呂增鋒

摘 要：從探究材料出發(fā)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課，一般要經(jīng)歷“解讀探究材料，分析育人功能”“明確探究類別，制訂學(xué)習(xí)目標(biāo)”“剖析探究難點(diǎn)，構(gòu)建認(rèn)知聯(lián)系”“設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，形成教學(xué)流程”四個(gè)步驟。以《祖暅原理與柱體、錐體的體積》一課為例具體解讀這四個(gè)步驟。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課;教學(xué)設(shè)計(jì);祖暅原理;微積分思想;化歸思想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出：“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程?！睌?shù)學(xué)探究活動(dòng)是“綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體”之一，它有助于學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的激情;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。為此，新課標(biāo)特意在必修課程中安排了6課時(shí)，在選擇性必修課程中安排了4課時(shí)，共計(jì)10課時(shí)的“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”。

雖然在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也會(huì)穿插一些探究活動(dòng)，但是常常局限于一節(jié)課的某個(gè)或某些環(huán)節(jié)， 不會(huì)以探究活動(dòng)的形式組織整堂課的教學(xué)。因此，很多教師缺乏數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。最近，我市舉行了優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)，教學(xué)內(nèi)容是人教A版高中數(shù)學(xué)（依據(jù)新課標(biāo)編寫的新教材）必修第二冊(cè)第八章《立體幾何初步》中《探究與發(fā)現(xiàn)》欄目的“祖暅原理與柱體、錐體的體積”，這是一節(jié)典型的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課。下面，以這節(jié)課為例，談?wù)剶?shù)學(xué)探究活動(dòng)課設(shè)計(jì)的“四步曲”。

一、解讀探究材料，分析育人功能

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的材料可以選自課外的拓展資源，也可以直接采用教材中《探究與發(fā)現(xiàn)》欄目提供的學(xué)習(xí)材料。不論選用哪種材料，首先都要對(duì)其進(jìn)行深入的解讀。不同于一般的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的材料往往具有很強(qiáng)的綜合性和研究性，問(wèn)題思考與 解決的過(guò)程往往直指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“中樞”。因此，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)不能被零碎的知識(shí)點(diǎn)束縛，對(duì)探究材料的解讀要在關(guān)注“四基”“四能”的同時(shí)，著重分析其潛在的育人功能。以育人功能統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)點(diǎn)和思想方法，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的應(yīng)有價(jià)值。

“祖暅原理與柱體、錐體的體積”探究材料，從表面上看，由“祖暅原理”與“應(yīng)用祖暅原理求柱體、錐體的體積”兩部分組成;通過(guò)深入解讀，可以發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的育人功能非常豐富。

首先，“祖暅原理”具有豐富的數(shù)學(xué)文化功能?！白鏁溤怼笔侵腥A民族的數(shù)學(xué)瑰寶，其萌芽于劉徽對(duì)《九章算術(shù)》中球體積公式精準(zhǔn)性的質(zhì)疑，形成于祖沖之父子對(duì)球體積公式另辟蹊徑的推導(dǎo)，其產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程具有豐富的歷史文化背景。

其次，“祖暅原理”具有獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維功能。“冪勢(shì)既同，則積不容異”這短短的一句話至少包含了兩大數(shù)學(xué)思想：一是“祖暅原理”本身蘊(yùn)含的微積分思想，即通過(guò)比較幾何體的“切片”面積推斷整體體積關(guān)系，蘊(yùn)含著“無(wú)限分割與疊加”的思想;二是“祖暅原理”運(yùn)用中體現(xiàn)的化歸思想，如把復(fù)雜的幾何體轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何體，把陌生的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體。這兩大數(shù)學(xué)思想是“祖暅原理”的精髓，也是本節(jié)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課教學(xué)的重點(diǎn)。

再次，“祖暅原理”具備容易遷移的應(yīng)用價(jià)值。利用“祖暅原理”，不僅可以求球、橢球、雙曲體等空間幾何體的體積，而且推廣到平面中還可以推導(dǎo)不規(guī)則曲線所圍成的圖形的面積。

最后，“祖暅原理”還有良好的德育功能。我們既要倡導(dǎo)學(xué)習(xí)劉徽、祖沖之父子在數(shù)學(xué)研究中表現(xiàn)出來(lái)的勇于質(zhì)疑、開拓創(chuàng)新的理性思維與科學(xué)精神，還要反思我國(guó)古代數(shù)學(xué)的不足。比如，“祖暅原理”比西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列里原理”早了1000多年，為何西方人只認(rèn)“卡瓦列里原理”而不識(shí)“祖暅原理”？問(wèn)題究竟出在哪里？

二、明確探究類別，制訂學(xué)習(xí)目標(biāo)

