張舒月，李青，2，伍繼浩?

（1.航天低溫推進劑技術(shù)國家重點實驗室，中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所，北京 100190；2.華中科技大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

隨著超流氦在高能物理、核聚變、超導(dǎo)電力等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，大型超流氦低溫制冷系統(tǒng)已成為不可或缺的基礎(chǔ)支撐設(shè)施.對于2 K 溫區(qū)的大型氦低溫系統(tǒng)，目前國際上普遍通過采用串聯(lián)多級離心式冷壓縮機在低溫負壓下對過冷槽減壓降溫的方法來獲得1.8 K～2 K 的超流氦[1].冷壓縮機作為超流氦系統(tǒng)核心部件，需要工作在負壓低溫環(huán)境下，工作轉(zhuǎn)速達數(shù)萬轉(zhuǎn)每分鐘.苛刻的運行條件對轉(zhuǎn)子的支撐設(shè)備提出了較高的要求.常規(guī)的油脂潤滑軸承在高轉(zhuǎn)速下存在摩擦產(chǎn)熱和壽命短等問題；氣體軸承的轉(zhuǎn)速較高，但由于壓縮機的葉輪端需要工作在2 kPa的低壓環(huán)境，采用氣體軸承勢必會對下端低溫軸的密封提出更加嚴格的要求.

主動式磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）利用電磁力將轉(zhuǎn)子無摩擦無潤滑地懸浮于空間，具有無磨損、高轉(zhuǎn)速、壽命長等普適優(yōu)點[2].對于立式離心式壓縮機而言，還可以采用主動控制的方式精確定位轉(zhuǎn)子的軸向位置，改變?nèi)~頂間隙，控制進出壓縮機的質(zhì)量流率，從而達到預(yù)防壓縮機喘振的目的[3].主動式磁懸浮軸承被認為是當(dāng)前超流氦制冷系統(tǒng)中冷壓縮機轉(zhuǎn)子支撐部件的最佳選擇[4].

根據(jù)冷壓縮機的應(yīng)用需求，建立一套準(zhǔn)確和完善的磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的計算方法對于前期磁軸承和轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)設(shè)計，以及后期控制參數(shù)的實際調(diào)試都具有重要意義.轉(zhuǎn)子的研究歷史較長，目前已有一些商業(yè)軟件，如ANSYS、SAMCEF 等.采用有限元方法分析其動力學(xué)特性，這也是部分學(xué)者研究磁懸浮轉(zhuǎn)子時常采用的方法[5-7].但這種方法忽略了磁懸浮軸承系統(tǒng)的阻尼作用，并將動態(tài)剛度簡化為定剛度，只適合對臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)的估算.Mushi 等[8]構(gòu)建了考慮傳感器和功率放大器在內(nèi)的轉(zhuǎn)子狀態(tài)空間模型，但該模型沒有考慮反饋控制器的作用.王忠博等[9]考慮了包含控制器在內(nèi)的電控系統(tǒng)作用，但轉(zhuǎn)子被簡化為僅有一個自由度的剛性質(zhì)點，難以保證這種動力學(xué)特性的計算方法對轉(zhuǎn)速較高或形狀細長的磁懸浮轉(zhuǎn)子也同樣適用.G Du[10]等建立了四自由度轉(zhuǎn)子模型，采用數(shù)值計算方法分析系統(tǒng)剛度和阻尼對磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡振動的影響，但未進行實驗證實.

趙鵬[11]采用傳遞矩陣法構(gòu)建自由轉(zhuǎn)子模型，研究了剛度對磁懸浮轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響，但系統(tǒng)的控制作用被等效為固定剛度，且該分析僅限于理論仿真.萬金貴等[12]構(gòu)建了磁懸浮轉(zhuǎn)子的完整模型，提出一種臨界轉(zhuǎn)速理論計算方法，并通過轉(zhuǎn)子軸心軌跡的發(fā)散程度對臨界轉(zhuǎn)速進行估算，和理論結(jié)果進行比較，但是文中所建立的轉(zhuǎn)子模型基于傳遞矩陣法，模型在表述上不夠直觀，不利于考慮外界激勵，且沒有給出轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的理論計算方法和對應(yīng)的實驗驗證.

