□ 平國強

“圖形與幾何”是小學數(shù)學四大學習領域之一。小學數(shù)學教學中，有近30%的學習內(nèi)容與這一領域相關，其重要性毋庸置疑。圖形與幾何一方面是學生認知的對象，學生要掌握與它相關的概念、知識與方法；另一方面，它又是促進學生思維發(fā)展的工具和載體，對學生的發(fā)展有著極其重要的意義?！皥D形與幾何”教學的核心目標是發(fā)展學生的空間觀念，尤其是空間想象能力。發(fā)展空間觀念是一個很高的目標，實際教學中，學生往往對知識方法掌握得較好，而空間想象能力卻整體比較薄弱。

一、空間觀念的內(nèi)涵及意義

“空間觀念”是數(shù)學關鍵能力之一，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對空間觀念的內(nèi)涵做了明確的描述：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。”因此，空間觀念不僅包括圖形知識，更包括空間想象能力。

首先，對學生而言，現(xiàn)實世界的基本呈現(xiàn)方式是三維空間里的幾何形態(tài)，發(fā)展學生的空間觀念，有利于學生更好地認識、理解所處的世界，豐富學生的數(shù)學經(jīng)驗。其次，發(fā)展學生的空間觀念，也是發(fā)展學生數(shù)學思維、提高學生數(shù)學能力的需要，是學生學會用數(shù)學解決問題的需要。同時，在數(shù)學的能力結(jié)構(gòu)中，空間觀念不可或缺，所以發(fā)展學生的空間觀念也是落實數(shù)學能力發(fā)展目標、提升學生核心素養(yǎng)的必由之路。

二、空間觀念培養(yǎng)的基礎與重點

空間觀念的發(fā)展需要生活經(jīng)驗、幾何概念、空間表象和基本能力結(jié)構(gòu)作為支撐。

生活經(jīng)驗深刻影響學生空間觀念的發(fā)展。生活中各種形狀的物體是學生學習掌握“圖形與幾何”相關知識的經(jīng)驗支持和模型源泉。教師要有意識地創(chuàng)造條件，讓學生多觀察實物，積累對實物形狀、特征及空間關系的認識與理解，豐富頭腦中各種物體的表象經(jīng)驗。當學生進行空間想象時，這些表象經(jīng)驗可以成為他們主動調(diào)用、理解關系的有力支持。例如，學生如果對傳統(tǒng)的鐵皮水桶或長方體的鐵皮通風管道有清晰的了解，那么解決相關問題就不會感到困難。然而，當下學生普遍存在生活經(jīng)驗不足的問題，導致空間表象的缺乏，影響了空間想象的實現(xiàn)。

數(shù)學表象是學生空間觀念發(fā)展的重要基礎。表象是指學生對幾何形體及結(jié)構(gòu)關系的知覺形象，具有簡潔性、數(shù)學性和一般性的特征。教學中要創(chuàng)造機會讓學生對幾何形體的數(shù)學屬性、空間關系進行表象建構(gòu)，如對圖形關系的表象建構(gòu)以及圖形轉(zhuǎn)換的表象建構(gòu)等。

對概念的深刻理解能促進學生空間觀念的發(fā)展。學生對圖形與幾何知識的掌握不是淺層的、單薄的，而是從對概念的記憶，到對概念的內(nèi)涵、概念與概念之間關系的理解，再到問題解決的豐富的、多層次的能力結(jié)構(gòu)。歸根結(jié)底，空間觀念是高階思維能力，它的培養(yǎng)應從圖形與幾何的概念教學開始。

空間觀念培養(yǎng)的重點是發(fā)展空間想象能力。就具體內(nèi)容來說，應關注有序思考能力、直觀表征能力、空間推理能力、過程想象能力、關系轉(zhuǎn)換能力、結(jié)構(gòu)想象能力等各種能力的發(fā)展，這些關注應貫穿于圖形與幾何教學的全過程。

三、空間觀念培養(yǎng)的實踐策略

要體現(xiàn)立足能力、發(fā)展素養(yǎng)的“圖形與幾何”教學，達成空間觀念培養(yǎng)的教學目標，應從“重視幾何概念的理解、重視幾何表象的建立、突出空間想象活動”等層面去落實。

