沈凱

【摘要】數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力之間的橋梁，在教與學(xué)中均有重要意義.它存在于教學(xué)過程之中，在教學(xué)結(jié)果中也得到了體現(xiàn).數(shù)學(xué)理解是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的重要途徑，它也可以避免大量的、重復(fù)的題海戰(zhàn)術(shù).本研究以一節(jié)新授課為例，在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上運(yùn)用基本知識(shí)和學(xué)科原理構(gòu)建新知識(shí).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;認(rèn)知結(jié)構(gòu);關(guān)系性理解

一個(gè)數(shù)學(xué)的概念和方法或事實(shí)被理解了，那么它就會(huì)成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分……理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的.教學(xué)大綱將教學(xué)目標(biāo)分為了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用四個(gè)層次，可見理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要目標(biāo).教學(xué)大綱對(duì)理解也作了如下定義：對(duì)概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）達(dá)到了充分且理性的認(rèn)識(shí)，不但能夠用自己的語言準(zhǔn)確地表達(dá)其內(nèi)容是什么，而且能夠知道它們是怎樣得到的，以及它們與概念之間有什么關(guān)聯(lián).

數(shù)學(xué)的理解主要是強(qiáng)調(diào)在原有理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用基本知識(shí)和學(xué)科原理框架對(duì)新知識(shí)建構(gòu)新的認(rèn)知.理解性學(xué)習(xí)重在獲得對(duì)基本概念和原理的深層次理解，是一種高效的學(xué)習(xí)，也是有意義的學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)是理解的探索和發(fā)展，而不是事實(shí)內(nèi)容的記憶和積累，因此，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，促進(jìn)其深層次的理解是很重要的一個(gè)步驟.

中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)側(cè)重發(fā)展學(xué)生的理解，而不僅僅是傳授知識(shí).教師在教學(xué)過程中應(yīng)了解學(xué)生的智能特點(diǎn)，充分理解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和思路的基礎(chǔ)上，采用合適的方法促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的深層次理解.

一、問題提出

“函數(shù)的奇偶性”本質(zhì)上是用數(shù)學(xué)語言來刻畫一個(gè)函數(shù)圖像本身是否關(guān)于y軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.筆者在學(xué)生初中階段已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì).

在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）=x2的圖像.

問題1：函數(shù)f（x）=x2的圖像具有對(duì)稱性嗎？

生：函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

問題2：函數(shù)f（x）=x2的圖像為什么關(guān)于y軸對(duì)稱？

生：我們初中就學(xué)過了，因?yàn)槿绻覀儗（x）=x2的圖像畫在一張紙上，再沿著y軸將這張紙折疊，那么y軸右邊的圖像將會(huì)與y軸左邊的圖像完全重合.

在肯定學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提出問題3：如何用數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確刻畫函數(shù)f（x）=x2的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的呢？

生：……（課堂鴉雀無聲）

二、問題分析

學(xué)生對(duì)對(duì)稱真正了解嗎？學(xué)生對(duì)對(duì)稱的認(rèn)識(shí)還停留在初中階段，即翻折后折痕一邊的圖像與另一邊重合，或者繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.這符合初中生的認(rèn)知水平，也是對(duì)于對(duì)稱現(xiàn)象的一種感性認(rèn)識(shí).學(xué)生能從圖形的角度感受對(duì)稱現(xiàn)象的發(fā)生，并且獲得對(duì)于對(duì)稱概念的初步理性認(rèn)識(shí)，但這是一種模糊的、淺顯的認(rèn)知.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心問題是幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下向高認(rèn)知的學(xué)習(xí)任務(wù)攀升.其中有一方面就是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，從自然語言向更準(zhǔn)確、更精煉的符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化.“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié)課正是讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)對(duì)稱概念的形成過程，加深學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確認(rèn)知，從中建構(gòu)自己對(duì)于對(duì)稱的理解和認(rèn)識(shí).

三、教學(xué)設(shè)計(jì)（片段）

問題4：是因?yàn)辄c(diǎn)（1，1）和點(diǎn)（-1，1）都在函數(shù)f（x）=x2的圖像上，所以認(rèn)為函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱嗎？

生：盡管這兩個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)都在f（x）=x2的圖像上，但是不足以說明f（x）=x2的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.

問題5：那我們多取幾組點(diǎn)就能說明嗎？

生：有限組點(diǎn)肯定不足以說明.

問題6：那我們?nèi)o數(shù)組點(diǎn)呢？

生：好像也不行，應(yīng)該要任意一組點(diǎn)才行，即需要在函數(shù)f（x）=x2的圖像上任取一點(diǎn)P，證明它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）=x2的圖像上.

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成證明：在f（x）=x2的圖像上任取一點(diǎn)Px0，f（x0），即f（x0）=x20.設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x0，f（-x0））.因?yàn)閒（-x0）=（-x0）2=x20=f（x0），所以點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）=x2的圖像上.所以函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

問題7：這個(gè)證明中的關(guān)鍵之處有哪些？

生1：點(diǎn)P要從函數(shù)圖像上任取.

生2：f（-x0）=f（x0）這個(gè)式子的成立也是關(guān)鍵.

問題8：若函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=f（x）對(duì)定義域中任意的x恒成立，能推出函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱嗎？

生：在函數(shù)y=f（x）的圖像上任取一點(diǎn)P（x0，y0），即y0=f（x0）.因?yàn)閒（-x）=f（x）對(duì)定義域中任意的x恒成立，則y0=f（-x0），即點(diǎn)Q（-x0，y0）一定在函數(shù)y=f（x）的圖像上，所以函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

問題9：若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則其解析式會(huì)有什么特征？

生：在函數(shù)y=f（x）的圖像上任取一點(diǎn)P（x0，y0），即y0=f（x0），點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（-x0，y0）一定在函數(shù)y=f（x）的圖像上，即y0=f（-x0）.等量代換后得到f（-x0）=f（x0），即f（-x）=f（x）對(duì)定義域中任意的x恒成立.

師：所以函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=f（x）對(duì)任意的定義域中x恒成立等價(jià)于函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.此時(shí)給出偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù).

問題10：大家可以繼續(xù)思考偶函數(shù)的圖像有什么特點(diǎn)？

生：剛才我們已經(jīng)證明了偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.