金輝宇,蘭維瑤

(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院,福建廈門 361102)

1 引言

雙重積分器是一類重要的被控對象.它可以描述航天器的單軸轉(zhuǎn)動[1–2],也常在多智能體控制的研究中作為動力學(xué)模型[3–5].雙重積分器不易控制,比例–微分(proportional-derivative,PD)和比例–積分–微分(proportional-integral-derivative,PID)控制都難以實現(xiàn)其快速無超調(diào)階躍響應(yīng)[6].因此,雙重積分器常被用于不同控制方法的檢驗和比較[7],并在控制理論教學(xué)中發(fā)揮重要作用[2,8].

本文研究雙重積分器的自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC).ADRC是韓京清研究員提出的一種通用控制方法[9–11].類似于PID控制,ADRC既能依據(jù)對象的數(shù)學(xué)模型設(shè)計參數(shù),也能不依賴模型直接整定參數(shù).由于這一特點,ADRC受到一線工程師們的歡迎,被廣泛應(yīng)用于化工、冶金、電力、機電、汽車、航空航天等領(lǐng)域[12–15],并被控制理論工作者們高度關(guān)注[16–24].

ADRC與雙重積分器具有緊密的內(nèi)在聯(lián)系.ADRC的一個基本想法是把對象看作受擾的雙重積分器.此處的擾動被稱為“總擾動”,是對象和雙重積分器間的全部動態(tài)差異,既包括外擾,也包括未知參數(shù)和未建模動態(tài)導(dǎo)致的“內(nèi)擾”.ADRC建立擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)估計總擾動,并用反饋兌消,從而將不確定對象的控制問題簡化為控制雙重積分器.這一方法能有效處理各種內(nèi)擾.但有趣的是,當內(nèi)擾不存在時,上述方法是否有效卻鮮有研究.例如,在近期的穩(wěn)定性研究[25]中,就避開了雙重積分器的情況.

本文用線性ADRC(linear ADRC,LADRC)[26]控制雙重積分器.發(fā)現(xiàn)如果采用文獻[27–28]建議的單參數(shù)結(jié)構(gòu),則可以任意設(shè)置回路傳遞函數(shù)的增益穿越頻率,而保持相位裕度恒為31.9°.此時回路傳遞函數(shù)具有文獻[2,29]建議的理想特性,而階躍響應(yīng)無超調(diào).也就是說,在控制雙重積分器時,LADRC可以實現(xiàn)快速無超調(diào)的階躍響應(yīng),優(yōu)于PD和PID控制.分析和算例還表明,二階LADRC的抗低頻外擾能力類似PID控制,能抑制低頻外擾并完全抵消直流擾動,優(yōu)于PD控制;而抗高頻內(nèi)擾能力則優(yōu)于PD和PID控制.

2 雙重積分器的二階LADRC

考慮雙重積分器

其中:u,y和w分別是輸入、輸出和外擾信號,參數(shù)b>0精確已知,即系統(tǒng)不存在內(nèi)擾.要求設(shè)計輸出反饋控制器,保證y能跟蹤參考輸入r且具有滿意的性能.

引入狀態(tài)變量x1y,x2˙y,以及擴張狀態(tài)x3w,則對象(1)可以重寫為

然后為式(2)–(3)設(shè)計ESO

其中k1,k2,k3是待調(diào)參數(shù),稱作ESO增益.令l1和l2是另外兩個待調(diào)參數(shù),稱作反饋增益.設(shè)計控制器

ESO(4)和控制器(5)就組成了LADRC,加上對象(1)構(gòu)成整個LADRC系統(tǒng).

本文采用文獻[27–28]建議的單參數(shù)結(jié)構(gòu).它引入一個正參數(shù)ωo,稱為“觀測器帶寬”,并根據(jù)式(6)–(7)生成l1,l2和k1,k2,k3,

3 主要結(jié)果

3.1 傳遞函數(shù)框圖

將式(5)代入式(4),有

設(shè)U(s),Y(s)和R(s)分別是信號u,y和r的拉式變換,則有傳遞函數(shù)

利用式(6)–(7),并令

再考慮到對象有傳遞函數(shù)

則整個二階LADRC系統(tǒng)有圖1所示的框圖.

圖1 LADRC系統(tǒng)的框圖Fig.1 Block diagram of the LADRC system

3.2 快速無超調(diào)階躍響應(yīng)

由于前置濾波器C1(s)的存在,二階LADRC系統(tǒng)可以實現(xiàn)無超調(diào)的階躍響應(yīng).

定理1如果外擾w0且

則對任意ωo>0,二階LADRC系統(tǒng)階躍響應(yīng)無超調(diào).