上述文獻能對磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性進行簡單計算和分析，但由于沒有考慮控制器的作用，或?qū)⑥D(zhuǎn)子視為簡單模型等，因此對磁軸承支撐的轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為的模擬在一定程度上可能與真實情況存在偏差.Schweitzer 和Maslen 構(gòu)建了轉(zhuǎn)子有限元模型，并提出通過采用求解從不平衡干擾到轉(zhuǎn)子位移的傳遞函數(shù)的方式獲得轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)特性[2].本文沿用傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子頻響特性的求解方法，理解和操作上較為方便，并對控制參數(shù)對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響規(guī)律進行了詳細探討；最后在磁懸浮冷壓縮機原型實驗臺上對本文提出的動力學(xué)分析方法予以實驗驗證，實驗結(jié)果和仿真結(jié)果較為符合.

1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)建模

超流氦制冷系統(tǒng)中某級壓縮機如圖1 所示.壓縮機的額定轉(zhuǎn)速為50 000 rpm，其轉(zhuǎn)子由軸向磁懸浮軸承和兩個徑向磁軸承支撐，兩個電感式位移傳感器分布于徑向磁軸承外側(cè)，永磁同步電機置于中間位置，用以驅(qū)動轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn).

圖1 磁懸浮冷壓縮機剖面結(jié)構(gòu)Fig.1 Sectional structure of magnetic suspension cold compressor

1.1 轉(zhuǎn)子的有限元模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子重4.85 kg，中間部位的直徑為59.8 mm，實物如圖2 所示.轉(zhuǎn)子由內(nèi)部軸芯以及推力盤、徑向磁軸承和傳感器的轉(zhuǎn)子軸套、葉輪、壓緊螺帽等附件組成.

圖2 磁懸浮冷壓縮機轉(zhuǎn)子實物Fig.2 Photo of magnetic suspension rotor for cold compressor

在軸的各種模型理論[13]中，鐵木辛柯梁考慮了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形，適用于分析軸的橫向振動[14]，本文基于該理論基礎(chǔ)為轉(zhuǎn)子的軸芯建立了彈性梁有限元模型.磁懸浮轉(zhuǎn)子軸芯所用材料為40 Cr，彈性模量為2.11e11 Pa.永磁電機套筒以過盈的形式裝配在軸芯的中間位置，可以和軸芯看作一個整體.但電機套筒所用材料為釤鈷永磁體，因此在建模時將其彈性模量設(shè)定為軸芯材料的一半，為1.08e11 Pa.圖3 是冷壓縮機轉(zhuǎn)子的有限元模型，其中，中灰色和淺灰色分別代表軸芯和電機套筒.

圖3 磁懸浮轉(zhuǎn)子有限元模型Fig.3 FEM of magnetic suspension rotor

電機套筒兩端主要是傳感器和徑向磁軸承軸套，由0.35 mm 厚的硅鋼片壓制而成，這部分對轉(zhuǎn)子的橫向彎曲影響較小，因此可忽略剛度，將其視為剛性圓盤單元.壓緊螺帽、葉輪和軸向推力盤也進行了同樣處理.圖3 中的深灰色部分表示剛性圓盤單元.另外，圖中彈簧表示兩徑向磁軸承的位置，三角形表示傳感器位置.為檢測和校正轉(zhuǎn)子的殘余不平衡質(zhì)量，轉(zhuǎn)子軸套兩端沿半徑為25 mm 的周向各設(shè)計一圈螺紋孔，見圖中“U1”和“U2”標(biāo)記處.經(jīng)測試，轉(zhuǎn)子在這兩處的殘余不平衡量分別為1.06 g·mm 和0.82 g·mm，相角為171°.

