黃建國(guó),余 躍

(上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海 200240)

虛擬元方法(VEM)由Beirao等在文[1]中提出,它是標(biāo)準(zhǔn)有限元在多角形或多面體網(wǎng)格上的推廣. 其它開(kāi)創(chuàng)性工作參見(jiàn)文[2-3]. 作為一個(gè)新的數(shù)值算法,近年來(lái)VEM得到快速發(fā)展,已廣泛用于各種微分方程的數(shù)值求解[2-7]. 相比有限元,VEM能更方便地處理復(fù)雜區(qū)域上或具高正則性容許空間的變分問(wèn)題的數(shù)值求解. 橢圓型方程非協(xié)調(diào)虛擬元的構(gòu)造自然且標(biāo)準(zhǔn),它可由微分算子的分部積分公式直接獲得. 而且當(dāng)多角形或多面體退化為單純形時(shí),VEM常給出標(biāo)準(zhǔn)有限元.

VEM理論分析的文章并不多,大多在網(wǎng)格滿足星形條件下討論,如文[5]中的假設(shè)A3. 陳龍和黃建國(guó)在文[8]中給出了一個(gè)更一般的假設(shè),并在該假設(shè)下建立了H1協(xié)調(diào)虛擬元的若干誤差估計(jì),包括逆不等式、范數(shù)等價(jià)性和插值誤差估計(jì). 其假設(shè)如下:

A1. 在每個(gè)網(wǎng)格單元K∈Th上,存在一致正則和擬一致的“虛擬三角剖分”TK,并且TK的剖分尺寸與hK相當(dāng).此外,K的每一條邊均是TK中某一三角形的邊.

本文在假設(shè)A1下考慮二維H1非協(xié)調(diào)元的若干估計(jì). 對(duì)逆不等式,本文把文[9]中處理協(xié)調(diào)元的技巧推廣至非協(xié)調(diào)情形,給出一個(gè)重要函數(shù)分解,將其證明歸結(jié)為調(diào)和情形. 該技巧適用于二階和四階橢圓問(wèn)題的協(xié)調(diào)和非協(xié)調(diào)虛擬元. 在虛擬三角剖分上使用泡函數(shù)技巧,證明了跡不等式(4)或(5),從而獲得逆不等式,詳見(jiàn)定理1. 范數(shù)等價(jià)性推導(dǎo)的關(guān)鍵在于證明L2情形即(6)的上界估計(jì). 本文分兩步證明該上界估計(jì),即建立自由度型的逆不等式(8)和自由度型的Poincare-Friedrichs不等式(9). 需要指出的是,文[7]給出了任意階任意維非協(xié)調(diào)元的范數(shù)等價(jià)性和插值誤差分析. 除了虛擬三角剖分假設(shè)外,該文還需另一假設(shè). 對(duì)高維一般情形,該分析涉及諸多精細(xì)技巧. 本文則借助虛擬三角剖分,使用非常簡(jiǎn)單、直接的方法給出逆不等式和范數(shù)等價(jià)性結(jié)果. 在范數(shù)等價(jià)性的基礎(chǔ)上,使用(10)這一簡(jiǎn)單關(guān)系式建立插值算子的L2穩(wěn)定性,然后使用Bramble-Hilbert論證給出了插值算子的誤差估計(jì).

1 準(zhǔn)備知識(shí)

H1非協(xié)調(diào)虛擬元方法由文獻(xiàn)[4]提出,對(duì)k≥1,局部虛擬元空間定義為

Vk(K):={v∈H1(K):Δv∈Pk-2(K),v|?K∈Bk(?K)},k≥1,

式中,

Bk(?K)={v∈C0(?K):v|e∈Pk(e),e??K},

而C0(?K)表示沿著單元K的邊界?K連續(xù)的函數(shù)集合.為了給出自由度,引入尺度單項(xiàng)式集合

·χ?K(v):邊上直到k-1階的矩量,

χe(v)=|e|-1(me,v)e,me∈Mk-1(e),e??K.

·χK(v):單元K上直到k-2階的矩量,

χK(v)=|K|-1(mK,v)K,mK∈Mk-2(K).

另外,以χ(v)記以上所有自由度形成的列向量.

經(jīng)分部積分可知,橢圓投影可由前面所提自由度唯一確定.

為得后文諸估計(jì),先給出幾個(gè)常用不等式,見(jiàn)文[10].應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出,各不等式的隱藏系數(shù)僅依賴假設(shè)A1中的幾何參數(shù).