證從R(s)到Y(jié)(s)的傳遞函數(shù)為

代入式(8)–(9)后有

于是單位階躍響應(yīng)為

其中L?1是Laplace逆變換.計算可得

于是單調(diào)上升無超調(diào).再由LADRC系統(tǒng)的線性特性,所有階躍響應(yīng)都無超調(diào). 證畢.

在上述證明中,未約定ωo的取值范圍.而由式(13)可知,ωo越大則階躍響應(yīng)越快.于是,選擇足夠大的ωo就能實現(xiàn)雙重積分器的快速無超調(diào)階躍響應(yīng).

注1由于重極點的存在,式(11)–(12)不滿足時如何用本文方法保證無超調(diào)仍需進一步的研究.

注2定理1假設(shè)下,ESO的誤差恒為0.令i1,2,3.由式(2)(4)和w0,

3.3 頻域特性

單參數(shù)二階LADRC用于雙重積分器后,頻域性質(zhì)也優(yōu)良.現(xiàn)考慮圖1中的回路傳遞函數(shù)

圖2 L(s)的Bode圖Fig.2 Bode diagram of L(s)

定理2對任意ωo>0,L(s)有增益穿越頻率ωgcωo和相位裕度31.9°.

證由圖2知L(s)有唯一的增益穿越頻率ωgc.而計算可知|L(jωo)|1,于是ωgcωo.再計算得

于是相位裕度31.9°. 證畢.

定理2是一個非常有趣的性質(zhì).它表明,使用單參數(shù)整定式(6)–(7)可以任意設(shè)置L(s)的增益穿越頻率,同時卻保持相位裕度不變.其他頻域設(shè)計方法尚未有類似性質(zhì)的報道.

相位裕度31.9°在單位負反饋中不能保證階躍響應(yīng)無超調(diào).二階LADRC能實現(xiàn)無超調(diào)階躍響應(yīng),有賴于C1(s)的前置濾波作用,這一點可以從頻域理解.先作C1(s)的Bode圖如圖3中紅線.從中可以看出,幅頻特性曲線在ωωo附近有一個凹陷,能削弱這一段頻率的信號.再作的Bode圖如圖3中藍線.其中幅頻特性曲線存在一個峰,因此如果C(s)單獨用作單位負反饋控制器,系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將存在超調(diào).再作C1(s)的Bode圖如圖3中黑線.由于C1(s)的濾波作用,幅頻特性曲線的峰消失了,于是階躍響應(yīng)無超調(diào).

圖3 C1(s)的Bode圖Fig.3 Bode diagram of C1(s),

注3回路傳遞函數(shù)L(s)有增益裕度±11.6 dB.

注4雙重積分器的無超調(diào)快速階躍響應(yīng)可以用文獻[30]的全階觀測器法或者文獻[31]的直接二自由度設(shè)計實現(xiàn).但這兩種方法都未產(chǎn)生類似式(14)的理想回路傳遞函數(shù).

4 算例與比較

本節(jié)通過數(shù)值算例說明二階LADRC在控制雙重積分器時的優(yōu)越性,并與PD,PID控制進行比較.

4.1 無擾動情況

例1設(shè)有雙重積分器

采用ESO(4)和反饋控制(5),且有

令ωo分別取1,3,10,然后按式(6)–(7)生成參數(shù),再分別用MATLAB進行數(shù)值仿真,計算單位階躍響應(yīng),結(jié)果如圖4所示.從圖中可以看出,3種情況都沒有發(fā)生超調(diào).而隨著ωo的增大,響應(yīng)越來越快.

圖4 雙重積分器的無超調(diào)階躍響應(yīng)Fig.4 Nonovershooting step response of the double integrator

下面將二階LADRC與PD和PID控制進行比較.

例2控制器取

采用圖5的單位負反饋結(jié)構(gòu).回路傳遞函數(shù)KPD(s)P(s)和KPID(s)P(s)的Bode圖如圖2中黑線和紅色點劃線所示.由圖和計算可知,兩者都有增益穿越頻率ω3,同時分別有相位裕度84.3°和71.1°.

圖5 單位負反饋的PD或PID控制Fig.5 Unity feedback PD or PID control

計算上述PD和PID控制的單位階躍響應(yīng),結(jié)果如圖6所示.從圖中可以看出,兩個控制器都產(chǎn)生了超調(diào),盡管其相位裕度明顯大于ωo3的二階LADRC.這一結(jié)果與文獻[6]的斷言一致.

