曹蕾蕾朱 旺 武建華 張傳增

* (長安大學(xué)道路施工技術(shù)與裝備教育部重點實驗室,西安 710064)

? (錫根大學(xué)土木工程學(xué)院,德國錫根 D-57068)

引言

聲子晶體是一種新型人工周期性復(fù)合材料,具有獨特的禁帶特性,即聲波或彈性波在聲子晶體中傳播時,由于受到周期性結(jié)構(gòu)中波的散射或局部共振的作用,在某些頻段范圍即帶隙內(nèi)無法傳播[1-4].該特性使得聲子晶體在工程減振降噪領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用潛力.聲子晶體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和組分材料的屬性決定了其帶隙特性.因此,根據(jù)特定的減振降噪需求設(shè)計具有目標(biāo)帶隙的聲子晶體具有重要的理論研究意義與工程應(yīng)用價值.

現(xiàn)有聲子晶體設(shè)計方法大多是通過對結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)與材料參數(shù)的分析,調(diào)整匹配特定的頻散特性,但這樣設(shè)計出來的聲子晶體結(jié)構(gòu)往往帶隙位置與寬度達(dá)不到最佳需求,并且需經(jīng)過反復(fù)的調(diào)控才能滿足實際的減振降噪需求.按照特定頻率設(shè)計聲子晶體結(jié)構(gòu)是典型的具有挑戰(zhàn)性的逆向設(shè)計問題.拓?fù)鋬?yōu)化作為一種代表性的逆向設(shè)計方法,已經(jīng)被廣泛用于結(jié)構(gòu)設(shè)計、材料組合設(shè)計和多物理場下的器件設(shè)計等.Sigmund 等[5]最早對二維聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了研究;Gazonas 等[6]利用有限元法對二維聲子晶體進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化;Zhong 等[7]基于平面波展開法對二維固?固體系聲子晶體進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化的研究;Hussein 等[8-9]對一維、二維聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了研究;Bilal 和Hussein[10]討論了多孔聲子晶體中帶隙的最寬化問題;Dong 等[11-14]針對各種類型的二維聲子晶體(含孔隙、不含孔隙、非對稱等)的單目標(biāo)、多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了一系列的研究;Liu 等[15-16]提出了二維固?固體系聲子晶體的系統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化;Xu 等[17]對三相聲子晶體進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計,得到了多目標(biāo)問題的Pareto 最優(yōu)解集.然而,以上關(guān)于聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要是基于遺傳算法,需要大量的計算資源和時間,而且所需時間隨著參數(shù)數(shù)量的增加呈指數(shù)增長.近年來,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)的發(fā)展為聲子晶體的逆向設(shè)計提供了新的思路.Liu[18]于2019 年將有監(jiān)督學(xué)習(xí)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于一維聲子晶體填充率、剪切模量比和質(zhì)量密度比的設(shè)計.Li 等[19]于2020 年利用自編碼器和多層感知機(jī)模型建立了二維聲子晶體圖像特征、結(jié)構(gòu)拓?fù)涮卣?、帶隙特性的?nèi)在聯(lián)系,得到了具有預(yù)期帶隙的聲子晶體.同年,Kollmann 等[20]將ResUNet 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于超材料的優(yōu)化設(shè)計.Luo 等[21]將強化學(xué)習(xí)方法用于層狀聲子晶體的逆向設(shè)計中.

以上研究說明將機(jī)器學(xué)習(xí)用于聲子晶體的逆向設(shè)計是可行的且具有巨大潛力,與此同時,也可以看出此方面的研究尚處于起步階段,相關(guān)研究大多是針對由指定的兩種材料組成的聲子晶體開展的,其樣本分布存在一定的局限性,尚需進(jìn)一步探索.

本文以一維層狀聲子晶體為例,提出了一種基于Softmax 邏輯回歸和多任務(wù)學(xué)習(xí)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聲子晶體逆向設(shè)計方法.與以往研究方法不同的是,本文將機(jī)器學(xué)習(xí)中的兩個重要內(nèi)容“多任務(wù)學(xué)習(xí)和邏輯回歸”用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),將聲子晶體逆向設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為對單元胞元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)多組分材料的分類問題,突破了以往研究方法中因材料種類有限和材料分布單一帶來的樣本分布集中的局限性.在本文提出的逆向設(shè)計方法中,多任務(wù)學(xué)習(xí)實現(xiàn)了多分層結(jié)構(gòu)各區(qū)域材料的分布問題,Softmax 邏輯回歸則實現(xiàn)了各區(qū)域材料種類的選擇問題.本文的主要內(nèi)容為:首先,隨機(jī)生成大量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)樣本,進(jìn)而采用有限元方法得到每個樣本的帶隙,然后,通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立帶隙和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,最后利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計具有目標(biāo)帶隙特性的聲子晶體.

