金芬

摘 要：要改進(jìn)“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學(xué)現(xiàn)狀，突破“意會(huì)”與“言傳”的交流障礙，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的良性互動(dòng)，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開現(xiàn)代教育技術(shù)的支持和助力。筆者以GeoGebra為例，在新教材的課堂教學(xué)中，注重將GeoGebra與數(shù)學(xué)課程深度融合，通過直觀的圖形或動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，總結(jié)、猜想、證明新的發(fā)現(xiàn)，把那些“看不透”、“說不清”的一些性質(zhì)通過動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)出來，使其清晰可見。實(shí)現(xiàn)教學(xué)的可視化，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生聯(lián)系多元表征發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)力，為學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究提供優(yōu)質(zhì)資源。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù);GeoGebra;數(shù)學(xué)課堂教學(xué);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);探究

1.將現(xiàn)代教育技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必要性和重要性

直擊當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂，一邊是面對(duì)“如何實(shí)施核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)？”、“如何才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到良好的發(fā)展？”、“怎樣才是教好數(shù)學(xué)？”等關(guān)鍵性問題，而一邊是數(shù)學(xué)固定的高度抽象性的高冷，使得學(xué)數(shù)學(xué)的人“望而卻步”，不知如何去意會(huì)，教數(shù)學(xué)的人使出“渾身解數(shù)”，不知如何去言傳。面對(duì)這種尷尬的局面，需要教師對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行變革，改進(jìn)“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學(xué)現(xiàn)狀，突破“意會(huì)”與“言傳”的交流障礙，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的良性互動(dòng)，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開現(xiàn)代教育技術(shù)的支持和助力。

作為教師要將現(xiàn)代教育信息技術(shù)恰如其分地融入到數(shù)學(xué)課堂上。例如，能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，動(dòng)態(tài)問題靜態(tài)化，抽象內(nèi)容可視化等，有效改革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)教育資源的共享，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

筆者以GeoGebra為例，在新教材的課堂教學(xué)中，注重將GeoGebra與數(shù)學(xué)課程深度融合，通過直觀的圖形或動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，總結(jié)、猜想、證明新的發(fā)現(xiàn)，把那些“看不透”、“說不清”的一些性質(zhì)通過動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)出來，使其清晰可見。不僅能充分激發(fā)學(xué)生的探究熱情，提高學(xué)生課堂的參與度，還能把課堂上高冷的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生充滿激情的探索，使學(xué)生的核心素養(yǎng)真正落地生根。

2、 基于GeoGebra的“數(shù)學(xué)可視化”，助力數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

GeoGebra這款軟件實(shí)現(xiàn)了構(gòu)建“抽象的數(shù)”與“可見的形”之間的聯(lián)系通道，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上既可以看到“背后”的數(shù)據(jù)，更“看透”其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生聯(lián)系多元表征發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)力，為學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究提供優(yōu)質(zhì)資源。

2.1創(chuàng)設(shè)靈動(dòng)情境，助力概念生產(chǎn)

案例1：函數(shù)y=Asin（ωx+?）

根據(jù)新教材的理念，首先要讓學(xué)生理解用函數(shù)模型y=Asin（ωx+?）來刻畫一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并理解A，ω，?的特定的實(shí)際意義，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活的本質(zhì)和學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin（ωx+?）的必要性。于是創(chuàng)設(shè)圖1所示的可視化實(shí)驗(yàn)情境，模擬筒車運(yùn)動(dòng)過程實(shí)景，抽象出其中的幾何對(duì)象與幾何關(guān)系，并動(dòng)態(tài)分析圓周運(yùn)動(dòng)、解析式變換與圖像變換之間的多重關(guān)聯(lián)，利用GeoGebra可進(jìn)行直觀、動(dòng)態(tài)、關(guān)聯(lián)地呈現(xiàn)，可以有效地降低教學(xué)難度。

其次，在研究參數(shù)A，ω，?對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+?）圖像地影響，以及函數(shù)y=Asin（ωx+?）圖像的變換過程時(shí)，可事先提供互動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)（圖2），以便學(xué)生進(jìn)行自主的實(shí)驗(yàn)操作、觀察分析、思考探究。學(xué)生可以任意輸入?yún)?shù)A，ω，?的值，側(cè)重兩個(gè)角度觀察與分析：一是從圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際意義看質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，二是從相應(yīng)函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)變化看圖像的變換。