在為轉(zhuǎn)子進行節(jié)點劃分時，磁軸承、傳感器、螺紋孔等關(guān)鍵位置均被設(shè)置為主節(jié)點.為保證計算的快速收斂，在主節(jié)點之間劃分數(shù)個子節(jié)點，使相鄰節(jié)點之間的距離盡可能相等.最后得到有64 個節(jié)點的轉(zhuǎn)子有限元模型，其中，徑向磁軸承、位移傳感器和螺紋孔位置分別位于節(jié)點21 和43，17 和47，以及15 和48.

通過編寫MATLAB 代碼完成上述轉(zhuǎn)子模型的建立，得到包含各軸段單元和質(zhì)量不平衡力的轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程如下所示：

式中：qR為轉(zhuǎn)子的位移矢量；腳碼數(shù)字代表節(jié)點數(shù)；x和y 分別表示徑向線位移，φx和φy為繞x 和y 的旋轉(zhuǎn)角位移；質(zhì)量矩陣MR為剛性圓盤軸段單元質(zhì)量矩陣Md和彈性軸軸段單元質(zhì)量矩陣Msn之和，可用下列公式進行求解.

式中：mn和ln分別為第n 段彈性軸單元的質(zhì)量和長度，mdn和Jdn為第n 段剛性圓盤單元的質(zhì)量和直徑轉(zhuǎn)動慣量.阻尼矩陣DR和剛度矩陣KR的求解方法類似，可參考文獻[15].

假設(shè)軸套兩端螺紋孔處的殘余不平衡質(zhì)量分別為me1和me2，偏心距為e1和e2，相位角為φ1和φ2，則這兩處的質(zhì)量偏心引起的不平衡力fu（t）可寫作如下形式：

式中：ω 為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻，fuc和fus可表示為：

通過引入和螺紋孔所在節(jié)點有關(guān)的轉(zhuǎn)換矩陣Tu，將上述不平衡干擾力fu擴展為整個轉(zhuǎn)子上的廣義不平衡力Fu：

1.2 主動式電磁力

和傳統(tǒng)油潤滑軸承不同，磁懸浮軸承產(chǎn)生的主動電磁力fa取決于繞組線圈的控制電流i 和轉(zhuǎn)子偏離中心的位移x[2]：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，A 為磁極面積，ν 為繞組匝數(shù)，x0和i0分別為偏置位置和偏置電流，α 為磁極間夾角.ki和ks為電流剛度和位移剛度，僅和磁軸承的結(jié)構(gòu)有關(guān).本文采用的兩個徑向磁軸承的結(jié)構(gòu)相同，實物見圖4 所示；磁軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)列于表1.

圖4 徑向磁懸浮軸承定子Fig.4 Stator of radial AMB

表1 磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of AMB

假設(shè)磁懸浮轉(zhuǎn)子在某徑向自由度保持穩(wěn)定，則：

圖5 是磁懸浮轉(zhuǎn)子閉環(huán)反饋系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子位移x由傳感器傳遞給控制器，經(jīng)計算后，通過功率放大器轉(zhuǎn)換為適當(dāng)范圍內(nèi)的控制電流i，用以驅(qū)動電磁鐵線圈.因此公式（4）中位移x 和電流i 的關(guān)系可表示為：

圖5 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的閉環(huán)反饋框圖Fig.5 Closed-loop feedback block diagram of AMB-rotor system

式中：Ga、Gc和Gs分別為功率放大器、控制器和傳感器的傳遞函數(shù).磁懸浮轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)采用三電平功率放大器，經(jīng)掃頻測試，其增益為0.79，帶寬達2.3 kHz；傳感器增益為20 000 V/m，信號處理電路中抗混疊濾波器的帶寬為3.3 kHz.功放和傳感器的帶寬遠大于額定轉(zhuǎn)頻，因此可以將傳感器和功率放大器的傳遞函數(shù)簡化為常數(shù)形式以突出控制器參數(shù)與系統(tǒng)剛度、阻尼的關(guān)系.

為防止低頻和高頻狀態(tài)下，控制器無限放大位移偏差信號，在PID 基本控制器中增加積分時間常數(shù)Ti和微分時間常數(shù)Td.本文采用的控制器形式如下式（6）所示：

式中：Kp、Ki和Kd分別是比例增益、積分增益和微分增益.