（一）重視幾何概念的理解

重視幾何概念的理解，重在讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，把握概念的數(shù)學本質(zhì)。

數(shù)學概念是對數(shù)學知識的本質(zhì)特征的提煉、概括與表征，有著豐富的內(nèi)涵與層次。例如，學習梯形的概念“只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形”，學生需要從兩個方面理解：一是“梯形是四邊形”，也就是梯形的特征是在四邊形這個前提下描述的；二是“只有一組對邊平行”，這是明確梯形不同于別的四邊形的本質(zhì)特征。理解梯形的概念，這兩個層次缺一不可，不能只關注一個方面就下結(jié)論，這是理解“屬＋種差”這類數(shù)學概念時必須要注意的。再如，長方體的體積計算可以用“底面積×高”的方法，學生需要理解“長×寬×高”的實質(zhì)是指長、寬、高上分別可以放的體積單位的個數(shù)的乘積?！暗酌娣e”的實質(zhì)是底面上可以擺（一層）的體積單位的個數(shù)，“高”的實質(zhì)是可以擺的體積單位的層數(shù)，并且長方體的每一個面和與之垂直的棱都可以看作是“底面”和“高”。學生不能僅從字面上形式化地理解“底面”和“高”，要在體會體積算法的實質(zhì)是求體積單位總數(shù)的基礎上，從不同角度去理解“每一層”和“層數(shù)”的本質(zhì)含義。

學生能夠在幾何概念之間建立正確、合理、清晰的關系是空間想象能力產(chǎn)生的前提。教學時教師要用聯(lián)系的觀點、整體的視角處理教學內(nèi)容，設計教學進程和環(huán)節(jié)，給學生提供有聯(lián)系的教學內(nèi)容、有結(jié)構(gòu)的學習素材，以此幫助學生形成有關聯(lián)的幾何概念體系。例如，在“圖形與幾何”教學中，“高”是一個重要的概念。但教材中“高”是分散在不同圖形的認識中呈現(xiàn)的。學生從“互相垂直”的學習到三角形“高”的認識，要歷時兩個學期。學習歷程的斷斷續(xù)續(xù)，會讓學生對這一概念的理解缺少整體與本質(zhì)的把握。如果教師在教學“梯形的高”或“三角形的高”時，能夠?qū)Α案摺薄包c到直線的距離”“互相垂直”等知識做一個梳理溝通（如圖1），讓學生理解這些概念之間內(nèi)在的一致性，就能促進學生更好地把握知識之間的聯(lián)系，形成對概念本質(zhì)與整體的認識。

圖1

重視幾何概念的理解，還要讓學生經(jīng)歷思維的變式，這是促進理解走向深刻的重要途徑。所謂的思維變式，是指在學生基本掌握幾何概念后，通過設計新的問題情境，增加非本質(zhì)屬性的干擾，讓學生在進行分析與判斷的過程中，進一步加深對概念本質(zhì)屬性的理解。例如，學習“梯形”時，在學生知道了梯形的概念，經(jīng)歷了概念鞏固、基本圖形的判斷等思維活動后，教師呈現(xiàn)類似以下的變式問題（如圖2）讓學生進行分析與判斷，以促進其對梯形概念的深入理解。

圖2

下圖中ABCD是平行四邊形，EFG是三角形，請找出圖中的梯形，并說出理由。

這樣的問題情境促使學生在判斷時必須基于概念的本質(zhì)進行邏輯的思考，而不是停留在圖形標準狀態(tài)下進行簡單的判斷。這本質(zhì)上是將概念的學習提升到了應用的水平，促進學生的思維向高階攀升。

（二）重視幾何表象的建立

幾何表象是空間觀念的基礎。有效的操作活動能促進學生空間表象的建立。

教師應通過活動促使學生將幾何概念與生活經(jīng)驗建立聯(lián)系，讓生活經(jīng)驗支持表象的形成。有經(jīng)驗支持的幾何表象能夠長久地保留在學生的頭腦中，并且學生在解決問題時能實現(xiàn)有效的提取與應用，這樣的學習活動具有意義。例如，在學習常用的面積單位和體積單位時，學生要嘗試自己舉例，找到與“1平方分米”大小相似的物體的面，與“1立方厘米”“1立方分米”……大小相似的物體。學生借助自己熟悉的物體形成對這些單位的表象，這些表象會進一步成為學生的經(jīng)驗，成為其進行思考、想象的有力支持。

