□ 羅永軍

用圖來表征數(shù)學(xué)對象是小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的常用方法。在一次“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”的研討活動(dòng)中，為讓學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)概念，教師請學(xué)生分別把1個(gè)圓、2個(gè)圓、4個(gè)圓看成單位“1”，畫圖分別表示它們的。教學(xué)很順利，學(xué)生很快畫出了示意圖。其中，把2個(gè)圓看成單位“1”，學(xué)生畫的是,得到了上課教師的肯定。在課后的研討中，這幅圖示引起了大家的爭議，有人認(rèn)為正確，有人提出質(zhì)疑，認(rèn)為這樣畫表示的是或，還有的提出在這節(jié)課中這幅圖可以用來表示，到學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)時(shí)則應(yīng)該表示為。是這樣嗎？同一幅圖在不同時(shí)段居然可以用來表示兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，這的確會(huì)讓人產(chǎn)生困惑。數(shù)學(xué)不是追求精確嗎？這到底該如何表示呢？

一、數(shù)學(xué)分析

分?jǐn)?shù)作為一個(gè)復(fù)雜的概念，其意義非常豐富，國內(nèi)外許多學(xué)者都對分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。比如（張奠宙，2010）：

定義1（部分與整體）：分?jǐn)?shù)是一個(gè)單位平均分之后的一份或幾份。

定義2（商）：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除的商。

定義3（比）：分?jǐn)?shù)是q與p之比。

定義4（公理化）：有序的整數(shù)對（p，q），其中p≠0。

也有學(xué)者提出了更多的定義，不過在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)的內(nèi)容涉及上述的定義1、定義2和定義3，這一次教研中的爭議問題，即是與定義1有關(guān)的內(nèi)容。

既然分?jǐn)?shù)的定義是清晰的，那為什么會(huì)有爭議呢？事實(shí)上當(dāng)把1張圓片看成單位“1”，在圓片上可以表示為，這沒有爭議，那么在兩張圓片中如何表示呢？按照定義1，我們把兩張圓片看成一個(gè)單位，先把它平均分成4份：，再表示這樣的3份：，涂色即表示，看來上述的圖示似乎沒有問題。那么，為什么大家會(huì)有爭議，認(rèn)為是或呢？僅從圖示看，由于沒有表明誰是單位“1”，還可以認(rèn)為是一個(gè)圓即是單位“1”，涂色部分確實(shí)會(huì)看成3個(gè)。原來，問題出在單位“1”上，同一圖示，因單位“1”不同，所表征的分?jǐn)?shù)就不同。那么如何表征“單位‘1’”呢？有沒有通行的方法？教材中又是如何表示的呢？

二、教材分析

像上面這樣有爭議的分?jǐn)?shù)表征問題，教材中也有（北師大版五年級上冊“分?jǐn)?shù)的意義”第3課時(shí)“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”，如圖1）。

圖1

圖2

圖3

圖4

如何讓學(xué)生明確單位“1”所指呢？雖然教材中沒有這方面的說明，但許多一線教師已經(jīng)主動(dòng)做了多種實(shí)踐，最常用的方法是用“集合圈”圍住多個(gè)物體，以表明圍住的物體是一個(gè)整體。那么，這樣圖示的效果是否顯著呢？

三、認(rèn)知調(diào)查

我們把教材中的例題作為調(diào)查問題分別對四年級105位學(xué)生和五年級99位學(xué)生做了問卷調(diào)查，共2份，先做A問卷，再做B問卷，問卷中的圖示與教材中的圖示相同。其中，四年級學(xué)生未學(xué)過假分?jǐn)?shù)，五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)過假分?jǐn)?shù)。之所以選擇這兩個(gè)年級是為了便于對比，觀察“集合圈”圖示法對這兩類學(xué)生是否都有影響。調(diào)查時(shí)，學(xué)生均獨(dú)立作答，教師不作任何解釋。

A問卷 請你寫出涂色部分所表示的數(shù)。

結(jié)果（%）四年級（未學(xué)）五年級（已學(xué)）項(xiàng)目images/BZ_58_1504_1819_1625_1877.png①3 4 97.1 61.6 3 2/11 2 0 34.3其他2.9 4.0images/BZ_58_1701_1826_1896_1871.png②3 4 97.1 97.0 3 0 0其他2.9 3.0images/BZ_58_1934_1823_2160_1874.png③15 4/20 82.3 75.1 5 4/11 4 0 15.6其他17.7 9.3

需要說明的是，雖然我們要求學(xué)生寫出涂色部分所表示的“數(shù)”，但是學(xué)生受分?jǐn)?shù)圖式的影響，不約而同地都寫成了“分?jǐn)?shù)”。特別是圖②，學(xué)生沒有把3個(gè)涂色三角形看成3個(gè)1，而是同形繼承到分?jǐn)?shù)的“部分—整體”圖式，全都看成了。