將公式（5）代入公式（4），并進行拉普拉斯變換，整理得：

如果用ke表示剛度，de表示阻尼，則質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的動力學(xué)方程的拉普拉斯變換形式為：

聯(lián)立公式（6）（7），同時對照公式（8），閉環(huán)系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼為：

兩徑向磁軸承在x 和y 方向上產(chǎn)生的電磁力可借助剛度和阻尼來表示，qa為兩徑向磁懸浮軸承處的線位移.因此，在整個轉(zhuǎn)子有限元模型上的廣義電磁力為：

式中：Ta為電磁力的轉(zhuǎn)換矩陣.

考慮控制器等電控硬件的閉環(huán)系統(tǒng)中的磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型可描述為：

綜合公式（3），整理為如下方程：

2 磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)計算

針對公式（14）所示的轉(zhuǎn)子動力學(xué)微分方程組，一般采用模態(tài)疊加或者數(shù)值分析方法分析轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性.模態(tài)疊加法通過解耦處理簡化了原始運動方程，但該方法忽略了系統(tǒng)阻尼的影響[16].數(shù)值分析法通過離散時間項得到上述方程的時域近似解，對少自由度模型的求解比較有效，但對高階次有限元轉(zhuǎn)子模型而言費時費力[10].出于方法的普適性，這里對上述方程進行變換，然后通過求解特征值和特征向量的形式得到臨界頻率和模態(tài)振型[15]，通過求解方程的穩(wěn)態(tài)解獲知轉(zhuǎn)子的振動情況.

2.1 特征值和特征向量

為得到一階微分方程，對上述二階微分方程組進行降階處理.方程（14）轉(zhuǎn)換為：

式中：矩陣A 的特征根λ 和特征向量υ 分別對應(yīng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型.由于轉(zhuǎn)子模型考慮了陀螺效應(yīng)，因此特征根可用共軛復(fù)數(shù)表示：

式中：j 為虛數(shù)單位，k 為序數(shù)，N 表示方程（16）的自由度數(shù)，即模型節(jié)點數(shù)n 的4 倍.特征值的實部σk表示特征阻尼，虛部ωk為固有頻率.

2.2 質(zhì)量不平衡響應(yīng)

結(jié)合方程（3）和（14），質(zhì)量不平衡力作為激勵時，轉(zhuǎn)子的振動方程可表示為：

上述方程的穩(wěn)態(tài)解具有這樣的形式[12]：

將公式（18）代入方程（17），整理得：

3 磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性仿真

磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性不僅取決于轉(zhuǎn)子和磁軸承結(jié)構(gòu)，還和控制器有關(guān).根據(jù)本文提出的建模方法和上述動力學(xué)計算公式，本節(jié)將解釋PID 參數(shù)的選擇依據(jù)，并對該控制參數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)進行仿真計算.

3.1 控制器參數(shù)的取值范圍

對于結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定的磁懸浮轉(zhuǎn)子，可以通過改變控制器參數(shù)主動調(diào)整系統(tǒng)的剛度和阻尼，以實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定及良好的動態(tài)性能.

公式（6）中，微分項的截止頻率和工作頻率有關(guān)，本文取800 Hz；積分項的截止頻率較低，取0.75 Hz.容易證明，對于處于0.75～800 Hz 頻率范圍內(nèi)的磁懸浮轉(zhuǎn)子，公式（9）中積分增益和微分增益對控制器剛度的影響較小，在初期進行控制器參數(shù)整定時可忽略處理，因此：

為穩(wěn)定轉(zhuǎn)子，控制系統(tǒng)提供的剛度需大于磁軸承的本身負剛度[2]，即位移剛度.但過大的剛度要求高帶寬的功率放大器，且可能會造成磁場飽和.如果系統(tǒng)剛度取位移剛度的1～3 倍，則由公式（20）得：

式中：α∈（1，3）.

