孫朝仁 朱桂鳳

摘? ?要

以“做數(shù)學活動”為載體，通過“實踐中學、向實踐學、再實踐學”頻道的確立，構建數(shù)學化要素關系分布圖，展現(xiàn)“數(shù)學化學習觀”支持的數(shù)學實驗教學的實踐理路。

關鍵詞

學習觀? 數(shù)學實驗? 課堂變革

學習觀是一種形而上思想，由來已久。其中，“學”涵蓋學會、學好、學有所樂等本體論思想;“習”涵蓋練習、習得、習有所值等實踐論行為。從認知心理學看，學習觀是人們在認知過程中對知識理解，知識的獲得、保持與遷移以及知識變換等知識價值認同程度的一種客觀反映。在數(shù)學實驗教學論范疇，學習觀包括在實踐中學習“個體經(jīng)驗”、向實踐學習“事實經(jīng)驗”和在實踐中向實踐學習“客觀經(jīng)驗”并“理性調用”，涉及將“具體”上升為“抽象”，將“感性”上升為“理性”，將“特殊”上升為“一般”。

本文以“做數(shù)學活動”為載體，通過實踐中學、向實踐學、再實踐學頻道的確立，構建數(shù)學化要素及其關系的分布，展現(xiàn)“數(shù)學化學習觀”支持的數(shù)學實驗教學的實踐理路（如圖1）。突出抽象、推理、建模三大能力的提升，關注“學”“學好”“學得溫情”“學得有滋有味”等課堂變革目標的進一步實現(xiàn)。

圖1 數(shù)學化要素關系分布

一、確立“實踐中學”頻道，將具體上升為抽象

數(shù)學實驗作為課堂變革的一種方式，為數(shù)學理解做出了不可替代的貢獻。確立“實踐中學”的頻道，就是建立“生活與數(shù)學”同行頻道，讓學生在實踐中經(jīng)歷橫向數(shù)學化（生活→數(shù)學）和縱向數(shù)學化（數(shù)學→數(shù)學）過程。換句話說，就是讓學生在做中和思考中，將實踐具體轉化為數(shù)學抽象，提高用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的水平。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》開宗明義：“使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程?！边@就要求學生像數(shù)學家那樣，經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展過程或經(jīng)歷再創(chuàng)造過程，即“了解一種理論的最好方法是找出研究那種理論原型的具體例子”。這里的“找出”意味著從具體活動中抽象出一類事物的規(guī)律（或數(shù)學關系），獲得個體經(jīng)驗。因此，將具體上升為抽象，需要關注兩個方面。

1.橫向數(shù)學化實踐

讓學生在橫向數(shù)學化實踐中，將生活具體轉化為數(shù)學具體，讓人人可學成為現(xiàn)實。在數(shù)學實驗教學論范疇，橫向數(shù)學化就是將生活問題轉化為數(shù)學問題。譬如，讓學生經(jīng)歷“打印紙中的數(shù)學”做、思考的體驗過程，可以將看不見的無理數(shù)概念顯化為具體的、看得見的概念對象，這就是一種“生活→數(shù)學”的經(jīng)典實踐樣例。具體操作過程涵蓋三個思維層次：從認知需要層次看，讓學生將A型紙的代表A4紙的短邊有序疊合在長邊上，構造正方形（生活具體）;從審美需要看，再將構造的正方形的對角線有序疊合在長邊上（數(shù)學具體）;從自我實現(xiàn)的需要看，經(jīng)過觀察和過濾登記，發(fā)現(xiàn)正方形的對角線與A4紙的長邊完全疊合，由此得知，A4紙的長邊與短邊的比值為■（生活具體→數(shù)學具體）。這種直觀基礎上的可視化認知過程符合初中學生“形象思維>抽象思維”的認知心理水平，是橫向數(shù)學化常見的實踐樣例。當然，將生活問題轉化為數(shù)學問題需要做與思考，更需要洞察與表征，方能將生活具體上升為數(shù)學具體，實現(xiàn)人人學好。有專家指出，“實驗數(shù)學是這樣的一個數(shù)學分支，它通過對猜想和非形式化的信念的實驗探索，以及對此過程中所獲信息的仔細分析，最終對數(shù)學界提出的各種洞察到的事物加以組織、分類和傳播”[2]。其中，洞察→組織→傳播的過程，就是一種“生活具體”到“數(shù)學具體”的過程，是一種“能學好”學習觀，不止于知識、方法，還在于關注人的成長需要，反映實驗育人的正確態(tài)度。