從調(diào)查問卷中可以明顯地看到，四年級學(xué)生在未學(xué)假分?jǐn)?shù)前，都默認(rèn)把整體當(dāng)成單位“1”，寫的都是真分?jǐn)?shù)，而五年級同學(xué)則按自己的理解來判斷誰是單位“1”，從圖①和圖③的作答中可以看出寫成真分?jǐn)?shù)和寫成假分?jǐn)?shù)/帶分?jǐn)?shù)的學(xué)生分別接近2∶1和5∶1。這難道真是學(xué)得多，混淆也多嗎？不過，這不是學(xué)生的問題，而是教材需要改進(jìn)。那么，如果用上“集合圈”呢？學(xué)生會(huì)寫成什么呢？

B問卷（增加“集合圈”）：請你寫出涂色部分所表示的數(shù)。

結(jié)果（%）四年級（未學(xué)）五年級（已學(xué)）項(xiàng)目images/BZ_59_495_554_614_630.png①3 4 98.1 76.8 3 2/11 2 0 21.2其他1.9 1.0images/BZ_59_696_557_911_627.png②3 4 98.1 98.0 3 0 0其他1.9 2.0images/BZ_59_948_554_1166_630.png③15 4/20 88.6 81.7 5 4/11 4 0 9.1其他11.4 9.1

相比較A問卷的調(diào)查結(jié)果，加上“集合圈”后，對四年級學(xué)生來說沒有影響，但對五年級學(xué)生來說，正確率確實(shí)有所提升。其中，圖①的正確率上升了15.2%，圖③的正確率上升了6.6%，看來，“集合圈”的使用對于學(xué)生把整體看成單位“1”的理解有一定的促進(jìn)作用。不過，數(shù)據(jù)也顯示對于圖①還有21.2%的學(xué)生認(rèn)為是，看來用“集合圈”來表示單位“1”還不夠直觀，學(xué)生還是比較容易混淆，這確實(shí)是個(gè)有點(diǎn)“頑固”的學(xué)困點(diǎn)。

四、調(diào)整與再調(diào)查

那么，教材該如何改進(jìn)呢？我們查閱了國外的一些教材，發(fā)現(xiàn)主要用文字說明的方法，如圖5。

圖5

我們認(rèn)為用文字說明的方法對于學(xué)生解題作答來說會(huì)比較清晰，但還是沒有解決分?jǐn)?shù)的圖式表征問題，或者說沒有解決單位“1”的表征問題。怎么辦？當(dāng)我們再次審視上述的調(diào)查數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)使用集合圈的方法其實(shí)已經(jīng)起到了一定的效果，我們設(shè)想能不能在此基礎(chǔ)上再做進(jìn)一步的改進(jìn)？于是我們在原有的集合圈上增加單位“1”的標(biāo)注，以進(jìn)一步明確單位“1”的指向。

隔了一周，我們對原來的五年級學(xué)生再次進(jìn)行問卷調(diào)查：“請你寫出涂色部分所表示的數(shù)?！睘樘岣咝Ф?，本次調(diào)查分A、B兩份問卷，先統(tǒng)一完成A問卷，再統(tǒng)一完成B問卷，交叉驗(yàn)證。

A問卷

結(jié)果（%）五年級項(xiàng)目images/BZ_59_1485_700_1581_761.png①3 4 94.9 3 2/11 2 4.0其他1.0images/BZ_59_1692_701_1861_760.png②3 4 6.1 3 81.8其他12.1images/BZ_59_1917_693_2163_769.png③1 4/5 2 0 5.1 5 4/11 4 88.9其他6.1

B問卷

結(jié)果（%）五年級項(xiàng)目images/BZ_59_1481_1068_1585_1141.png④3 4 4.0 3 2/11 2 93.9其他2.0images/BZ_59_1678_1071_1876_1138.png⑤3 4 96.0 3 3.0其他1.0images/BZ_59_1931_1070_2148_1139.png⑥15 4/20 91.9 5 4/11 4 2.0其他6.1

從調(diào)查結(jié)果來看，雖然調(diào)查分兩次進(jìn)行而且內(nèi)容互有干擾，但是學(xué)生的正確率卻明顯提升。其中，圖①⑤⑥是把多個(gè)物體看成一個(gè)整體，學(xué)生的識(shí)別正確率達(dá)到了94.9%，96.0%，91.9%，正確率提升非常明顯；在調(diào)查中，我們還對假分?jǐn)?shù)/整數(shù)的表示做了調(diào)查，如圖②③④，正確率分別是81.8%，88.9%，93.9%，其中最簡單的圖②學(xué)生反而錯(cuò)誤最多，通過訪談了解到學(xué)生倒不是識(shí)別不出單位“1”，而是覺得寫“3”太簡單了不像是五年級的數(shù)學(xué)內(nèi)容。回到本文開篇提出的困惑（圖①和圖④所示），用了新方法后，學(xué)生的正確率分別是94.9%和93.9%?？磥?，學(xué)生能有效地識(shí)別單位“1”所指區(qū)分，進(jìn)而理解真假分?jǐn)?shù)不同的表征方式。

在分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)中，學(xué)生掌握圖式表征不僅有利于對意義的理解，還有利于幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展。本文提出了一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)圖式表征的教材微改進(jìn)建議，是否可行，還有待于更多的一線教師、教研員、教材編者等課程建設(shè)者在更大的范圍來調(diào)查驗(yàn)證。