徐東輝

（1.南昌師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,江西 南昌 330032;2.長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院,湖南 長沙 410076）

目前,國內(nèi)外學(xué)者在鋰離子電池的荷電狀態(tài)（SOC）[1]、健康狀態(tài)（SOH）[2]、使用壽命[3]及均衡[4]等方面開展了許多研究[5]。龐曉瓊等[3]對與鋰離子電池壽命相關(guān)的參數(shù)進(jìn)行主成分分析,并進(jìn)行特征融合,采用非線性自回歸（NARX）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對電池的剩余使用壽命進(jìn)行預(yù)測,取得了較好的效果。M.G.Ouyang等[6]對動力鋰離子電池的低溫老化機(jī)理、電池組的一致性及剩余放電容量在線估測等開展了深入研究,并提出了一系列電池組在線均衡及電池剩余放電容量估測的方法。以上對動力鋰離子電池的狀態(tài)估測都是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動方法,精度受數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確度的影響。運(yùn)用混沌理論對鋰離子電池動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行研究的報道甚少。近年來,有些學(xué)者運(yùn)用混沌理論對其他領(lǐng)域的非線性系統(tǒng)混沌動力學(xué)特性及參數(shù)預(yù)報進(jìn)行研究,取得了一些成果,如蘭朝鳳等[7]在水輪機(jī)處于偏工況運(yùn)行狀態(tài)時,對壓力脈動特征進(jìn)行混沌動力學(xué)特性分析,分析混沌特性隨壓力脈動的變化,用于實(shí)時監(jiān)測水輪機(jī)的運(yùn)行,實(shí)現(xiàn)了在水輪機(jī)偏工況運(yùn)行狀態(tài)下的快速故障診斷。

鋰離子電池在使用過程中為復(fù)雜的非線性狀態(tài),很難運(yùn)用確定的方程對SOC、剩余壽命等進(jìn)行在線準(zhǔn)確求解[8]?；煦缡谴_定性系統(tǒng)由于非線性變量之間的相互作用而產(chǎn)生的貌似隨機(jī)性現(xiàn)象,相軌跡圖、李雅普諾夫指數(shù)圖及龐加萊映射圖等動力學(xué)特性隨系統(tǒng)參數(shù)變化而改變,較適合用于鋰離子電池動力學(xué)系統(tǒng)的研究。本文作者針對憶阻器容易產(chǎn)生混沌振蕩信號,引入復(fù)雜非線性系統(tǒng)中可研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性等特點(diǎn),將荷控憶阻器、電感及電阻組成混聯(lián)電路作為負(fù)載,引入鋰離子電池一階RC等效電路模型中,并建立動力學(xué)數(shù)學(xué)模型,分析混沌動力學(xué)特性,對模型進(jìn)行仿真求解。分析該動力學(xué)數(shù)學(xué)模型的一系列特性,研究系統(tǒng)隨一階RC等效電路歐姆內(nèi)阻變化的混沌特性演變過程,以獲取相應(yīng)的歐姆內(nèi)阻。

1 荷控憶阻器模型

文獻(xiàn)[9]通過對電路中的基本變量電荷q、電感L、電壓U、磁通量φ進(jìn)行推導(dǎo),并利用電路對稱性理論進(jìn)行分析,從理論上得出φ和q之間存在一種電路上的聯(lián)系,并稱為憶阻器。由文獻(xiàn)[9]可得到HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器阻值。

式（1）中:M為憶阻器阻值,與電阻具有同一量綱;D為憶阻器總長度;uv為雜質(zhì)平均移動速率;RON為導(dǎo)通阻抗;ROFF為關(guān)閉阻抗。

憶電阻器是一個基本的無源二端器件,可分為荷控憶阻器和磁控憶阻器兩種。為了用相對簡單的荷控憶阻器模型建立鋰離子電池一階RC等效混沌電路,實(shí)驗(yàn)擬采用三次非線性單調(diào)遞增曲線描述荷控憶阻器的本構(gòu)關(guān)系。

荷控憶阻器的M（q）可以表示為:

式（2）中:a、c均為常數(shù),且 a<0、c>0。

正弦變化的電流源為:

式（3）中:A為電流源的幅值;f為頻率;θ為初始相位;t為時間。

將正弦變化的電流源施加在上述荷控憶阻器兩端,憶阻器兩端電壓U、電流I的表達(dá)式為:

當(dāng)電流源參數(shù) A=1、θ=0、f=0.5 Hz、a=-0.06、c=0.02時,通過Matlab仿真可得到該荷控憶阻器的伏安特性曲線,如圖1所示。

