彭志榮 趙矚華 陳惠珍 李偉雄 陳相德

0 引言

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(NCSs)將網(wǎng)絡(luò)空間和物理空間聯(lián)系起來,使控制器、執(zhí)行器、傳感器等系統(tǒng)組件之間的信號傳輸以網(wǎng)絡(luò)通信的方式實現(xiàn)，這能極大地簡化系統(tǒng)布線、優(yōu)化產(chǎn)品構(gòu)造,因此NCSs在工業(yè)控制等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]．在實際控制中,因帶寬受限,以及傳輸協(xié)議、網(wǎng)絡(luò)流量等因素的影響,系統(tǒng)組件間的信號傳輸存在時滯．由于時滯具有未知性、隨機性、時變性,使得系統(tǒng)的分析與設(shè)計變得復(fù)雜．為了解決時滯現(xiàn)象所帶來的問題,針對離散時間域,本文考慮將系統(tǒng)建模為具有多個模態(tài)并且各模態(tài)間存在一定轉(zhuǎn)移概率的隨機系統(tǒng),即Markov跳變系統(tǒng)[4-5]．將Markov跳變系統(tǒng)應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)化控制,已成為許多學(xué)者研究的課題．文獻[6]將網(wǎng)絡(luò)引起的隨機延遲建模為Markov鏈,然后將所得的閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為Markov跳變線性系統(tǒng),在此模型的基礎(chǔ)上,提出了不確定NCSs魯棒有限時間隨機穩(wěn)定的充分條件;文獻[7]用隱Markov模型描述了系統(tǒng)和控制器之間出現(xiàn)的異步現(xiàn)象,針對Markov跳變系統(tǒng)解決了異步無源控制問題；文獻[8]研究了具有通信限制和環(huán)境干擾的網(wǎng)絡(luò)化控制H∞輸出跟蹤控制問題,將隨機時間延遲和數(shù)據(jù)包丟失分別描述為兩個隨機Markov鏈．

網(wǎng)絡(luò)通信將眾多孤立的設(shè)備通過網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系起來,信號在數(shù)據(jù)鏈路中傳輸,實現(xiàn)信息的互通．近十幾年來,網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)快速發(fā)展,從城市到鄉(xiāng)村幾乎都有網(wǎng)絡(luò)覆蓋,網(wǎng)絡(luò)通信已成為人們生產(chǎn)生活中至關(guān)重要的一部分．現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)通信方式多種多樣,傳統(tǒng)互聯(lián)網(wǎng)通信包括Wi-Fi傳輸、以太網(wǎng)通信，移動空中網(wǎng)有GPRS無線通信、NB-IOT通信、4G通信等[9-10]．文獻[11]利用Wi-Fi設(shè)備中可訪問的細粒度通道狀態(tài)信息的相位和幅度的特點,設(shè)計室內(nèi)跌倒檢測系統(tǒng);文獻[12]分析了窄帶物聯(lián)網(wǎng)NB-IOT可以以三種模式進行部署,并介紹了NB-IOT的設(shè)計規(guī)范;文獻[13]分析了第五代移動通信技術(shù)的引入帶來的移動通信運行架構(gòu)的轉(zhuǎn)變．盡管網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)已蓬勃發(fā)展,但是隨著人們對傳輸數(shù)據(jù)量需求的不斷增加，以及對傳輸速率的要求不斷提升,仍然需要改善和革新．

本文使用雙通道帶寬分配策略進行傳輸,可以將有限的帶寬靈活地分配于兩個通道,充分利用信道容量;每個通道在各自的諧振頻率處傳輸效率最高,因此可以對兩個通道做帶寬分配,根據(jù)實際負載大小、傳輸距離、數(shù)據(jù)量等因素選擇使用合適的通道進行傳輸．

本文結(jié)構(gòu)如下:第1節(jié)描述了離散時間Markov時滯系統(tǒng)的系統(tǒng)模型、雙通道量化傳輸?shù)姆桨敢约肮烙嬈鞯脑O(shè)計;第2節(jié)建立了使時變估計誤差系統(tǒng)滿足H∞性能的充分條件,通過將遞歸矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性遞歸矩陣不等式,得出了估計器的增益矩陣設(shè)計的方法;第3節(jié)給出實例驗證了所設(shè)計的系統(tǒng);第4節(jié)為總結(jié)．

注1本文中：Rn表示n維歐幾里得空間;Rn×m表示n行m列的實數(shù)矩陣集；上標“T”和“-1”分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和逆;P>0(P∈Rn×m)表示P是實對稱正定矩陣；I表示相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣；*表示對稱矩陣中相應(yīng)對稱的元素；diag{…}表示對角矩陣；E(x(k))表示x(k)的期望．