探究材料為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供了原始的素材，接著要在明確探究

活動(dòng)類別的基礎(chǔ)上，對(duì)探究材料進(jìn)行加工，如調(diào)整內(nèi)容次序、刪減無(wú)關(guān)內(nèi)容、增加拓展內(nèi)容等。一般情況下，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)按照探究?jī)?nèi)容，可以分為發(fā)現(xiàn)知識(shí)的探究和應(yīng)用知識(shí)的探究;按照完成方式，可以分為思維性探究、觀察操作性探究、模擬實(shí)驗(yàn)性探究。不同的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)類別，其學(xué)習(xí)目標(biāo)的定位是不同的。比如，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的探究關(guān)注的是數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，包括對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式等的探究;思維性探究更多的是一種思考推理活動(dòng)，追求對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)密邏輯推理。

“祖暅原理與柱體、錐體的體積”探究材料中，既包含知識(shí)的發(fā)現(xiàn)，又包括知識(shí)的應(yīng)用;既有思維的探究，又有觀察操作的探究。因此，本節(jié)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)該兼容并包，具體如下：

1.了解“祖暅原理”的歷史背景及產(chǎn)生過(guò)程，通過(guò)觀看信息技術(shù)的演示、經(jīng)歷動(dòng)手操作的過(guò)程，理解“祖暅原理”的內(nèi)涵，直觀感受其合理性，體會(huì)其中蘊(yùn)含的微積分思想。

2.利用“祖暅原理”進(jìn)行柱體體積、錐體體積的轉(zhuǎn)化，體會(huì)轉(zhuǎn)化過(guò)程的合理性，體會(huì)化歸思想。

3.在了解“祖暅原理”應(yīng)用價(jià)值的基礎(chǔ)上，體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，反思其中的不足。

三、剖析探究難點(diǎn)，構(gòu)建認(rèn)知聯(lián)系

在教學(xué)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)之前，還要明確：學(xué)生會(huì)面臨怎樣的困難？探究的問(wèn)題是否超出了學(xué)生的已有認(rèn)知？如果超出了，用怎樣的方式分解探究的難度？這些問(wèn)題的思考與解決過(guò)程實(shí)際上決定了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)流程。對(duì)此，教師不能局限于對(duì)知識(shí)的“點(diǎn)”式理解，而要站在系統(tǒng)的高度，從“網(wǎng)”的視角厘清關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)與先前知識(shí)、后續(xù)知識(shí)、類似知識(shí)甚至相反概念之間的邏輯關(guān)系，以構(gòu)建認(rèn)知聯(lián)系，體現(xiàn)思維脈絡(luò)，從而確保數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的順利進(jìn)行。

《祖暅原理與柱體、錐體的體積》一課，微積分思想與化歸思想是探究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此，教學(xué)的重心應(yīng)該放在幫助學(xué)生構(gòu)建兩大數(shù)學(xué)思想與已有經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系上。

對(duì)于微積分思想，學(xué)生不僅經(jīng)常耳濡目染，而且在學(xué)習(xí)“球的體積公式”時(shí)剛剛接觸過(guò)——先把球分割為若干個(gè)“小錐體”，再累加。因此，類比球的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，就可以獲得“祖暅原理”的推導(dǎo)思路。

化歸思想涉及不同幾何體之間的體積轉(zhuǎn)換，學(xué)生在這方面的經(jīng)驗(yàn)顯然不足，因?yàn)闊o(wú)論是柱體體積公式，還是錐體體積公式，新教材都沒有給出推導(dǎo)過(guò)程。但是，如果回顧小學(xué)時(shí)長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，還是能找到化歸思想的影子：如圖1所示，先定義棱長(zhǎng)為1的立方體的體積為1，那么任何長(zhǎng)方體都可以轉(zhuǎn)化為單位立方體的和。在此基礎(chǔ)上，借助“祖暅原理”，所有柱體的體積都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的體積，而所有柱體都可以分為三個(gè)等體積的錐體。由此，學(xué)生對(duì)化歸思想的理解自然水到渠成。

四、設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，形成教學(xué)流程

問(wèn)題是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力，是幫助學(xué)生完成探究的腳手架，可以有效地降低探究的門檻，從而使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為有限的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”過(guò)程。問(wèn)題源自對(duì)探究任務(wù)的細(xì)分，其目的在于把相對(duì)宏大、復(fù)雜的探究任務(wù)分解為一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立又緊密聯(lián)系的子任務(wù)。然后，以這些問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)探究活動(dòng)的流程。

《祖暅原理與柱體、錐體的體積》一課主要由原理的發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、反思四個(gè)探究任務(wù)組成。下面，圍繞這四個(gè)任務(wù)設(shè)計(jì)具體問(wèn)題。

【探究任務(wù)1】?? “祖暅原理”的發(fā)現(xiàn)

球的體積公式的推導(dǎo)有多種方法。教材中采用的是“無(wú)限分割”的思想，把球分割成一個(gè)個(gè)近似的“小錐體”，然后累加“小錐體”的體積，就可以獲得球的體積。實(shí)際上，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家曾通過(guò)“牟合方蓋”體積與其內(nèi)切球體積之間的比例關(guān)系推導(dǎo)球的體積公式。為什么可以這樣推導(dǎo)呢？其中蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)原理？請(qǐng)查找相關(guān)文獻(xiàn)，了解“牟合方蓋”與球的體積公式推導(dǎo)的歷史背景。

問(wèn)題1 1：?? 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家是利用什么數(shù)學(xué)原理來(lái)推導(dǎo)球的體積公式的？