從圖1可知,荷控憶阻器的伏安特性曲線呈現(xiàn)出斜“8”字形的類緊磁滯回線形狀,具有較強(qiáng)的非線性特性。

圖1 荷控憶阻器的伏安特性曲線Fig.1 Volt-ampere characteristic curve of a load-controlled memristor

2 基于憶阻器的RC等效電路模型建立

電動汽車以電池作為電源,電動機(jī)作為負(fù)載進(jìn)行工作,電池和電動機(jī)都是非線性較復(fù)雜的系統(tǒng)。為了更好地研究電池系統(tǒng)的動力學(xué)特性[10],實(shí)驗(yàn)將荷控憶阻器、電感及電阻組成混聯(lián)電路引入一階RC模等效電路模型（見圖2）中,建立動力學(xué)數(shù)學(xué)模型。分析該模型隨一階RC等效電路參數(shù)變化過程中的一系列動力學(xué)特性,包括時頻特征分布、相軌跡圖、李雅普諾夫指數(shù)圖及龐加萊映射圖等。

圖2 基于憶阻器的RC等效電路模型Fig.2 RC equivalent circuit model based on memristor

圖2中:Uoc為開路電壓;R0為歐姆內(nèi)阻;R1、C1分別為極化電阻和極化電容;L1、L2為大小不同的兩個電感線圈;R為電阻;M（q）為荷控憶阻器;U0為歐姆內(nèi)阻R0兩端的電壓;U1為極化電容C1兩端的電壓;U2為電感L2兩端的電壓;U3為電感L1兩端的電壓;U4為M（q）兩端的電壓;U5為電阻R兩端的電壓;I為流過歐姆內(nèi)阻R0的電流;I2為流過電阻R的電流;I3為流過M（q）的電流。

在電路中選定電流的參考方向,由基爾霍夫電流定律、基爾霍夫電壓定律,可列出描述此電路的方程組:

根據(jù)元件的伏安特性,可得到上述電路的微分方程組。

式（7）即為基于憶阻器的車用鋰離子電池一階RC等效電路動力學(xué)數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)式（7）中 α=8.5、β=1、γ=14.29、R=1.14 mΩ、R0=0.100 mΩ、R1=142.48 mΩ、a=-1.34、c=0.4,且初始值設(shè)置為[0.1,0,0,0.2]時,通過MATLAB仿真可得到系統(tǒng)相軌圖、系統(tǒng)時域波形和龐加萊映射圖,分別見圖3、圖4和圖5。

圖3 系統(tǒng)的相軌圖Fig.3 Phase orbit diagram of the system

圖4 系統(tǒng)的時域波形Fig.4 Time-domain waveform of the system

圖5 系統(tǒng)的龐加萊映射圖Fig.5 Poincaré map of the system

從圖3-5可知,基于憶阻器的車用鋰離子電池一階RC等效電路動力學(xué)系統(tǒng)生成了雙渦卷混沌吸引子。

計(jì)算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)為:LE1=0.211、LE2=0.004、LE3=-1.227、LE4=-3.816,李雅普諾夫維數(shù) d=2.043。通過李雅普諾夫指數(shù)的正負(fù)性及分?jǐn)?shù)維數(shù)可知,系統(tǒng)在上述參數(shù)設(shè)置下處于混沌狀態(tài)。

3 混沌動力學(xué)特性分析

3.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

矩陣中的R0可用于描述電池的SOH。

式（9）中的三次多項(xiàng)式方程的系數(shù)均為非零實(shí)常數(shù)。根據(jù)勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定條件,該三次多項(xiàng)式方程的根的實(shí)部為負(fù)的充分必要條件是:

R0為鋰離子電池的歐姆內(nèi)阻,取值通常為[0.100 mΩ,1.000 mΩ],因此,由憶阻器組成一階RC等效電路系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)q=0.2,R0=0.100mΩ時,在平衡點(diǎn)處JA的特征根為:

式（12）中:λ為平衡點(diǎn);i為虛部。

由線性穩(wěn)定性定理可知,系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定,平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)。系統(tǒng)軌跡趨于極限環(huán)、混沌軌或無窮發(fā)散。

3.2 系統(tǒng)的耗散性和吸引子存在性分析

3.3 電路歐姆內(nèi)阻對系統(tǒng)影響

改變電路中的歐姆內(nèi)阻,系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會發(fā)生相應(yīng)變化,系統(tǒng)將處于不同狀態(tài)。利用李雅普諾夫指數(shù)譜、分岔圖和相圖,對提出的混沌電路進(jìn)行動力學(xué)分析。由式（13）可知,通過R0變化可掌握鋰離子電池的SOH變化情況。