2.縱向數(shù)學化實踐

讓學生在縱向數(shù)學化實踐中，將數(shù)學具體轉化為數(shù)學一般，讓不同發(fā)展變得可能。就認知心理學看，縱向數(shù)學化就是讓學生在問題解決中，將具體的一類問題（數(shù)學具體），轉化為結構化的一般問題（數(shù)學一般），突出深度學習的特征（思維的高投入），落實不同人在數(shù)學上獲得不同的數(shù)學發(fā)展目標。譬如，圖2的設計與呈現(xiàn)，就突出數(shù)學具體到數(shù)學一般的認知心理傾向。在變量思維的參與下，將直觀分析、綜合比較、抽象概括融于一體，建立一種穩(wěn)定的結構，可變的字母，這就是數(shù)學化。其中，問題（1）是將圖形語言轉換為符號語言，是數(shù)學具體上升為數(shù)學一般的實踐清樣;問題（2）是代數(shù)關系的內部建立，是縱向數(shù)學化的初級階段;問題（3）是變量思維與定值關系的構建。具體實施過程，包括拼圖算圖，整體局部哲學視角，算法算理以及抽象表征等高投入思維。即在圖2②中，局部思想的結果描述是2a2+5ab+2b2，整體思想的結果描述是（2a+b）（a+2b），由此不難獲得一般化的結論2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）;在圖2③中，從整體看，陰影部分的面積可以描述為（a+b）2-（a-b）2，從局部看，陰影部分的面積為4ab，因此有（a+b）2-（a-b）2=4ab的關系產(chǎn)生，在圖2④中，S四邊形ABCD+AB·3b，S四邊形EFGH=a（AB+a-4b），根據(jù)定值思想，不難確立a=3b。這就是縱向數(shù)學化全景展示的一個好例子，是不同學生獲得不同發(fā)展的好載體。

二、構建“向實踐學”頻道，將感性上升為理性

“向實踐學”是人類獲得數(shù)學知識的一般方法。數(shù)學基本事實、數(shù)學公理體系、數(shù)學概念及其要素的恰當呈現(xiàn)，都是向實踐學的思維產(chǎn)物。在做數(shù)學活動范疇，構建“向實踐學”的頻道，就是讓學生在做數(shù)學中學習做數(shù)學。包括“數(shù)學過程和基于過程的數(shù)學基本能力、數(shù)學內容和數(shù)學情境”[3]等PISA描述的核心素養(yǎng)目標。其中，數(shù)學過程應當包括三個階段：知識是怎么來的、知識是什么、知識是怎么去的?；卮鸷脭?shù)學過程及其相關問題，就是做好數(shù)學的最正確學習觀，即知識來自于實踐，是向實踐學的產(chǎn)物;知識是將實踐感性轉化為實踐理性;知識要將個體經(jīng)驗上升為事實經(jīng)驗。同時，基于數(shù)學過程的能力主要是抽象、推理和建模三大能力的針對性培養(yǎng)，數(shù)學內容和數(shù)學情境是“做數(shù)學”的兩個方面，前者是將知識結構轉化為認知結構，后者是構造向實踐學的組塊，讓不同人學不同的知識，獲得不同的發(fā)展。其理論依據(jù)是“個體發(fā)展過程是群體發(fā)展過程的重現(xiàn)”[4]。為此，在做中學，將實踐感性上升為實踐理性，需要做好兩個方面的工作。