1 問題描述及系統(tǒng)建模

1.1 系統(tǒng)模型

考慮如下的離散時間馬爾可夫時滯系統(tǒng):

(1)

其中x(k)=[x1,x2,…,xn]T∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量,y(k)∈Rm是系統(tǒng)的測量輸出,z(k)∈Rp是系統(tǒng)待估計信號,ω(k)∈Rq是外部擾動輸入并且屬于空間L2∈[0,∞),f(·)是非線性函數(shù)并且滿足假設(shè)1,d(k)是未知的但滿足d1≤d(k)≤d2的正整數(shù)時滯,{θ(k),k∈Z+}是一個離散的馬爾可夫鏈,它的取值范圍是一個有限狀態(tài)集合S={1,2,…,N}．假定系統(tǒng)整個轉(zhuǎn)移概率矩陣都是已知的,并用Π=[πij]i,j∈S來表示,其中從k時刻所處模態(tài)i轉(zhuǎn)移到k+1時刻所處的模態(tài)j的概率用πij=Pr(θ(k+1))=j|θ(k)=i≥0,?i,j∈S,k∈Z+表示．矩陣Aθ(k),Bθ(k),Cθ(k),Dθ(k),Eθ(k)和Lθ(k)是已知的并具有合適維度的系數(shù)矩陣．

1.2 雙通道量化傳輸

由于帶寬是有限的,使用量化器可以在一定程度上克服帶寬約束,充分利用信道容量．在離散時間馬爾可夫時滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計中,本文更重視小信號,所以采用非均勻的對數(shù)量化器,也就是信號幅值小的地方量化等級越多,能夠保證小信號的精度．對數(shù)量化器定義如下:

yq(k)=Q(y(k)),

(2)

其中Q(y(k))=[q1(y1(k))q2(y2(k)) …

(3)

其中δi=(1-ρi)/(1+ρi)．量化誤差ei(k)可以描述為

ei(k)?qi(yi(k))-yi(k)=Δi(k)yi(k),

(4)

其中Δi(k)∈[-δi,δi],則量化后的信號可以描述為

yq(k)=(I+Δ(k))y(k),

(5)

其中Δ(k)=diag{Δ1(k),Δ2(k),…,Δm(k)}．

傳輸數(shù)據(jù)的所需信道容量,與所使用量化器的量化密度有關(guān)．量化密度越大,傳輸?shù)臄?shù)據(jù)就越準確,但需要更多的信道容量．量化密度為ρi時,對數(shù)量化器量化后的數(shù)據(jù)所需容量Cdi如下:

(6)

由于yq(k)=[y1q(k)y2q(k) …ymq(k)]T∈Rm,采用雙通道傳輸,量化傳輸分為以下兩種情況:

情況1m為偶數(shù),通道1傳輸m/2維的數(shù)據(jù),量化密度ρi=ρ1,i∈ψa?{1,2,…,m/2};通道2傳輸m/2維的數(shù)據(jù),量化密度ρi=ρ2,i∈ψb?{(m+2)/2,(m+4)/2,…,m}．

情況2m為奇數(shù),通道1傳輸(m+1)/2維的數(shù)據(jù),量化密度ρi=ρ1,i∈ψc?{1,2,…,(m+1)/2};通道2傳輸(m-1)/2維的數(shù)據(jù),量化密度ρi=ρ2,i∈ψd?{(m+3)/2,(m+5)/2,…,m}．

由于帶寬有限,因此對數(shù)量化后總的數(shù)據(jù)容量應(yīng)小于或等于限定值,記限定值為C,則

C1Cd1+C2Cd2≤C,

(7)

其中C1,C2分別為通道1、通道2的傳輸數(shù)據(jù)量,Cd1,Cd2分別是量化密度為ρ1,ρ2時對數(shù)量化器量化后的數(shù)據(jù)所需容量．

1.3 估計誤差系統(tǒng)

考慮如下形式的估計器:

(8)

(9)

其中

(10)

為了方便對系統(tǒng)做H∞性能分析,引入以下假設(shè)、引理和定義．

[fis(a)-fis(b)-F1is(a-b)]T×

[fis(a)-fis(b)-F2is(a-b)]T≤0，

(11)

其中F1is,F2is為已知實矩陣．

當且僅當存在標量ε>0,使下列不等式成立:

定義1[16]給定一個標量γ>0,如果零初始條件下,下列不等式對于所有非零v(k)均成立,則估計器誤差系統(tǒng)具有H∞噪聲衰減性能指數(shù)γ:

(12)