同理，系統(tǒng)阻尼和微分增益的關(guān)系式可簡化為：

為獲得較好的靜、動態(tài)響應(yīng)性能，壓縮機和磁懸浮軸承的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[17，18]要求額定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)的阻尼比大于20%.然而大阻尼比會導(dǎo)致噪音信號的放大以及造成控制信號飽和.如果將阻尼比的范圍取為20%～70%，聯(lián)立阻尼比公式和公式（22），得：

3.2 Kp 和Kd 對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響

公式（21）和（23）所列參數(shù)取值范圍能夠保證轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮.在該范圍內(nèi)改變Kp和Kd，可進一步研究控制器關(guān)鍵參數(shù)對磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響規(guī)律.

冷壓縮機轉(zhuǎn)子被設(shè)計為剛性轉(zhuǎn)子，因此額定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子位移振動達到最大時的頻率可看作剛體臨界轉(zhuǎn)速.剛體臨界轉(zhuǎn)速隨Kp和Kd的變化曲線分別如圖6 和圖7 所示.

圖6 臨界轉(zhuǎn)速隨比例增益的變化曲線Fig.6 Critical speed as the function of proportional gain

圖7 臨界轉(zhuǎn)速隨微分增益的變化曲線Fig.7 Critical speed as the function of differential gain

由圖6 可知，在0.27～0.8 范圍內(nèi)，隨Kp的增加，剛體臨界轉(zhuǎn)速從約20 Hz 增加到53 Hz 附近，增加的速度逐漸平緩.這表明通過增減Kp可改變剛體臨界轉(zhuǎn)速，從而有可能避免轉(zhuǎn)子在升速時的大幅振動，使得整個過程的運行更加平穩(wěn).此外，由上圖還可以獲知，隨Kp增加，臨界轉(zhuǎn)速和Kd由負相關(guān)逐漸變?yōu)檎嚓P(guān).但整體而言，相比Kp，Kd對臨界轉(zhuǎn)速影響較小.

由圖7 知，在0.000 2～0.001 1 范圍內(nèi)，隨Kd的增加，剛體臨界轉(zhuǎn)速基本保持在30 Hz，超過0.001 1，臨界轉(zhuǎn)速對Kd異常敏感.這說明當(dāng)處于合適范圍內(nèi)，臨界轉(zhuǎn)速幾乎不受Kd的影響，計算系統(tǒng)剛度時可對控制器的微分作用進行忽略處理；但當(dāng)Kd較大時，即使微小變化，也會造成臨界轉(zhuǎn)速的急劇改變，轉(zhuǎn)子工作于這種狀態(tài)是十分危險的.

圖8 和圖9 分別是某傳感器觀測到的位移振動峰值隨Kp和Kd的變化情況.由圖8 可知，隨Kp的增加，轉(zhuǎn)子的位移振動峰值呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，這一過程的極值隨Kd的增加而減小.圖9 中位移振動峰值的變化趨勢和圖8 類似，即隨Kd的增加先增大后減小，但這一極值隨Kd的增加而增大.這表明在極小的Kd作用下，Kp的增加反而可能會加劇轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)過程中的位移振動.

圖8 位移振動峰值隨比例增益的變化曲線Fig.8 Displacement vibration peak as the function of proportional gain

圖9 位移振動峰值隨微分增益的變化曲線Fig.9 Displacement vibration peak as the function of differential gain

磁懸浮轉(zhuǎn)子輔助軸承的氣隙為150 μm，綜合考慮轉(zhuǎn)子的位移振動情況，一組合適的Kp和Kd可選擇為0.35 和0.000 60.控制器的積分項用于消除轉(zhuǎn)子的靜態(tài)誤差，本文選取為Kp的10 倍，即Ki=3.5作為控制器的積分增益.為方便對比，接下來的仿真計算和實驗測試均采用上述控制器參數(shù)值.

3.3 臨界轉(zhuǎn)速

通過求解公式（16）中特征矩陣A 的特征值λk可獲知轉(zhuǎn)子的特征頻率信息.計算不同轉(zhuǎn)速下的特征頻率ωk，連接同一模態(tài)下的特征頻率，連線和轉(zhuǎn)速的交點為轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，如圖10 所示，即上述PID 控制參數(shù)作用下的坎貝爾圖.