1.做數(shù)學

通過“做”，讓學生經(jīng)歷具體到抽象的不同層次，即情境層次、指涉層次（提到、涉及、再生）、普遍層次、形式層次，掌握不同的知識體系，并將個體經(jīng)驗轉化為事實經(jīng)驗。譬如，讓學生用1號（a×a型）、2號（a×b型）、3號（b×b型）紙片拼圖，在局部與整體哲學思想的指導下，研究因式分解發(fā)生過程的合情、合理、合目的性，就是通過做中學，讓學生經(jīng)歷“具體”到“抽象”的不同層次，實現(xiàn)將“個體經(jīng)驗”及時上升到“事實經(jīng)驗”的理性水平。具體來說，可設置問題（1）讓學生用1張1號紙片和2張2號紙片拼長方形，在兩種算法的參與下，可以獲得用“提公因式法”分解因式的一般方法，即a2+2ab=a（a+2b）;問題（2）讓學生用1張1號紙片、2張2號紙片和1張3號紙片拼正方形，在兩種算法的參與下，可以獲得用“完全平方公式”分解因式的一般方法，即a2+2ab+b2=（a+b）2;問題（3）讓學生用1張3號紙片，完全覆蓋在1張1號紙片上（設定1號紙片規(guī)格遠遠大于3號紙片規(guī)格），在裁剪、拼接、算理、算法思維配合下，可以獲得用“平方差公式”分解因式的一般方法，即a2-b2=（a+b）（a-b）。如果說，拼圖、覆蓋、裁剪、拼接、算圖（情境層次）是做中學的表現(xiàn)，那么概念關系、代數(shù)關系的建立則是具體到抽象的產(chǎn)物（指涉層次和普遍層次），而一提、二套、三分解（形式層次）基本方法的表征是將個體經(jīng)驗上升為事實經(jīng)驗的實踐清樣。這些做數(shù)學過程中的抽象層次，為“學”不同知識鋪設了經(jīng)驗，促進了學的合情、合理、合目的性。

2.用數(shù)學

通過“用”，讓學生經(jīng)歷感性到理性的不同階段，即直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段（算理算法等非完全運演、直觀運演）、嚴謹階段，實現(xiàn)不同的發(fā)展目標，并將結構知識轉化為認知結構。譬如，圖3旨在讓學生通過用數(shù)學，經(jīng)歷感性到理性的不同認知階段，落實不同發(fā)展目標的可行性，并促進“結構知識”到“認知結構”的轉換。具體操作過程如下：問題（1）旨在讓學生用a2+b2=（a+b）2-2ab這一數(shù)學結論，在整體思維或換元思想的參與下，獲得（40-x）2+（x-30）2的解決方案;問題（2）旨在讓學生通過化歸轉化方法、整體思想、偶數(shù)形式服從奇數(shù)形式的思想指導，構造可求解的非完全演繹推理;問題（3）旨在讓學生通過結構化問題（類問題）解決，實現(xiàn)將知識結構轉化為認知結構。如果說問題（1）（2）是用概念，問題（3）則是將實踐感性上升為實踐理性的具體表現(xiàn)。其中，問題（1）是理性基礎上的直觀階段，問題（2）是算理指導下的分析階段，問題（3）是抽象、運演和嚴謹階段，是用好數(shù)學的表現(xiàn)。圖3有助于不同發(fā)展目標的實現(xiàn)，是人人學好結構數(shù)學的好載體，是培養(yǎng)學生用數(shù)學思維思考數(shù)學世界的好例子。

三、開辟“再實踐學”頻道，將特殊上升為一般

數(shù)學學習觀是人們對數(shù)學本體價值的認識，是一個人的數(shù)學世界觀和方法論體系的復合物，是對數(shù)學和數(shù)學任務采用何種方法解決的觀念。那種只為得個答案的學習觀是需要叫停的，因為去反思化的問題解決屏蔽了知識獲得背后人的成長機制?！霸賹嵺`學”是一種數(shù)學實踐論和本體論的融合產(chǎn)物，是一種理論聯(lián)系實際的學習觀，是學生學好數(shù)學繞不開的路徑，是數(shù)學地組織數(shù)學世界的過程。在做數(shù)學活動范疇，舉一反三是再實踐學的常見思維方式，元認知監(jiān)控是再做數(shù)學的學科育人抓手，是有用組合建立的“導航儀”，是培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造的有效途徑。開辟“再實踐學”的頻道，就是對教育不是往行李箱里塞滿物品過程的認同，是讓學生像數(shù)學家那樣經(jīng)歷知識的再發(fā)現(xiàn)過程、再表征過程和再描述過程，在反問監(jiān)控和元認知體驗的心理前提下，建立工具性理解到關系性理解的思維橋梁。用通俗易懂的話說，就是通過做中反思、反思中再做，將實踐特殊上升為實踐一般，并以此為基礎將事實經(jīng)驗上升為客觀經(jīng)驗。為此，通過開辟再實踐學的頻道，將實踐特殊上升為實踐一般需要突出關注兩個方面，方能將知識轉化為能力，將經(jīng)驗轉化為方法，將素養(yǎng)轉化為人的成長及學習力。