2 主要結(jié)論

2.1 H∞性能分析

本節(jié)對估計誤差系統(tǒng)(9)的H∞性能進行分析,并給出定理1．首先定義符號:

τ1=diag{τ11,τ11},

τ2=diag{τ12,τ12},

(13)

定理1給定一個標量γ>0,如果存在矩陣:

Pr>0,P1>0,r={1,2,…,N},

ε1=diag{ε11,ε12}∈R2n×2n(ε1≥0),

ε2=diag{ε21,ε22}∈R2n×2n(ε2≥0)

使得下列不等式成立,則估計誤差系統(tǒng)(9)滿足H∞性能．

(14)

證明引入以下二次函數(shù)來分析時變估計誤差系統(tǒng)(9)的H∞性能:

(15)

其中Pθ(k)>0,P1>0．

定義θ(k)?r,θ(k+1)?s,并且從均值的意義上定義二次函數(shù)(15)的差,如下所示:

(16)

將誤差系統(tǒng)(9)代入式(16)可得:

(17)

其中:

考慮非線性情況下,根據(jù)假設(shè)1可得(18)、(19)兩個不等式：

(18)

(19)

根據(jù)上面得到的兩個非線性的不等式條件,不等式(17)滿足下面的不等式:

(20)

其中:

將(20)的兩邊從k=0到k=N求和,可以進一步得到:

(21)

2.2 估計器設(shè)計

本節(jié)研究基于時變時滯馬爾可夫系統(tǒng)的估計器增益,使時變估計誤差系統(tǒng)(9)滿足H∞性能．

ε1=diag{ε11,ε12}(ε1≥0),

ε2=diag{ε21,ε22}(ε2≥0),

使得下列的不等式成立:

(22)

則時變估計誤差系統(tǒng)(9)滿足H∞性能．

其中:

Γ2=[εδCr(k) 0 0 0 0 0 0 0εδEr(k)0 0 0]，

Ξ22=-γ2I,

(23)

綜合考慮(10)和不等式

(24)

可以得到:

(25)

因此,條件(22)使得系統(tǒng)滿足:

根據(jù)定義1,估計誤差系統(tǒng)滿足H∞性能．證明完畢．

3 仿真實例

本節(jié)將通過一個仿真實例驗證所設(shè)計的面向估計性能的雙通道帶寬分配策略的有效性．假設(shè)系統(tǒng)中n=5,m=4,Markov模態(tài)數(shù)N=2,時滯參數(shù)d1=1,d2=2,量化器的量化密度范圍為ρi∈[0.5,0.95].若要傳輸4維數(shù)據(jù),則根據(jù)式(6)可得量化后所需的總信道容量至少為1.908 4,至多為6.396 4．如果帶寬上限為4,如何根據(jù)雙通道量化傳輸方案分配帶寬,即如何調(diào)節(jié)兩個傳輸通道的量化密度使總信道容量被充分高效的利用、估計誤差較小并且系統(tǒng)對外部擾動有較好的抑制能力,成為被考慮的問題．

在本實例中,兩個通道的量化密度分別為0.726 4和0.881 3,量化后對應(yīng)的所需容量分別為0.8和1.2,相應(yīng)的系數(shù)矩陣如下所示:

時變非線性函數(shù)如下:

外部擾動為:ω(k)=0.8e-0.1k|sin(k)|,

馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣如下:

根據(jù)第二節(jié)所述的定理并通過Matlab的LMI工具箱,可以得到H∞性能指標為γ=2.890 2,模態(tài)1和模態(tài)2的估計器增益分別如下:

圖1 待估計信號z(k)和估計信號Fig.1 Signal to be estimated z(k) and estimated signal

注2本實例僅采用一組量化密度設(shè)計出該雙通道量化情況下能達到最佳性能的系統(tǒng)．在實際應(yīng)用中,應(yīng)根據(jù)所傳輸信號中各部分信號分量幅值的大小設(shè)計適合的量化密度,也就是給各個通道分配適合的帶寬,從而設(shè)計出最佳系統(tǒng)．

4 結(jié)論

本文提出了面向估計性能的雙通道帶寬分配策略．將系統(tǒng)建模為Markov跳變時滯系統(tǒng),可減小網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中時滯現(xiàn)象對信號傳輸?shù)挠绊懀捎秒p通道傳輸策略,提升數(shù)據(jù)到達率,減少數(shù)據(jù)包的丟失．雙通道量化傳輸方案可將有限的帶寬靈活地分配于兩個通道,充分利用信道容量,提升傳輸效率．本文設(shè)計了估計器的增益矩陣以及滿足H∞性能的時變估計誤差系統(tǒng),并通過實例驗證了所設(shè)計系統(tǒng)的有效性．