由圖10 知，磁懸浮轉(zhuǎn)子的彎曲渦動頻率隨轉(zhuǎn)速線性變化.但和自由轉(zhuǎn)子不同的是，剛體臨界轉(zhuǎn)速在低轉(zhuǎn)速下呈現(xiàn)非線性變化.這是由于在控制器作用下，閉環(huán)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子的剛度并非固定值，而是隨著轉(zhuǎn)速發(fā)生變化（見公式（9）），且在轉(zhuǎn)速小于約2 000 rpm 時，這種變化比較明顯.

⑤爆破堆石區(qū)。該區(qū)位于過渡料區(qū)下游，形成下游上壩道路和下游壩坡，是壩體的主要支撐結(jié)構(gòu)，為石料場及建筑物開挖爆破料，碾壓層厚0.8 m，孔隙率小于或等于21%。

在實際運轉(zhuǎn)過程中，磁懸浮轉(zhuǎn)子只有前向渦動模態(tài)被激發(fā)[19].由圖10 知，轉(zhuǎn)子的前兩階前向剛體臨界轉(zhuǎn)速分別在25 和40 Hz 附近.前兩階前向彎曲臨界轉(zhuǎn)速分別為2 502 Hz 和4 821 Hz，如果不考慮陀螺效應(yīng)，前兩階彎曲臨界轉(zhuǎn)速分別為2 238 Hz 和4 280 Hz.冷壓縮機的最大額定轉(zhuǎn)速為833 Hz，距離第一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速有較大安全裕度，遠滿足標(biāo)準(zhǔn)要求.

圖10 PID 控制下轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖Fig.10 Campbell diagram of the rotor with PID controller

3.4 不平衡響應(yīng)

根據(jù)公式（19）求得兩傳感器處轉(zhuǎn)子的位移振動情況，如圖11 所示.在上述PID 控制器參數(shù)下，轉(zhuǎn)子在27 Hz 附近振動較大，上下傳感器觀測到的位移振動峰值分別為89 μm 和55 μm，越過振動峰值，轉(zhuǎn)子運行較為平穩(wěn).與圖10 所示坎貝爾圖中的兩個剛體模態(tài)不同，不平衡響應(yīng)仿真只觀測到一個振動峰值，這是由于平動模態(tài)頻率和錐動模態(tài)頻率過于接近.

圖11 轉(zhuǎn)子在上下傳感器處的不平衡位移響應(yīng)仿真Fig.11 Simulation of unbalanced displacement response of the rotor at the upper and lower sensors

4 實 驗

4.1 模態(tài)試驗

4.1.1 閉環(huán)系統(tǒng)的辨識

為驗證本文所建立的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，采用安捷倫的動態(tài)信號分析儀35670A 對閉環(huán)系統(tǒng)進行正弦掃頻測試.正弦信號從功率放大器的前端（圖5 中標(biāo)識為Tin處）輸入，并對從被控對象輸入端（T1）到轉(zhuǎn)子位移輸出端（T2）的信號進行分析，得到閉環(huán)系統(tǒng)中磁懸浮轉(zhuǎn)子模型第一通道的波特圖，如圖12 黑色虛線所示.

圖12 閉環(huán)系統(tǒng)中磁懸浮轉(zhuǎn)子模型Fig.12 Model of magnetic suspension rotor in closed loop system

圖中灰色實線表示通過仿真計算，得到的對應(yīng)輸入端到對應(yīng)輸出端的傳遞函數(shù)波特圖.由圖可知，在0～2 000 Hz 范圍內(nèi)，經(jīng)仿真計算和模態(tài)辨識實驗得到的模型較為匹配，兩種方法獲得的剛體臨界轉(zhuǎn)速分別為27 和28 Hz.但當(dāng)頻率較大時難以通過這種方法辨識出磁懸浮轉(zhuǎn)子模型及其彎曲模態(tài).