教師要設置任務讓學生對幾何形體進行多角度觀察，經(jīng)歷過程性操作活動，用體驗促進表象的建立。學生由此擁有關于形體對象的直接經(jīng)驗，能對幾何形體的特征和要素有更全面的理解與把握。例如，學生知道了長方體、正方體的特征，但這僅僅是擁有了相關的知識。要深度理解這些特征，形成相應表象，還需要讓學生經(jīng)歷類似下面的活動。

用提供的材料，你認為可以搭出怎樣的長方體（正方體）？先寫出你能搭的長方體（正方體）的特征和所需的材料，再搭出來。

材料（小棒和足夠的接頭）3cm 6根4cm 3根5cm 12根7cm 4根我能搭出的長方體（正方體）1 2 3長：寬：高：我需要的材料

這樣的活動使學生的操作有目標，實踐有藍圖，想象有支持，對表象的建立有很好的作用。

再如，按照教材的編排，認識圓柱和圓錐是分頭學習的。教師教學時可以進行整體設計，讓學生同時認識圓柱與圓錐，進行對比學習：觀察比較它們的整體特征、它們的底面、它們的側(cè)面、它們的高、它們的側(cè)面展開形狀……多角度、整體化和對比性的觀察，既有利于學生理解與掌握圓柱、圓錐的特征，又有利于他們形成表象。

（三）突出空間想象活動

空間想象活動是發(fā)展空間觀念的重要途徑，它是在理解概念、建立表象基礎上的更高水平的思維活動。引導學生進行空間想象，需要有效的載體，即教師要提供良好的情境或新穎的材料，這是促進學生空間想象的驅(qū)動力。

首先，要引導學生進行空間推理活動。推理是數(shù)學思維的基本形式之一，空間推理是以空間形體和空間關系為要素的推理活動，是空間觀念的重要內(nèi)涵。

例如：圖（圖3）中左邊是一副三角尺中的一塊，右邊是一個等腰三角形。那么∠1是多少度？

圖3

這個問題并不難，但它是一個典型的空間推理問題，學生需要根據(jù)已知的數(shù)學信息和認知經(jīng)驗，實現(xiàn)一系列關系的轉(zhuǎn)換，得出∠1的度數(shù)。這個過程有效地促進了學生空間想象能力的發(fā)展。

再如：在圖4-1的格點中找一個點D，使它與已有的A、B、C三點連成的四邊形是梯形，可以得到幾個不同的梯形？

這個問題的推理過程就是一個基于想象的過程。要得到結(jié)果并不困難，但學生要在推理過程中進行有序思考，這才是這個問題解決的重要價值所在。分類思考是有序的保障，根據(jù)梯形的概念“只有一組對邊平行的四邊形”，可以把梯形分成兩類：一類以BC、AD為底，AB、DC為腰；另一類以AB、DC為底，AD、BC為腰。由此可以快速有序地找到兩類梯形的所有情況（如圖4-2）。

其次，要引導學生基于想象進行空間轉(zhuǎn)換?？臻g轉(zhuǎn)換能力是空間觀念的重要表現(xiàn)，包括空間形體二維與三維的轉(zhuǎn)換、空間形體的等積變換、數(shù)與形的互譯轉(zhuǎn)換等?？臻g轉(zhuǎn)換是解決“圖形與幾何”問題時常用的一種體現(xiàn)高水平思維的策略與方法，能進行空間轉(zhuǎn)換是學生空間想象能力的重要體現(xiàn)。如人教版五年級下冊中有這樣一道習題（如圖5）。