從上例可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念的掌握需要經(jīng)歷直觀到抽象再到應(yīng)用的過程，借助強(qiáng)大的現(xiàn)代教育技術(shù)GeoGebra可以創(chuàng)設(shè)直觀靈動(dòng)的情境，對(duì)認(rèn)知難度大，抽象的概念進(jìn)行可視化教學(xué)，在學(xué)生腦中建立豐富的概念模型，經(jīng)歷概念產(chǎn)生的加工全過程，因概念的充分加工和領(lǐng)悟而保證深刻的理解。

2.2聯(lián)系多元表征，助力本質(zhì)理解

案例2：一類旋轉(zhuǎn)翻折問題的探究

立體幾何翻折問題是將平面圖形經(jīng)過翻折變成了空間幾何體，從而考查空間中點(diǎn)、線、面之間的相互關(guān)系，或角度與距離關(guān)系。立體幾何的翻折問題背景簡(jiǎn)單，立意深遠(yuǎn)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求很高。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易受立體幾何的思維定勢(shì)，無法構(gòu)造空間立體幾何直觀圖，將空間問題平面化的能力缺乏，找不到合理的解決模型將動(dòng)態(tài)問題靜態(tài)化。因此作者使用GeoGebra軟件設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，通過介紹旋轉(zhuǎn)翻折圓錐模型，也可以總結(jié)為一線五結(jié)論模型，來解決立體幾何中的旋轉(zhuǎn)翻折問題。

作者先通過一個(gè)例子來引出將平面圖形沿折痕旋轉(zhuǎn)翻折為空間圖形，從而研究空間中的角度、距離、軌跡等問題，并用GeoGebra動(dòng)態(tài)展現(xiàn)旋轉(zhuǎn)翻折問題（圖3），幫助學(xué)生在直觀的動(dòng)態(tài)中探究問題的本質(zhì)。學(xué)生結(jié)合二維繪圖區(qū)和3D動(dòng)態(tài)展示區(qū)的觀察，立馬得出了一系列的結(jié)論：關(guān)鍵要先畫出垂直于折痕（BG）的線（AI）1、關(guān)注翻折前后的不變量和變量;2、點(diǎn)A/的軌跡為F為圓心，A/F為半徑的圓;3、面A/BG繞折痕BG翻折形成兩個(gè)同底圓錐;4、點(diǎn)A/在底面的投影H在線段AI（圓的直徑）上;5、∠A/FA為二面角A/-BG-A的平面角。

例2

接下來教師給學(xué)生進(jìn)行了此類問題的檢測(cè)，引用的是高考題和高考模擬題（例1、例2），發(fā)現(xiàn)學(xué)生通過以上旋轉(zhuǎn)翻折模型的理解，能輕松將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。借助軟件的動(dòng)態(tài)可視性，使學(xué)生從外部的多元操作感知走向了內(nèi)部理解的認(rèn)知，也感受到了數(shù)學(xué)的美妙，更體會(huì)數(shù)學(xué)的真實(shí)性，解決問題也就水到渠成。

有了以上的探究經(jīng)驗(yàn)，教師還布置了課外探究活動(dòng)《一類圓錐截線問題的探究》，讓學(xué)生借助GeoGebra軟件解決一類圓錐被不同角度的平面ɑ所截截線形狀問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)直線和圓時(shí)初步感受了數(shù)形結(jié)合的基本思想，但對(duì)圓錐曲線的概念還是僅僅停留在直觀感性認(rèn)識(shí)的層面上;學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也遇到諸多困難：從空間的圓錐截出平面圖形的轉(zhuǎn)化。

學(xué)生探究熱情高漲，分別設(shè)計(jì)出了以下三條曲線的模型，并總結(jié)結(jié)論：設(shè)軸截面角為α，母軸線角為β則1、α=β時(shí)，截線為拋物線;2、α<β時(shí)，截線為雙曲線;3、α>β時(shí)，截線為橢圓;4、α=90°時(shí)，截線為圓，并應(yīng)用總結(jié)的結(jié)論有效解決了檢測(cè)題例1和例2。