引理1成立如下不等式:

(1)Dupont-Scott定理:對(duì)任意的v∈Hl(K),存在多項(xiàng)式q∈Pl-1(K)使得

(2)Poincare-Friedrichs不等式:

(3)乘法型跡不等式:

(4)帶幾何尺度跡不等式:

2 逆不等式

逆不等式是有限元方法數(shù)值分析的重要工具.在文[9]中,對(duì)協(xié)調(diào)元情形,我們提出一個(gè)新的函數(shù)分解,將逆不等式的證明歸結(jié)為調(diào)和情形.下面將其推廣至非協(xié)調(diào)元情形.

引理2對(duì)任意滿足Δv∈Pk-2(K)的v∈H1(K),存在多項(xiàng)式p∈Pk(K),使得Δp=Δv且

(1)

‖p‖0,K‖v‖0,K.

(2)

另一方面,由Poincare-Friedrichs不等式和已證的第二個(gè)不等式,有

‖p1‖0,KhK|v|1,K‖v‖0,K,

此p1即為所求.證畢.

定理1成立逆不等式

(3)

換言之,在逆不等式(3)中,不妨設(shè)在K上Δv=0,即討論w=v-p時(shí)逆不等式(3)是否成立即可.

由分部積分公式及Cauchy-Schwarz不等式,得

根據(jù)乘法型跡不等式,

從而只要證明

(4)

因?nw|e是多項(xiàng)式,將其沿著e的法向量方向常延拓到T上.記延拓后的函數(shù)為ET(?nw|e),并令φ=beET(?nw|e).注意到Δw=0,由分部積分和多項(xiàng)式的逆估計(jì)得

利用多項(xiàng)式的逆估計(jì),并注意到常延拓,有

由此即得(4).證畢.

事實(shí)上,不等式(4)對(duì)非調(diào)和的v∈Vk(K)也成立.

推論1成立估計(jì)

(5)

最后一步用到引理2的第一式.結(jié)果得證.

3 范數(shù)等價(jià)性和插值誤差估計(jì)

利用逆不等式可證明如下的范數(shù)等價(jià)性.

定理2對(duì)v∈Vk(K),成立

(6)

(7)

證明分為四步.

步1:建立l2-L2估計(jì)

對(duì)邊界矩量,由Cauchy-Schwarz不等式得

使用跡不等式和前面已建立的逆不等式,有

于是

對(duì)內(nèi)部矩量,直接估計(jì)有

步2:建立自由度型的逆不等式

|v|1,K‖χ(v)‖l2,v∈Vk(K).

(8)

分部積分有

對(duì)第一項(xiàng),令g=-Δv=∑αgαmα,并記g=(gα).根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和文[8]中Lemma 4.1關(guān)于函數(shù)g的范數(shù)等價(jià)性結(jié)果,可知

使用引理2的第一個(gè)不等式,立得

從而

|-(v,Δv)K|=|(g,v)K||v|1,K‖χ(v)‖l2.

對(duì)第二項(xiàng),令

類似有

使用推論1的不等式得

于是

聯(lián)立以上諸式即得(8).

步3:建立自由度型的Poincare-Friedrichs不等式

(9)

結(jié)合步2的結(jié)果得第一式的上界估計(jì).上式直接由Poincare-Friedrichs不等式和自由度的定義獲得.

現(xiàn)在考慮插值誤差估計(jì).設(shè)IK:H1(K)→Vk(K)為節(jié)點(diǎn)插值算子,滿足

χ(IKv)=χ(v),χ∈Xk(K),

式中,Xk(K)表示自由度集合.

定理3設(shè)v∈Hk+1(K),k≥0,則成立如下的最優(yōu)誤差估計(jì)

證明根據(jù)定理2的范數(shù)等價(jià)性以及插值算子的定義,有

‖IKv‖0,K?hK‖χ(IKv)‖l2=hK‖χ(v)‖l2.

(10)

回顧定理2步1的計(jì)算可知,插值算子有如下的L2穩(wěn)定性

‖IKv‖0,K‖v‖0,K+hK|v|1,K.

根據(jù)Dupont-Scott理論,存在多項(xiàng)式p∈Pk(K)使得

由三角不等式

‖v-IKv‖0,K≤‖v-p‖0,K+‖IK(v-p)‖0,K

以及已證的穩(wěn)定性可知

類似地,由

|v-IKv|1,K≤|v-p|1,K+|IK(v-p)|1,K

并利用逆不等式

立得H1半模下的誤差估計(jì).證畢.