1 樣本數(shù)據(jù)生成

不同材料組合及其不同幾何排布方式將產(chǎn)生不同拓?fù)錁?gòu)型的聲子晶體,對應(yīng)不同的能帶結(jié)構(gòu).通過計算機(jī)程序自動生成大量的單位胞元拓?fù)錁?gòu)型,并計算出其相應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu),對各拓?fù)錁?gòu)型和其對應(yīng)能帶結(jié)構(gòu)的特征進(jìn)行提取,為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建提供大量訓(xùn)練樣本和測試樣本.

為不失一般性,考慮一維層狀聲子晶體單元胞元拓?fù)錁?gòu)型如圖1 所示.其沿x方向無限交替排列而成,各層子結(jié)構(gòu)尺寸在yoz平面內(nèi)為無限大.胞元晶格常數(shù)為D,將其等分為m層,第j層由n種材料中的一種填充而成,由0～n之間的數(shù)字進(jìn)行標(biāo)識.這樣,胞元的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),即不同材料分層的單元胞元形式可用一維數(shù)組表示.其中,ρj,Ej,μj分別代表單元胞元第j層材料的密度、楊氏模量和剪切模量.

圖1 一維聲子晶體單元胞元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Unit-cell structure of the 1D phononic crystal

在采用有限元方法得到聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)后,需要進(jìn)行能帶特征的提取以作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的樣本數(shù)據(jù).具體步驟如下所述.首先,根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)確定禁帶(帶隙)和通帶頻率范圍;進(jìn)而將整個能帶頻率范圍等分為若干個小頻率區(qū)間,判斷每個小區(qū)間是否落在禁帶或通帶中,并分別用數(shù)字0 或1 來標(biāo)識其禁帶和通帶屬性.這樣,能帶特征可通過由0 和1 組成的一維數(shù)組表示出來.

2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立

本文采用Softmax 邏輯回歸和多任務(wù)學(xué)習(xí)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[22-25]來構(gòu)建一維聲子晶體的帶隙分布和單元胞元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型如圖2 所示.

圖2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.2 Artificial neural network model

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含輸入層、隱藏層、輸出層和Softmax 層,相鄰層之間的每個神經(jīng)元相互連接構(gòu)成完整的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.每個樣本的輸入數(shù)據(jù)將作為輸入層數(shù)據(jù)進(jìn)行前向傳播.在這個過程中,網(wǎng)絡(luò)的每一層都會將上一層的輸出數(shù)據(jù)作為本層的輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值計算并將結(jié)果作為本層的輸出數(shù)據(jù)傳遞給下一層.

當(dāng)數(shù)據(jù)經(jīng)過隱藏層時,每個隱藏層按照下式完成計算并進(jìn)行輸出

即在第q?1 層的輸出到達(dá)第q層的神經(jīng)元之前,網(wǎng)絡(luò)會按照式(1)對第q?1 層的輸出進(jìn)行線性變換.其中,為第q?1 層的第p個神經(jīng)元的輸出,將q?1層的rq?1個神經(jīng)元的所有輸出分別與第q層相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)相乘并累加,并將累加結(jié)果與第q層的偏置參數(shù)bq相加得到第q層的第o個神經(jīng)元的輸入為了提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型的表達(dá)能力,用激活函數(shù)依照式(2)對進(jìn)行非線性變換,得到第q層第o個神經(jīng)元的最終輸出.

數(shù)據(jù)經(jīng)過隱藏層后進(jìn)入m個并行的輸出層,第m個輸出層輸出單位胞元結(jié)構(gòu)第m層材料的參數(shù)值.輸出層無需添加激活函數(shù),只需通過式(1)對上一層的輸出進(jìn)行線性變化并將本層的輸出傳遞給最后的Softmax 層.

Softmax 層的輸出通過以下公式計算得出

其中,表示任務(wù)層m的輸出,即單元胞元第m層由各種材料填充的概率.

然后通過如下公式的交叉熵函數(shù)計算和該層所對應(yīng)標(biāo)簽ym的損失

最后將m個任務(wù)的損失求均值作為總損失L并使用誤差反向傳播算法[26]對其進(jìn)行優(yōu)化,直到網(wǎng)絡(luò)的精度滿足要求.