2.3自主實(shí)驗(yàn)探究，助力結(jié)論驗(yàn)證

好的教學(xué)方式是激發(fā)學(xué)生的好奇心，助力學(xué)生在廣袤的數(shù)學(xué)世界里探究遨游，鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地去探險(xiǎn)，親歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，而不是簡(jiǎn)單的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題，讓原先高冷抽象的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)鮮活起來。學(xué)生從直觀想象到猜想、發(fā)現(xiàn)和論證，相互之間進(jìn)行真正的情感交流和思維碰撞，讓教學(xué)走進(jìn)學(xué)生的心靈，在做數(shù)學(xué)的過程中豐富感知，在直觀感知中抽象數(shù)學(xué)概念。而GeoGebra則可以提供結(jié)論的論證，助力學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探究中深刻思考，心向遠(yuǎn)處，行向遠(yuǎn)方。

案例3：橢圓、雙曲線的定義

問題1：點(diǎn)A（0，0）和點(diǎn)B（8，0）為兩個(gè)定點(diǎn)，圓A是半徑不定的動(dòng)圓，C是圓上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平方線l和半徑AC相交于點(diǎn)D，當(dāng)半徑r大于令國人定點(diǎn)距離|AB|時(shí)，隨著點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)D的軌跡是什么？

學(xué)生通過觀察圖形，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系|DC|=|DB|，則|DA|+|DB|=r（r>|AB|），學(xué)生開始在作業(yè)紙上描點(diǎn)，并不斷地操作，盡量使得到的點(diǎn)D足夠密集，通過觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)軌跡圖形形似橢圓，但學(xué)生依舊感到不確定。教師順勢(shì)帶領(lǐng)大家用GeoGebra來驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)論是否正確，在繪圖區(qū)內(nèi)畫出圖，將D點(diǎn)設(shè)置為開啟跟蹤，同時(shí)C點(diǎn)開啟動(dòng)畫，此時(shí)點(diǎn)D的軌跡呈現(xiàn)出了橢圓的形狀，學(xué)生見圖雀躍高呼，教師提出橢圓的定義。

問題2：當(dāng)r>|AB|時(shí)，取r1=12，r2=14，r3=18，時(shí)，三個(gè)橢圓的形狀會(huì)有什么變化？

學(xué)生又陷入沉思，通過描點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離和越大橢圓形狀越扁，教師打開GeoGebra驗(yàn)證結(jié)論的正確性，并解開學(xué)生心中疑慮，提出橢圓離心率的概念。學(xué)生親歷了概念生成的全過程，對(duì)橢圓的定義了然心中。

教師通過以上的實(shí)驗(yàn)探究論證的過程，鼓勵(lì)學(xué)生提出更多的問題進(jìn)行探究，生1：當(dāng)0<r<|AB|時(shí)，點(diǎn)D的軌跡會(huì)是什么？大家又再次陷入思考，紛紛畫圖實(shí)驗(yàn)，一段時(shí)間后還是一臉茫然，有的學(xué)生說是一條類似于反比例函數(shù)的曲線，又有的學(xué)生說應(yīng)該有兩種情況兩條曲線。當(dāng)大家緊鎖眉頭，有種說不清道不明的滋味時(shí)，教師提議：讓GeoGebra來給我們解憂吧！通過演示，得到兩種位置關(guān)系及幾何關(guān)系||DA|-|DB||=r（r<|AB|），在繪圖區(qū)出現(xiàn)了兩條曲線，教師提出雙曲線的定義。追問：當(dāng)0<r<|AB|時(shí)，取r1=4，r2=6，r3=7，時(shí)，三條雙曲線的形狀會(huì)有什么變化？通過剛才的分析，大家猜測(cè)雙曲線的開口有變化，教師用GeoGebra加以直觀演示。

案例4：數(shù)學(xué)建?！杷罴扬嬘脮r(shí)間

當(dāng)我們每隔1min測(cè)量一次茶水溫度，收集完六組數(shù)據(jù)時(shí)，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找到溫度與時(shí)間的某種函數(shù)關(guān)系，如果能求出函數(shù)關(guān)系式，那么就建立了茶水冷卻函數(shù)模型。大家先將收集的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過觀察選擇了反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，在GeoGebra里進(jìn)行擬合并進(jìn)行誤差分析。