問(wèn)題1 2：?? 你能用自己的語(yǔ)言描述“祖暅原理”嗎？

通過(guò)對(duì)比球的體積公式的推導(dǎo)思路，了解“祖暅原理”的產(chǎn)生背景，初步體會(huì)“祖暅原理”的應(yīng)用價(jià)值。

【探究任務(wù)2】?? “祖暅原理”的證明

打開一包A4打印紙，此時(shí)紙張自然堆積成一個(gè)長(zhǎng)方體，然后把所有紙傾斜一個(gè)角度，使紙張堆積成的幾何體形狀發(fā)生改變，那么兩個(gè)幾何體的體積有沒有發(fā)生改變？（借助電腦動(dòng)態(tài)演示）

問(wèn)題2 1：?? 兩個(gè)幾何體的高度有沒有改變？每一張紙的面積有沒有改變？

問(wèn)題2 2：?? 這些紙疊加后形成的幾何體體積有沒有改變？

問(wèn)題2 3：?? 在高度不變的前提下，你還可以用這些紙疊加形成哪些形狀的幾何體？這些幾何體的體積相等嗎？

通過(guò)動(dòng)手操作以及電腦演示，揭示“祖暅原理”背后的微積分思想，直觀感知“祖暅原理”的合理性。

【探究任務(wù)3】?? “祖暅原理”的應(yīng)用

根據(jù)“冪勢(shì)既同，則積不容異”這一原理，我們可以推導(dǎo)任意柱體、錐體以及球的體積公式。

問(wèn)題3 1：?? 對(duì)于任意一個(gè)棱柱或圓柱，你能找到一個(gè)與之體積相等的長(zhǎng)方體嗎？這個(gè)長(zhǎng)方體應(yīng)該具備什么條件？由此可得，任意柱體的體積公式是怎樣的？

問(wèn)題3 2：?? 兩個(gè)底面積與高分別相等的錐體，其體積相同嗎？為什么？

問(wèn)題3 3：?? 任意三棱柱都可以分為三個(gè)三棱錐，這三個(gè)三棱錐體積相等嗎？為什么？

問(wèn)題3 4：?? 三棱錐的體積公式能否推廣到一般棱錐？為什么？

問(wèn)題3 5：?? 如圖2所示，左邊是一個(gè)半球，右邊是一個(gè)底面半徑與高都為半球半徑的圓柱挖去一個(gè)圓錐后得到的幾何體，你能證明這個(gè)幾何體的體積與半球的體積相等嗎？

問(wèn)題3 6：?? 你還能構(gòu)造其他幾何體來(lái)推導(dǎo)球的體積公式嗎？（圖3、圖4所示是兩種參考方案）

問(wèn)題3 7：?? 應(yīng)用“祖暅原理”求幾何體的體積蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想？你能利用這一思想方法求其他幾何體的體積嗎？

問(wèn)題3 8：?? “祖暅原理”能否推廣到平面圖形中？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

以長(zhǎng)方體作為體積公式推導(dǎo)的“母體”，以相似比作為面積轉(zhuǎn)化的依據(jù)，通過(guò)由易到難、由特殊到一般的問(wèn)題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷“祖暅原理”的應(yīng)用過(guò)程，掌握體積轉(zhuǎn)化的技巧，體會(huì)化歸思想。其中，問(wèn)題3 6、3 7與3 8可以作為學(xué)生課后的探究任務(wù)。

【探究任務(wù)4】? “祖暅原理”的反思

直到17世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里才給出了類似的結(jié)論，比我國(guó)晚了1000多年。但遺憾的是，西方人只認(rèn)“卡瓦列里原理”而不識(shí)“祖暅原理”。我國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就幾乎都無(wú)法逃脫不被認(rèn)可、不易推廣的困境。

問(wèn)題4 1：?? 從數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性上分析，“祖暅原理”不被認(rèn)可的原因是什么？

問(wèn)題4 2：?? 為什么我國(guó)古代的數(shù)學(xué)成果不易推廣？

在提升民族自豪感的同時(shí)，也要讓學(xué)生明白自身的不足?！白鏁溤怼北举|(zhì)上是微積分思想的產(chǎn)物，可惜我國(guó)古代沒有研究它的嚴(yán)格證明（如果進(jìn)一步抽象的話，說(shuō)不定會(huì)誕生中國(guó)版的微積分理論）。我國(guó)古代數(shù)學(xué)沒有實(shí)現(xiàn)符號(hào)化，往往用一些生澀難懂的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)，不是專業(yè)人士根本理解不了，這就使其難以普及。問(wèn)題4 1與4 2可以作為小組合作學(xué)習(xí)的任務(wù)，以學(xué)術(shù)報(bào)告的形式呈現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張偉.祖暅原理的由來(lái)及證明[J].重慶教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（3）.

[2] 張艷嬌.談“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”如何在教科書中落實(shí)——以人教A版高中數(shù)學(xué)教科書為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（9）.

*本文系2021年浙江省教研課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂改進(jìn)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：G2021073）的階段性研究成果。