3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練和測試

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立好后,使用訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)來訓(xùn)練模型,然后用測試集評估模型的泛化性.網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練效果可用總損失L和訓(xùn)練精度Tracc進(jìn)行評估;測試效果可用測試精度Teacc進(jìn)行評估.Tracc和Teacc可由下式進(jìn)行計算

其中,MTr和MTe分別為參與訓(xùn)練和測試的樣本數(shù),和yαβ分別為第 α個樣本的第 β 個任務(wù)的輸出和標(biāo)簽.當(dāng)L趨近于0 且保持穩(wěn)定時,表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成.當(dāng)訓(xùn)練精度Tracc和測試精度Teacc達(dá)到預(yù)期值時,表明所建立的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已成功構(gòu)建出聲子晶體帶隙分布和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系.

4 算例

已有研究表明,船用齒輪傳動系統(tǒng)中齒輪副的振動會通過軸承座將激勵傳遞至減速箱,致使減速箱對外界產(chǎn)生輻射噪聲,而輻射噪聲對船舶內(nèi)各艙室的舒適性有著嚴(yán)重的影響,因此,選擇合適的降噪方法是減少船舶減速箱噪聲污染的關(guān)鍵[27].目前國內(nèi)外船舶領(lǐng)域針對減速箱采用的降噪方法主要有:減速箱的結(jié)構(gòu)改進(jìn)、阻尼材料敷設(shè)、基座導(dǎo)納安裝形式優(yōu)化以及主動控制等[28].相對于主動控制減振,被動控制減振具有結(jié)構(gòu)簡單、造價低、易于維護(hù)并且無需外部能量支持等優(yōu)點[29-31].由于聲子晶體在噪聲與振動的被動控制方面有著巨大的潛力,因此,聲子晶體為減速箱等機(jī)械結(jié)構(gòu)的減振降噪提供了一個全新的途徑.

船用單級人字齒輪減速箱的前兩階固有頻率分別為208.99 Hz 和386.74 Hz[27].為此,通過設(shè)計預(yù)期帶隙包含此固有頻率的聲子晶體可有效減小減速箱對外界產(chǎn)生輻射噪聲.基于此應(yīng)用背景,本文進(jìn)行目標(biāo)帶隙為200～ 400 Hz 的一維聲子晶體逆向設(shè)計.所選材料為鎢(W)、丁腈橡膠(NBR) 和硅橡膠(Sil)組成的一維三相聲子晶體,晶格常數(shù)D=0.01 m,材料的名稱、編號、密度 ρ、楊氏模量E和剪切模量 μ 如表1 所示.

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

單元胞元結(jié)構(gòu)層數(shù)的選取應(yīng)避免層數(shù)過少而導(dǎo)致單元胞元結(jié)構(gòu)及帶隙多樣性不足的問題,同時,也應(yīng)避免層數(shù)過多導(dǎo)致訓(xùn)練難度加大的問題.為此,本例中將單元胞元結(jié)構(gòu)等分為10 層,每一層由以上材料中的一種構(gòu)成,分別用數(shù)字0,1 和2 表示,如一維數(shù)組0222200211 表示的聲子晶體的單元胞元結(jié)構(gòu)如圖3 所示.

圖3 單元胞元結(jié)構(gòu)示例Fig.3 Example for a unit-cell structure

將3 種材料隨機(jī)填充在10 層中,可獲得310個單元胞元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).因為聲子晶體具有周期平移對稱性[32],而具有相同周期平移對稱性的聲子晶體的帶隙分布是相同的,即會出現(xiàn)不同拓?fù)錁?gòu)型標(biāo)簽對應(yīng)著相同的帶隙輸入情況,這將會對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程產(chǎn)生阻礙.因此,需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行篩選以保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性.從篩選后的單位胞元結(jié)構(gòu)中隨機(jī)取出10 000 個作為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)樣本,其中,9000 個作為訓(xùn)練樣本,1000 個作為測試樣本.通過MATLAB和COMSOL Multiphysics 軟件的聯(lián)合并行仿真得到所有樣本的能帶結(jié)構(gòu).將研究的頻率范圍設(shè)定為0～ 2000 Hz 以使得目標(biāo)帶隙和每個樣本的第一禁帶被完整覆蓋,并以單位頻率對其進(jìn)行劃分,對各樣本的單位頻率小區(qū)間落在禁帶范圍或通帶范圍進(jìn)行判斷,分別用數(shù)字0 和1 進(jìn)行標(biāo)識,并存儲在一維數(shù)組中作為帶隙樣本.如圖4 表示了0～ 20 Hz 頻段內(nèi)禁帶落在6～ 12 Hz,其余為通帶的帶隙分布.

