吳春喬

不等式證明問題的綜合性比較強，側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯思維能力和分析推理能力.要順利證明不等式，同學(xué)們不僅要熟練掌握不等式的性質(zhì)、放縮不等式的技巧，還要學(xué)會一些證明不等式的常規(guī)方法.本文重點探討了證明不等式的三種常規(guī)方法：作差法、分析法以及反證法.

一、作差法

作差法常用于證明含有多項式的不等式問題.在證明不等式時，可將不等式兩邊的式子相減，再進行合理的變形、化簡、因式分解，直至得到能容易判別出差式的正負符號的式子.一般地，若A-B<0，則A<B;若A-B>0，則A>B.

例1.已知0<a<b，那么正確的有（??? ）.

A.??? ;??? B.??? ;

C.;??? D.

分析：首先根據(jù)已知條件0<a<b和基本不等式就可以直接得出??? .對于和a，可先將兩者同時平方去掉根號再作差，即，因此??? .同理可得，，因此;接下來需要對b和的大小進行比較，還是用作差法，，因此可以得出??? .綜上所述，，因此正確選項為B.

解答本題，主要利用了不等式的性質(zhì)、基本不等式以及作差法.

二、分析法

運用分析法證明不等式的主要步驟是：要證明……只需要證明……就需要證明……用分析法證明不等式的關(guān)鍵是，找尋能夠證明題目中的結(jié)論成立的充分條件或者充分必要條件.在證明不等式時，首先應(yīng)從需要證明的結(jié)論入手，運用所學(xué)的公式、定理、定義等一步一步地進行推理、運算，最后得出與已知條件相符的結(jié)論，那么就意味著所要證明的不等式成立.

例2.已知x≥1，y≥1，試證明：??? .

證明：要證明，

只需證明xy（x+y）+1≤y+x+（xy）2，

就需證明：（xy）2-1+（x+y）-xy（x+y）≥0，

則證明：（xy-1）（xy+1-x-y）≥0，

即證明：（xy-1）（x-1）（y-1）≥0.

因為x≥1，y≥1，因此上式是成立的.

綜上所述，成立.

運用分析法解題，需嚴格按照上述步驟來進行求證，這樣才更有說服力.

三、反證法

有些不等式較為復(fù)雜，若從正面直接證明較為困難，我們可采用反證法去證明結(jié)論.在運用反證法證明不等式時，需先假設(shè)原不等式不成立，得出否定的結(jié)論;然后從這個結(jié)論出發(fā)，將其當(dāng)作已知的結(jié)論，利用相關(guān)的定理、公式、定義等逐步進行推理，直到得出與已知條件、公理等相矛盾的結(jié)論，從而間接證明原來的結(jié)論是成立的.

例3.已知a、b∈R，且a+b=1，求證：??? .

證明：假設(shè)，

那么就有??? .

又因為a+b=1，則b=1-a，

則，所以，

這個結(jié)論就與相矛盾.

因此成立.

運用反證法解題能有效地轉(zhuǎn)換解題的方向，拓寬解題的思路.

不等式證明問題是高中數(shù)學(xué)中比較難的一部分內(nèi)容，同學(xué)們要熟悉常見的題目，整理和歸納相對應(yīng)的解題方法.在進行不等式的證明時，要將已知條件和所證目標關(guān)聯(lián)起來，將相關(guān)的定理、公式、定義作為推理、證明的依據(jù)，選擇合適的證明方法來證明結(jié)論.同時要訓(xùn)練自己的邏輯思維能力和分析推理能力，這樣才能有效地提升解答不等式證明問題的能力.

（作者單位：江蘇省大港中學(xué)）