1.直覺的選擇性

關注直覺的選擇性，驅動有用組合的發(fā)生，將事實經(jīng)驗上升為客觀經(jīng)驗，讓學生獲得能力的同時知其所以然。譬如，圖4旨在讓學生體驗做圖的過程，積累活動經(jīng)驗，經(jīng)歷直覺的選擇與登記，引動有用組合的發(fā)生。具體做數(shù)學的過程如下：在圖4①②中，依據(jù)兩種算法，直觀寫出事實經(jīng)驗層面的結論，即（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2或a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）、（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc或a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2;問題（2）的解決突出有用組合的發(fā)生，在“用結論”條件下，可知a2+b2+c2=112-2×38=45;問題（3）旨在讓學生體驗“畫”的過程（見圖4④），并將畫的直覺選擇轉化為符號意識，即2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）數(shù)學結構產(chǎn)生式產(chǎn)生，突出建?！敖ā钡倪^程和“建”的作用。喬治·波利亞將做的過程描述為三個階段：探索階段（接近于學生的行動和感受）、形式化階段（引入了具體概念，并上升為概念化水平）和同化階段（洞察事物內部屬性）。問題（1）是探索階段，應該反映直覺的選擇性;問題（2）是形式化階段，投射了有用組合的發(fā)生;問題（3）是同化階段，是將事實經(jīng)驗上升為客觀經(jīng)驗的好問題。如果說，做圖是直覺洞察代數(shù)關系的客觀經(jīng)驗，類結構思想是知其所以然，那么理解則是學生學好數(shù)學的表現(xiàn)。

2.建模的邏輯性

關注建模的邏輯性，驅動反問監(jiān)控，將工具性理解（特殊）上升為關系性理解（一般），讓學生學會表達的同時提升現(xiàn)實問題解決水平。譬如，在圖1中數(shù)學化要素的分布與構建就在一定層面反映建模過程的邏輯性，帶有抽象→建?！媚！饽５囊话氵壿嬤^程特征。其中，反問監(jiān)控需承擔這樣的任務，即：這類問題屬于哪個領域？（“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率”領域的，還是“綜合與實踐”領域的。）需要用怎樣的類結構（模型）去研究？（方程模型、函數(shù)模型、不等式模型、綜合模型、數(shù)據(jù)分析模型、非標準模型、超回歸模型及各模型內部要素和要素關系等。）“你是怎么想到的？還有沒有更好的方法？下一步該怎么思考？”等等。這些反問、問中之問、逐級逐層的“內問”，是數(shù)學特殊上升為數(shù)學一般必經(jīng)思維之途，是數(shù)學地表達數(shù)學世界的產(chǎn)物。圖4反映代數(shù)建模的邏輯過程、圖3屬于模型的應用與拓展、圖2是代數(shù)傾向特征鮮明的綜合模型的再現(xiàn)。需要指出的是，圖1中的“現(xiàn)實問題→現(xiàn)實模型”[5]屬于工具性理解的常見信息組合與加工方式，圖1中的“數(shù)學模型→數(shù)學問題解答→數(shù)學模型應用”屬于關系性理解的一般思維方式。這些邏輯思考方式的建立、研究與定位是提升學生解決現(xiàn)實問題的“法寶”，是做數(shù)學的理性價值和支持學習觀的根基，是數(shù)學關鍵能力培養(yǎng)的思維通道。

參考文獻

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[3] 曹一鳴，朱忠明.變與不變：PISA2000—2021數(shù)學測評框架的沿革[J].數(shù)學教育學報，2019（04）：1-5.

[4] 岳欣云，董宏建.數(shù)學教育“生活化”還是“數(shù)學化”——基于數(shù)學教育哲學的思考[J].教育學報，2017，13（03）：41-47.

[5] 黃健，魯小莉，王鴦雨，徐斌艷.20世紀以來中國數(shù)學課程標準中數(shù)學建模內涵的發(fā)展[J].數(shù)學教育學報，2019（03）：18-23.

【責任編輯? 郭振玲】