4.1.2 力錘激振實驗

磁懸浮轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速主要受控制器影響，而彎曲臨界轉(zhuǎn)速主要取決于磁懸浮轉(zhuǎn)子的機械結(jié)構(gòu)[2]，和控制系統(tǒng)提供的剛度幾乎沒有關(guān)系，因此采用錘擊法測量得到的自由轉(zhuǎn)子的高階臨界轉(zhuǎn)速可近似看成閉環(huán)系統(tǒng)中磁懸浮轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速.將轉(zhuǎn)子等分為17 個力錘敲擊點，其中加速度傳感器固定于節(jié)點5.為保證力錘激勵帶寬，選取較硬的鋁質(zhì)錘頭進行錘擊.圖13 中前兩階彎曲臨界轉(zhuǎn)速分別為2280 Hz 和4 199 Hz，而仿真計算結(jié)果為2 238 Hz 和4 280Hz，兩者分別相差1.8%和1.9%.

圖13 前兩階臨界彎曲臨界轉(zhuǎn)速實驗測試結(jié)果Fig.13 Experimental results of the first two critical bending mode frequencies

4.2 動力學(xué)特性測試實驗

磁懸浮冷壓縮機實驗臺如圖14 所示，它主要由磁懸浮冷壓縮機本體、電控硬件系統(tǒng)、采集和監(jiān)控系統(tǒng)、控制器開發(fā)系統(tǒng)等組成.為測試轉(zhuǎn)子升速過程中的運行情況，設(shè)置轉(zhuǎn)速的加速度為500 rpm/s，轉(zhuǎn)子從靜止懸浮勻速緩慢升速到50 000 rpm，傳感器將測得的位移信號傳送至LabVIEW 監(jiān)控程序.

圖14 磁懸浮冷壓縮機測試實驗臺Fig.14 Test rig for magnetic suspension cold compressor

4.2.2 升速實驗

采用和圖11 相同的PID 控制參數(shù)，檢測轉(zhuǎn)子升速時的位移信號并借助MATLAB 進行分析，得到位移隨轉(zhuǎn)速變化的曲線圖，如圖15 所示.由圖可知，實際觀測到的轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速為28 Hz，此時上下傳感器處的位移振動最大，為93/70 μm.和仿真計算的不平衡響應(yīng)結(jié)果（圖11）相比，剛體臨界轉(zhuǎn)速相差較小，為1 Hz.實驗和仿真結(jié)果顯示振動峰值相差4/15 μm，越過臨界轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)子分別穩(wěn)定在21 μm 和16 μm 附近.

圖15 轉(zhuǎn)子在升速過程中的位移振動情況Fig.15 Displacement vibration of rotor during speed-up

4.2.3 Kp和Kd對轉(zhuǎn)子振動的影響

基于前文的仿真結(jié)果，當(dāng)Kp∈（0.35，0.50）且Kd∈（0.000 45，0.000 65）時，轉(zhuǎn)子振動幅度小于安全氣隙.在該范圍內(nèi)分別選取五組Kp和五組Kd，并對轉(zhuǎn)子升速時的振動情況進行測試.

以上傳感器觀測到的位移為例，保持微分增益Kd=0.000 60 不變，Kp分別取0.30，0.35，0.40，0.45，0.50，實驗測得轉(zhuǎn)子升速時的位移振動情況，如圖16所示.可知，隨Kp的增加，轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速從25 Hz 逐漸增加到約50 Hz，振動峰值隨Kp的增加從178 μm 逐漸減小到約35 μm.但Kp較大時，如為0.50 時，會造成轉(zhuǎn)子在高轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)時的大幅振動，這可能是由于系統(tǒng)剛度和阻尼會隨轉(zhuǎn)速的增加分別增大和減小造成的.

圖17 是保持比例增益Kp=0.35，Kd分別取4.5e-4，5.0e-4，5.5e-4，6.0e-4 和6.5e-4 時，轉(zhuǎn)子的位移振動情況.可見，轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速對Kd的變化不敏感，基本維持在30 Hz.但振動峰值隨Kd的增加而明顯降低，從205 μm 降低至約75 μm.由圖16 和圖17 明顯看到，越過剛性模態(tài)，轉(zhuǎn)子運行穩(wěn)定，位移振動基本不隨Kp和Kd發(fā)生改變，保持在21 μm 附近.