圖5

從完成習題的角度看，通過逐塊計算面積，再求出紅色面和黃色面的總面積，即可達到鞏固面積計算的目的。但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)所有長方形的寬都是40cm，如果從培養(yǎng)空間觀念的角度看這道題，就可以引導學生展開想象：將部分紅色的面向上或向兩邊平移，組合成一些更大的長方形，再從整體上計算紅色面的面積，即（65×2＋40×3）×40=10000（cm2），同樣黃色部分也可以這樣思考。這就既達到了鞏固計算面積方法的目的，又充分發(fā)掘和利用了資源，讓學生進行空間轉(zhuǎn)換想象，促進了學生空間觀念的發(fā)展。

又如：一種食品包裝，長方體紙盒內(nèi)正好放入2個圓柱形食品罐。那么，圓柱形食品罐的體積占了長方體紙盒體積的百分之幾？

解答本題可以經(jīng)歷以下轉(zhuǎn)換過程（如圖6）。

圖6

這是利用有效信息和空間轉(zhuǎn)換，將三維體積問題轉(zhuǎn)化成二維面積問題的解題方法，在這個過程中，空間轉(zhuǎn)換能力起到了關鍵的作用。下面的例子（如圖7）更是高水平等積變換能力的典型表現(xiàn)。

圖7

求下面甲、乙兩圖中陰影部分的面積。

通過頂點的平移，兩個不同的較復雜的問題（圖甲、乙）被轉(zhuǎn)化成了一個相同的簡單問題（圖丙）。這樣的高水平解題策略方法的背后，是空間觀念的有力支持。

最后，要引導學生進行空間結(jié)構(gòu)的想象，分析并構(gòu)建空間形體間的關系。空間結(jié)構(gòu)即空間形體或空間要素之間的聯(lián)系，它是一種整體的思維想象，而不僅僅是一個概念表象或一種策略方法。幾何形體之間變化關系的想象是空間結(jié)構(gòu)想象的重點。

例如以下的問題（如圖8），就是在幾何形體之間的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化以后，通過想象分析新舊形體之間的關系來解決的。

圖8

將圓柱作如下操作，其表面積會發(fā)生怎樣的變化？為什么？

顯然，如果想象不出新的形體與原形體之間的關系，就無法正確解決這些問題。

比如：有一張長10厘米，寬4厘米的長方形紙（如圖9-1），把它一頭折起以后成圖9-2的形狀放在桌子上。那么，桌子被蓋住部分的面積是多少？

“桌子被蓋住的部分”是一個多邊形，要求出這個多邊形的面積，需要對它與長方形之間的關系、構(gòu)成這個多邊形的幾何要素進行清晰的想象與分析：多邊形是長方形通過怎樣的操作得到的？長方形的長、寬與多邊形的每條邊之間有怎樣的關系？多邊形可以看作是哪些圖形的組合？這些圖形的特征、信息是否清楚？多邊形面積與長方形面積之間又有怎樣的關系……把這些問題分析清楚以后，問題便迎刃而解：（1）多邊形面積=直角三角形面積＋銳角三角形面積＋梯形面積；（2）多邊形面積=直角三角形面積＋梯形面積；（3）多邊形面積=梯形面積＋梯形面積；（4）多邊形面積=長方形面積－銳角三角形面積……這些思路與方法，都基于對空間結(jié)構(gòu)與關系的想象。

空間結(jié)構(gòu)想象的另一個重要方面是進行空間構(gòu)造，以體會空間關系的變與不變以及影響變化的關鍵要素。

例如：一個模型，從正面看、右面看得到的形狀分別如圖10所示，那么你能搭出這個模型嗎？

圖10

對學生的作品進行展示比較后開展討論交流：為什么這些作品從正面和右面看都是這樣的形狀？（如圖11）我們能看到的是什么？不能看到的是什么？如果要使搭出來的模型是唯一的，還需要什么信息？請你自己再增加一個信息并搭出模型……這樣的活動，有助于學生理解影響空間結(jié)構(gòu)關系的要素有哪些，在特定條件下影響空間結(jié)構(gòu)的關鍵要素是什么等內(nèi)容。這對學生空間觀念的發(fā)展、解決問題能力的提高都具有重要影響。

圖11

總之，空間觀念的形成不是一蹴而就的事情。通過促進學生理解幾何概念、幫助學生建立幾何表象、引導學生進行空間想象活動等具體策略的運用，可有效提升學生的空間觀念。