擬合的反比例函數(shù)為y=80.12x-0.12，誤差平方和為3.6995，從圖中可以看出偏離程度較大，當(dāng)時(shí)間x=30時(shí)，水溫大概為53.5955℃;而擬合的指數(shù)函數(shù)為y=82.68e-0.05x，從圖中看出各點(diǎn)偏離程度較剛才有點(diǎn)減小，誤差平方和為0.4049，當(dāng)時(shí)間x=30時(shí)，水溫大概為19.3737℃.顯然指數(shù)型函數(shù)模型更理想，但是指數(shù)型模型中，當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，趨于0，而實(shí)際情況是接近室溫，結(jié)合剛才建立的指數(shù)函數(shù)模型，我們需要對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行修正。

學(xué)生們開始熱烈地討論，覺得圖像應(yīng)該要向上平移，使用函數(shù)y=kax+b的函數(shù)模型，此時(shí)無法用軟件進(jìn)行擬合，為了確定其中的字母，學(xué)生采用了待定系數(shù)法進(jìn)行求解，首先得到b=25，當(dāng)x=0時(shí)，y=85，所以k=60，在確定a時(shí)，選取了幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行求解，取這些數(shù)的平均數(shù)得到a=0.9227，即得到數(shù)學(xué)模型y=60*0.9227x+25，接下來我們對(duì)模型進(jìn)行誤差分析，發(fā)現(xiàn)誤差平方和為0.144，應(yīng)該是比較理想的茶水冷卻函數(shù)模型。

3、將信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的反思

作為第一批執(zhí)教新教材的一線教師，需要不斷地提升專業(yè)水平和育人能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和課堂教學(xué)效益，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，理解現(xiàn)代教育技術(shù)。筆者在必修第一冊(cè)和必修第二冊(cè)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，嘗試將現(xiàn)代教育技術(shù)GeoGebra融入課堂教學(xué)中，取得了較好的成效，在教學(xué)過程中反思了幾點(diǎn)，供讀者在接下來的使用中參考。

（1）樹立落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)觀

信息技術(shù)的飛速發(fā)展，功能的便捷強(qiáng)大需要我們改變教與學(xué)的方式，教師不能一味固守著考試內(nèi)容而不顧學(xué)生的核心素養(yǎng)，應(yīng)合理利用信息技術(shù)讓復(fù)雜抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容變得直觀簡(jiǎn)潔，并設(shè)計(jì)豐富多樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生的探索意識(shí)。當(dāng)然，信息技術(shù)的融入也是對(duì)教師的挑戰(zhàn)，需要從學(xué)生發(fā)展的角度精心設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)、提出問題的時(shí)機(jī)，并如何利用信息技術(shù)恰如其分地引導(dǎo)學(xué)生親歷整個(gè)解決問題的全過程，讓學(xué)生感受到左右逢源的體驗(yàn)感，真正落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（2）平衡好信息技術(shù)融入的度

信息技術(shù)的融入讓教學(xué)內(nèi)容變得淺顯易懂，但過度全盤地使用卻會(huì)扼殺學(xué)生地直觀想象能力，阻礙學(xué)生思維能力的提升。學(xué)生會(huì)對(duì)直觀動(dòng)態(tài)的圖形過度依賴，從而形成思維的惰性，因此，信息技術(shù)的融入教學(xué)既要有可視化也要有數(shù)學(xué)化，既要實(shí)驗(yàn)猜想也要演繹證明。案例4中，當(dāng)學(xué)生借助GeoGebra得到指數(shù)函數(shù)模型較理想時(shí)，還需通過紙筆運(yùn)算、邏輯推理對(duì)模型進(jìn)行修正，這是信息技術(shù)無法代替的。教師要平衡好信息技術(shù)融入的度，數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)既要“返璞”，也要“歸真”。

（3）信息技術(shù)從融合到創(chuàng)新，讓課堂教學(xué)走得更遠(yuǎn)

信息技術(shù)融入教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂是集教育技術(shù)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法三者的深度融合體，而這個(gè)融合體是交互的，動(dòng)態(tài)的生態(tài)系統(tǒng)，需要教師不斷地選擇合適的信息技術(shù)，圍繞信息技術(shù)的特點(diǎn)設(shè)計(jì)開放的、靈活的任務(wù)，讓學(xué)生在豐富多彩、層層遞進(jìn)的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中積累原始體驗(yàn)，并充分發(fā)揮學(xué)生的探索力和創(chuàng)造力，讓數(shù)學(xué)課堂走向廣度和深度。

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