文|馮舒瑩

《平行與垂直》是小學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)典課例，研究的教師比比皆是。在《小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》2020年11月刊“典型課例”欄目中就刊登了張森、居曉紅老師關(guān)于這節(jié)課同課異構(gòu)的兩篇課例，著名特級(jí)教師劉松對(duì)這兩節(jié)課進(jìn)行了深度點(diǎn)評(píng)，閱讀下來感悟很深。張老師借助智慧課堂技術(shù)，致力于發(fā)展學(xué)生的空間觀念；居老師從學(xué)生知識(shí)起點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的學(xué)習(xí)歷程。仔細(xì)分析兩位老師的課堂，除了都是精彩紛呈、各有巧思之外，還有一個(gè)最大的區(qū)別：張老師先教平行后教垂直，居老師則先教垂直后教平行。對(duì)此，劉松老師在點(diǎn)評(píng)中這樣說：“基于兒童視角，平行與垂直這兩個(gè)抽象概念中垂直更直觀可檢驗(yàn)，學(xué)生會(huì)更容易掌握，但人教版等教材均是先學(xué)平行（不相交）后學(xué)相交和特例（垂直），這不是教學(xué)設(shè)計(jì)的絕對(duì)順序，也不是課堂教學(xué)的唯一選擇?！?/p>

平行與垂直是并列的兩個(gè)概念，不同的教學(xué)順序具體有怎樣的區(qū)別呢？為了弄清楚這個(gè)問題，根據(jù)張老師和居老師的課例，我整理出兩種教學(xué)流程：

同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系可分為相交、不相交與重合。相交研究?jī)芍本€的角度，不相交（平行）研究?jī)芍本€間的距離，重合既沒有角度也沒有距離，因此一般不研究。

兩種教學(xué)順序都抓住了同一種重要但學(xué)生易混淆的模型，即看似不相交但延長(zhǎng)后會(huì)相交的兩直線，以凸顯平行與垂直的最大區(qū)別——相交，以“相交”為概念起點(diǎn)，之后教學(xué)順序走向分流。下面分別摘錄了張老師和居老師課例的教學(xué)片斷，試圖分析兩種不同順序的教學(xué)邏輯。

【教學(xué)片斷1】

師：③號(hào)圖形看似不相交，實(shí)際則相交。那④號(hào)圖形延長(zhǎng)后，會(huì)不會(huì)相交？

（學(xué)生猜想后，在平板電腦上驗(yàn)證）

師：無限延長(zhǎng)都不會(huì)相交嗎？

生：都不會(huì)。

師：除了延長(zhǎng)，是否會(huì)相交還可以怎么看？

生：還可以看它們之間的距離。

通用多學(xué)科資源服務(wù)平臺(tái)國(guó)外主要在圖書、期刊，大型出版集團(tuán)或期刊社起家，歷史悠久，基本在百年以上，兼顧數(shù)字出版與傳統(tǒng)出版；國(guó)內(nèi)知網(wǎng)主要在期刊、工具書、年鑒等，萬方主要在學(xué)位、期刊、方志等，維普主要在期刊、超星主要在圖書、期刊。國(guó)內(nèi)主要以數(shù)字出版集成服務(wù)商起家，歷史在30年內(nèi)，發(fā)展后進(jìn)行了部分紙質(zhì)期刊的布局。

師：通過剛才的分類辨析，我們知道同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系分為相交和不相交兩種。不相交的這兩條線叫做平行線。

在學(xué)生已經(jīng)猜想驗(yàn)證兩條直線是否相交后，張老師直接驗(yàn)證平行，前后任務(wù)銜接非常自然，學(xué)生能馬上猜想操作，思維沒有停滯，這是因?yàn)檫@一過程符合邏輯。判斷平行與垂直的鑰匙在于“相交”。由“相交”到“垂直”的過程需經(jīng)歷尋找特殊位置關(guān)系的一步，不能直接跳躍到“垂直”。而到“平行”卻只要否定就能直接指向目標(biāo)。以“相交”為判定標(biāo)準(zhǔn)，按照教材從否定方向推出“平行”的概念，思維可以一步到位，遵循的是一種更加簡(jiǎn)潔明晰的邏輯順序。

【教學(xué)片斷2】

教師講解“相交”和“交點(diǎn)”的概念。

師：仔細(xì)觀察這五組相交的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生1：每一組直線都相交，都有一個(gè)交點(diǎn)。