圖6 PD和PID控制的階躍響應(yīng)Fig.6 Step response of PD and PID control

4.2 低頻外擾和高頻內(nèi)擾的影響

前面的研究中假設(shè)內(nèi)外擾均為0.但實際控制系統(tǒng)中,負載或環(huán)境因素的波動會導(dǎo)致低頻外擾,對象高頻段的未建模動態(tài)又會構(gòu)成高頻內(nèi)擾.這兩個因素會限制二階LADRC中參數(shù)ωo的取值范圍.

圖1中,從外擾w到輸出y有傳遞函數(shù)

將式(8)和式(10)代入并令

則有

在ω ≈0的低頻段,有

于是幅頻特性曲線以20 dB/十倍頻的速率上升,低頻外擾被抑制.特別地,由于

直流外擾將被完全抵消.ωo3時Gyw(s)的Bode圖如圖7中藍線所示.

圖7 傳遞函數(shù)Gyw(s)的Bode圖Fig.7 The Bode diagram of transfer function Gyw(s)

另一方面,由圖3和計算可知,在ω >的高頻段,C(s)P(s)的幅頻特性曲線以大約?60 dB/十倍頻的速率衰減,形成所謂“高頻滾降(high-frequency roll-off)”.有利于抑制高頻內(nèi)擾.后面將用一個算例說明這一點.

綜上所述,有低頻外擾或高頻內(nèi)擾存在時,ωo的選擇要考慮抗擾的需要.較大的ωo有利于抗低頻外擾,而較小的ωo有利于高頻內(nèi)擾.如果內(nèi)、外擾同時存在,則應(yīng)統(tǒng)籌兼顧.

用式(16)–(17)替換式(18)中的C(s),可以分析PD和PID控制的抗低頻外擾能力.其Bode圖分別如圖7中黑線和紅點劃線所示.可以看出,PID控制的抗低頻外擾能力類似LADRC,能完全抵消直流外擾.PD控制則沒有上述能力.而由圖3,由于微分作用,PD和PID控制在高頻段都以大約?20 dB/十倍頻的速率衰減,不存在高頻滾降,抑制高頻內(nèi)擾的能力不如二階LADRC.

下面的算例比較3種控制方法的在內(nèi)、外擾均存在時的控制能力.

例3設(shè)對象P為

其中外擾w是幅值0.1的直流信號.易知從u到y(tǒng)有傳遞函數(shù)

其Bode圖如圖8中綠線所示,幅頻特性在ω40處有一個諧振峰.

圖8 C(s)P(s),KPD(s)P(s)和KPID(s)P(s)的Bode圖Fig.8 Bode diagram of C(s)P(s), KPD(s)P(s) and KPID(s)P(s)

假設(shè)由于經(jīng)濟和工期的原因,在ω >10的頻段未建模,該對象被當做雙重積分器(15).現(xiàn)分別使用ω3的單參數(shù)二階LADRC、PD控制(16)和PID控制(17).

先比較回路傳遞函數(shù)C(s)P(s),KPD(s)P(s)和KPID(s)P(s)的Bode圖,分別如圖8中藍線、黑線和紅點劃線所示.從圖中可以看出,3種方法都將回路的增益穿越頻率提高到了ω3附近,作為代價,ω40處的諧振峰都被抬升.PD和PID控制的諧振峰接近0 dB,而由于高頻滾降的作用,二階LADRC的諧振峰要低得多.

其次計算3者的單位階躍響應(yīng).Matlab仿真結(jié)果如圖9所示.從圖中可以看出,二階LADRC的輸出和內(nèi)、外擾都不存在的情況接近,表現(xiàn)了良好的抗擾能力.而PD和PID控制的暫態(tài)響應(yīng)中都存在明顯的高頻分量,這和其諧振峰接近0 dB的事實一致,表明抗高頻內(nèi)擾能力不如LADRC.PD控制還出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)誤差,這是外擾的結(jié)果,表明PD控制不能完全抵消直流外擾,抗低頻外擾不如二階LADRC和PID控制.

圖9 二階LADRC、PD和PID控制的單位階躍響應(yīng)Fig.9 Unity step responses of second-order LADRC,PD and PID control

5 結(jié)論

本文發(fā)現(xiàn)用二階LADRC控制雙重積分器,在時域可以實現(xiàn)快速無超調(diào)階躍響應(yīng),在頻域可以實現(xiàn)理想的回路傳遞函數(shù),任意配置增益穿越頻率并有恒定相位裕度31.9°,還具有良好的抗低頻外擾和高頻內(nèi)擾能力.表明在控制雙重積分器時,LADRC優(yōu)于PD和PID控制.這一結(jié)果有利于進一步深入理解LADRC的機理,發(fā)展出新的參數(shù)整定方法,為LADRC的更廣泛應(yīng)用提供指導(dǎo).