圖4 以數(shù)組表示帶隙Fig.4 Band-gaps represented by an array of numbers

按照圖2 模型構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).其中,構(gòu)建神經(jīng)元數(shù)分別為2000,2000 和1000 個的3 個隱藏層;為防止過擬合,在每個隱藏層加入了Dropout[33]操作,其工作原理是在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中隨機(jī)將該層20%的神經(jīng)元暫時從網(wǎng)絡(luò)中丟棄,減少了中間特征的數(shù)量,從而減少冗余,增加了每層各個特征之間的正交性;另外,為了克服梯度消失問題并加快訓(xùn)練速度,選擇Relu 函數(shù)[34]作為隱藏層激活函數(shù).構(gòu)建10 個并行的輸出層,每一個輸出層包含3 個神經(jīng)元;為了提升網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)效率,使用Adam 優(yōu)化算法[35]更新參數(shù)并優(yōu)化總損失L.訓(xùn)練過程中總損失L和訓(xùn)練精度Tracc隨訓(xùn)練次數(shù)Ep的變化曲線如圖5所示.

圖5 L 和Tracc 隨迭代次數(shù)Ep 的變化曲線Fig.5 Variations of the L and Tracc curves with the Ep

由圖5 可以看出,L隨Ep的增加而逐漸減小,最終穩(wěn)定在0.27 附近;Tracc隨Ep的增加而逐漸增大,最終穩(wěn)定在85%附近.采用測試集對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行測試,測試精度Teacc可達(dá)到80%,可用其開展預(yù)期帶隙的一維聲子晶體逆向設(shè)計.下面利用該網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行聲子晶體設(shè)計.

設(shè)計過程如圖6 所示.首先將目標(biāo)帶隙分布用1×2000 的一維數(shù)組表示;然后將其輸入訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)輸出1×10 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)組,由此可得到相應(yīng)的一維聲子晶體結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)的實際能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)如圖7 所示,其中,頻響函數(shù)是由10 個周期單元胞元組成的聲子晶體結(jié)構(gòu)按照公式FRF=20lg(a2/a1)計算得到的.其中,a1和a2分別代表激勵端的加速度激勵和拾取端的加速度響應(yīng).由圖7 可以看出,其禁帶范圍為206.62～ 424.52 Hz,與目標(biāo)帶隙基本一致,說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逆向設(shè)計效果很好.

圖6 預(yù)測具有目標(biāo)帶隙聲子晶體單位胞元的過程Fig.6 Prediction process of the unit-cell of the phononic crystal with a target band-gap

圖7 (a)能帶結(jié)構(gòu)和(b)頻率響應(yīng)Fig.7 (a) Band structure and (b) frequency response curve

5 結(jié)論

本文提出了一種基于Softmax 邏輯回歸和多任務(wù)學(xué)習(xí)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聲子晶體逆向設(shè)計方法,將聲子晶體逆向設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為對單元胞元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)各組分材料的多分類問題.該方法以目標(biāo)帶隙為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,網(wǎng)絡(luò)將直接輸出對應(yīng)的聲子晶體單元胞元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).其中,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建需要對大量的樣本進(jìn)行訓(xùn)練,這些訓(xùn)練樣本通過有限元仿真創(chuàng)建,雖然需要一定的計算資源和時間,但該過程可以并行且一次性完成,較傳統(tǒng)設(shè)計方法更高效.同時,該設(shè)計方法可突破傳統(tǒng)設(shè)計方法強烈依賴于解析理論和參數(shù)分析的缺陷,為聲子晶體的逆向設(shè)計提供了新穎的途徑.

最后需要強調(diào)的是,本文的重點是利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開展一維聲子晶體的逆向設(shè)計,即根據(jù)目標(biāo)帶隙設(shè)計出滿足帶隙要求的聲子晶體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其材料組成.目標(biāo)帶隙的確定取決于實際問題的需要,可以是低頻帶隙,也可以是高頻帶隙.如果目標(biāo)帶隙為低頻帶隙,采用局域共振機(jī)理十分奏效,此時需要引進(jìn)較薄較柔的層狀元素,因而可能導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的剛度與強度乃至穩(wěn)定性下降.此類問題是一個典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題,在實際設(shè)計相應(yīng)聲子晶體結(jié)構(gòu)時既要滿足低頻帶隙的要求,又要兼顧結(jié)構(gòu)的剛度與強度及其穩(wěn)定性.