生2：兩條相交的直線會(huì)形成一個(gè)角，每一組角的大小都不同。

學(xué)生驗(yàn)證直角，教師小結(jié)垂直的概念。

居老師是為數(shù)不多先教垂直的。找相交直線的不同時(shí)，學(xué)生馬上分析角度不同，抓住了垂直的本質(zhì)，這是因?yàn)榻桥c角度是學(xué)生已有的認(rèn)知，學(xué)生在本冊(cè)第三單元?jiǎng)倢W(xué)過角的度量，對(duì)再次出現(xiàn)的角度比較敏感，能馬上調(diào)動(dòng)起相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平行則較為陌生；從操作簡(jiǎn)易程度來說，相較于驗(yàn)證平行要測(cè)量距離，驗(yàn)證垂直僅需一把三角尺或量角器，操作時(shí)學(xué)生更為輕松、迅速，表達(dá)時(shí)更加自如、規(guī)范，能將抽象的概念層層內(nèi)化。同時(shí)，按照皮亞杰同化與順應(yīng)的理論，新知識(shí)的學(xué)習(xí)可以被舊知識(shí)包容，也可以順著已有知識(shí)延伸生長(zhǎng)，由熟悉的“相交”“直角”到新知識(shí)“垂直”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

結(jié)合上述分析可以發(fā)現(xiàn)，兩種教學(xué)順序分別從教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和學(xué)生心理特點(diǎn)、認(rèn)識(shí)能力兩方面考量，安排教學(xué)順序，看似過程相左，實(shí)則殊途同歸。

教學(xué)順序是教學(xué)邏輯的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，知識(shí)體系具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)性，故而數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯非常重要。因此，依據(jù)以上分析與思考，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯和學(xué)生心理發(fā)展的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)應(yīng)該處理好以下三種關(guān)系：

1.各個(gè)教學(xué)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系。

在教學(xué)圖形與幾何時(shí)，不能割裂地看待各個(gè)教學(xué)內(nèi)容，不僅要注重對(duì)每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解，還要關(guān)注該教學(xué)內(nèi)容在整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中的位置以及它們之間的關(guān)系。這種關(guān)系一方面體現(xiàn)在一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容在其所處的學(xué)科知識(shí)中的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性；另一方面體現(xiàn)在前后教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系上。以點(diǎn)、線、面、體的邏輯關(guān)系為例，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體，四者關(guān)系密切。但因?yàn)檎n時(shí)、學(xué)段、教學(xué)內(nèi)容的劃分等多種原因，無法一次性連貫地把相關(guān)知識(shí)教授完畢，那么在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地互相滲透、互相溝通。

2.教學(xué)內(nèi)容自身的邏輯關(guān)系。

教學(xué)內(nèi)容不管是陳述性知識(shí)還是程序性知識(shí)，都需關(guān)注其自身的邏輯關(guān)系，學(xué)生以這種邏輯將新知識(shí)融合匹配到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。以《平行與垂直》為例，“相交”就是知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯連接，不能跳過“相交”孤立地來看“平行”“垂直”，故本課所有課例都先拋出相交的概念，借由這一邏輯連接，后續(xù)知識(shí)才能一一銜接，學(xué)生的知識(shí)體系才能環(huán)環(huán)相扣、越來越完善。

計(jì)算教學(xué)同樣也有自身的邏輯關(guān)系，以乘法為例，乘法以同數(shù)連加為現(xiàn)實(shí)模型，各個(gè)版本教材都是以加法作為邏輯連接，浙教版教材更是在一年級(jí)連續(xù)教學(xué)加法與乘法。這告訴我們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解要環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，切不可跳躍式教學(xué)。

3.學(xué)生心理特點(diǎn)和認(rèn)知能力與教學(xué)順序的關(guān)系。

學(xué)生是教與學(xué)互動(dòng)中的主體，教學(xué)順序要依據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級(jí)到高級(jí)螺旋上升的過程。教學(xué)中要處理好學(xué)生心理特點(diǎn)和認(rèn)知能力與教學(xué)順序的關(guān)系。第一，要考慮同一學(xué)生在不同階段呈現(xiàn)的心理特點(diǎn)和認(rèn)知能力。第二，要照顧學(xué)生群體間認(rèn)知水平的差異，制定個(gè)性化難度適宜的教學(xué)活動(dòng)，因材施教。

以上對(duì)《平行與垂直》教學(xué)順序的思考，提醒我們：課堂教學(xué)不僅要理清教學(xué)的邏輯，也需要關(guān)注學(xué)生的心理特點(diǎn)，順邏輯而教，依心理而學(xué)，才能事半功倍。