式（13）中:REOL為電池壽命結(jié)束時的內(nèi)阻;R0為當(dāng)前電池的內(nèi)阻;Rnew為新電池的內(nèi)阻。

實(shí)驗(yàn)考慮當(dāng)固定 α=8.5、β=1、γ=14.29、R=1.14 mΩ、R0=0.100 mΩ、R1=142.48 mΩ、a=-1.34、c=0.4、q=0.2 時,改變一階RC等效電路中的R0對系統(tǒng)的動力學(xué)影響。

假設(shè)某鋰離子電池的RNEW=0.125 mΩ、REOL=1 mΩ,則R0為[0.125 mΩ,1.000 mΩ]。設(shè)b=1.225+R0,b與R0呈線性遞增關(guān)系,進(jìn)一步可得到b的取值為[1.345,2.14]。當(dāng)參數(shù)b增加時,式（7）系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜見圖6。

圖6 隨b變化的李雅普諾夫指數(shù)譜Fig.6 Spectra of Lyapunov's exponents as a function of b

從圖6可知,李雅普諾夫指數(shù)譜和相圖基本一致。

當(dāng)R0為[0.125mΩ,0.250mΩ）,即SOH為100%～85%時,系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)形式為（+,+,-,-）,處于超混沌運(yùn)動狀態(tài),生成了雙渦卷混沌吸引子。

圖7為初始值q=0.2及R0=0.170 mΩ、SOH=94.9%時,等效電路模型的相軌圖和時序圖。

圖7 初始值q=0.2及R0=0.170 mΩ,SOH=94.9%下等效電路模型的相軌圖和時序圖Fig.7 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.170 mΩ and SOH=94.9%

當(dāng)R0為[0.250 mΩ,0.300 mΩ）,即 SOH為85%～80%時,系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)形式為（+,0,-,-）,處于混沌運(yùn)動,生成了單渦卷混沌吸引子。

圖8為初始值q=0.2及R0=0.260 mΩ、SOH=84.6%時,等效電路模型的相軌圖和時序圖。

圖8 初始值q=0.2及R0=0.260 mΩ,SOH=84.6%下等效電路模型的相軌圖和時序圖Fig.8 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.260 mΩ and SOH=84.6%

當(dāng)R0為[0.300 mΩ,1.000 mΩ],SOH為80%～0時,系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)形式為（0,-,-,-）,以周期軌道運(yùn)行。

圖9、圖10為初始值q=0.2,R0分別為0.320 mΩ和0.700 mΩ,SOH分別為77.7%和34.3%時,等效電路模型的相軌圖和時序圖。

圖9 初始值q=0.2及R0=0.320 mΩ,SOH=77.7%下等效電路模型的相軌圖和時序圖Fig.9 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.320 mΩ and SOH=77.7%

圖10 初始值q=0.2及R0=0.700mΩ,SOH=34.3%下等效電路模型的相軌圖和時序圖Fig.10 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.700 mΩ and SOH=34.3%

從圖9、10可知,當(dāng)SOH為100%～85%時,系統(tǒng)生成了雙渦卷混沌吸引子;當(dāng)SOH為85%～80%時,生成了單渦卷混沌吸引子;當(dāng)SOH為80%～0時,以周期軌道運(yùn)行。通過系統(tǒng)吸引子的運(yùn)動軌跡,可以判定鋰離子電池系統(tǒng)的SOH。

4 結(jié)論

本文作者針對車用鋰離子電池的非線性特性,建立一階RC電路模型,并以荷控憶阻器、電感及電阻組成的混聯(lián)電路作為負(fù)載,建立動力學(xué)數(shù)學(xué)模型;從平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、系統(tǒng)的耗散性和吸引子存在性、電路參數(shù)對系統(tǒng)影響等方面,分析系統(tǒng)的混沌動力學(xué)特性。

對該動力學(xué)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真求解,分析了動力學(xué)數(shù)學(xué)模型隨一階RC等效電路各參數(shù)變化過程中的一系列動力學(xué)特性。

研究結(jié)果表明,隨著一階RC等效電路歐姆內(nèi)阻的增加,系統(tǒng)通常經(jīng)超混沌和混沌進(jìn)入倍周期分岔。歐姆內(nèi)阻越小,則系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象越明顯;歐姆內(nèi)阻越大,系統(tǒng)的倍周期分岔現(xiàn)象越明顯。對系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行分析,可以掌握一階RC等效電路歐姆內(nèi)阻變化情況,為研究電池壽命的檢測提供了一種方法。