f（X）的定義域?yàn)閇1，9]，求函數(shù)的定義域.

分析：該函數(shù)是兩個(gè)復(fù)合函數(shù)的和，函數(shù)y=f（X-1）是由函數(shù)y=f（X）、y=X-1復(fù)合而成，函數(shù)是由和y=X2-5X-6復(fù)合而成.我們需分別求得兩個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域，再取它們的交集.

解：由函數(shù)f（X）的定義域?yàn)閇1，9]

可得1≤x-1≤9，

而中含有根式，所以X2-5X+6≥0，

則

解得X=2或3≤X≤10，

故函數(shù)的定義域?yàn)??? .

雖然函數(shù)定義域問題的難度不大，但題目中常常會涉及很多的隱含條件.因此同學(xué)們在解題的過程中，千萬不可掉以輕心，要細(xì)心觀察、仔細(xì)考量，確保分析問題全面，這樣才能求得正確的答案.

（作者單位：陜西省西安市東方中學(xué)）