圖16 不同比例增益下轉(zhuǎn)子的位移振動情況Fig.16 Displacement vibration of the rotor as the function of proportional gains

圖17 不同微分增益下轉(zhuǎn)子的位移振動情況Fig.17 Displacement vibration of the rotor as the function of differential gains

通過圖6-11 以及圖12-17 的對比分析可以發(fā)現(xiàn)，仿真計算和實驗測試得到的轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的變化情況較為符合，具體表現(xiàn)為：1）相同控制器參數(shù)下轉(zhuǎn)子的位移振動情況隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢一致；2）當(dāng)Kd=0.000 60，Kp∈（0.35，0.50），隨著Kp的增加，仿真結(jié)果和實驗結(jié)果顯示剛體臨界轉(zhuǎn)速分別從約20 Hz 增加到40 Hz，以及從23 Hz 增加到53 Hz 附近；3）當(dāng)Kp=0.35，Kd∈（0.000 45，0.000 65），仿真和實驗結(jié)果均顯示剛體臨界轉(zhuǎn)速受Kd的影響較小，基本保持 在 30 Hz 附 近；4）當(dāng) Kd=0.000 60，Kp∈（0.35，0.50），隨Kp的增加，仿真結(jié)果表明轉(zhuǎn)子的振動峰值從175 μm 減小到55 μm 附近，實驗顯示從約178 μm 減小到35 μm；5）當(dāng)Kp=0.35，Kd∈（0.000 45，0.000 65），隨著Kd的增加，仿真結(jié)果和實驗結(jié)果分別顯示轉(zhuǎn)子的振動峰值從235 μm 減小到約75 μm，以及從205 μm 減小到約75 μm；6）越過臨界轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運行時的振動幅值幾乎不受Kp和Kd的影響，仿真結(jié)果顯示轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在14 μm，而實驗測試的這一數(shù)值較大，為21 μm，這可能是由于轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)量的測量值小于其真實值.

5 結(jié)論

本文將電控硬件的剛度和阻尼作用加入轉(zhuǎn)子有限元模型，得到閉環(huán)系統(tǒng)中磁懸浮轉(zhuǎn)子的完整模型及其臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)的計算方法.基于該方法，研究了控制器關(guān)鍵參數(shù)對磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響特點.通過仿真計算選擇出合適的控制參數(shù)，并應(yīng)用于磁懸浮冷壓縮機實驗臺，對比實驗結(jié)果和仿真結(jié)果，得到如下結(jié)論：

1）通過閉環(huán)系統(tǒng)正弦掃頻實驗和力錘激振實驗測得的轉(zhuǎn)子剛體臨界轉(zhuǎn)速和彎曲臨界轉(zhuǎn)速，和仿真結(jié)果相比，分別相差1 Hz 和2%.

2）當(dāng)控制器參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時，仿真和實驗結(jié)果顯示：轉(zhuǎn)子剛體臨界轉(zhuǎn)速隨比例增益單調(diào)增加，但幾乎不受微分增益的影響；轉(zhuǎn)子升速過程中的振動峰值隨比例增益單調(diào)遞減，且隨微分增益單調(diào)遞減.

3）相同的控制器參數(shù)下，通過仿真計算和升速實驗得到的轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速和振動峰值較為接近，位移振動隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢一致.

4）實驗和仿真結(jié)果的符合性較好說明了本文所提出的磁懸浮轉(zhuǎn)子的建模方法和動力學(xué)分析方法的可靠性.該工作為大型超流氦低溫制冷設(shè)備中冷壓縮機的實際調(diào)試和應(yīng)用奠定了重要的理論和實踐基礎(chǔ).然而，本文的研究對象是第三級壓縮機，且文中實驗是將轉(zhuǎn)子端部裸露于空氣中，因此葉輪處的周向力可以假設(shè)為零.實際各級冷壓縮機在工況、尺寸等方面各有不同，尤其第一級冷壓縮機的入口端為2K 超流氦槽池，易受氣流流動不穩(wěn)定的影響，此時實際工況下磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性有待進一步深入研究.