朱 晶，文卜玉

(1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114005;2.遼東學(xué)院 信息工程學(xué)院,遼寧 丹東 118003;3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言

1997 年,Bonhoeffer 和Nowak 根據(jù)病毒感染的動(dòng)力學(xué)特征,建立了如下非線性的病毒動(dòng)力學(xué)模型：

其中：x,y,ν 分別表示t 時(shí)刻宿主體內(nèi)正常細(xì)胞、被感染細(xì)胞和游離病毒的數(shù)量,各參數(shù)的生物學(xué)意義詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2].依據(jù)這一建模機(jī)理,文獻(xiàn)[3] 研究了具有吸收效應(yīng)的時(shí)滯病原體免疫模型：

其中：x(t),y(t),ν(t),z(t)分別表示t 時(shí)刻宿主體內(nèi)正常細(xì)胞、被感染細(xì)胞、游離病毒和體液免疫細(xì)胞的數(shù)量(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3]),運(yùn)用Lyapunov 泛函方法,獲得了無(wú)病平衡點(diǎn)、無(wú)免疫平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的充分條件.

近年來(lái),關(guān)于病毒動(dòng)力學(xué)模型研究已有了重要進(jìn)展(見(jiàn)文獻(xiàn)[4-13]).已有研究表明(見(jiàn)文獻(xiàn)[14-16])：在正常細(xì)胞、被感染細(xì)胞和游離病毒相互作用過(guò)程中,有一些被感染細(xì)胞需要較長(zhǎng)時(shí)間產(chǎn)生病毒,將被感染細(xì)胞分為潛伏和活性兩個(gè)階段是必要的.同時(shí),在病毒感染過(guò)程中宿主體內(nèi)的抗體(免疫應(yīng)答和吸收效應(yīng)) 作用不可忽視,它具有抑制和清除病毒的特殊功能(見(jiàn)[3,17]).基于以上工作,本文考慮如下具有階段結(jié)構(gòu)和吸收效應(yīng)的時(shí)滯病原體免疫模型：

其中：x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t),di(i=1,2,3,4) 分別表示t 時(shí)刻宿主體內(nèi)正常細(xì)胞、潛伏性被感染細(xì)胞、活性被感染細(xì)胞,游離病毒和體液免疫細(xì)胞的數(shù)量和死亡率.λ 為單位時(shí)間產(chǎn)生正常細(xì)胞的速率,βx(t)ν(t) 為雙線性感染率,β 為正常細(xì)胞被病毒感染的速率.假設(shè)病毒以時(shí)滯τ 侵入宿主體內(nèi),在t 時(shí)刻產(chǎn)生潛伏性被感染細(xì)胞的概率為p,潛伏性被感染細(xì)胞的數(shù)量為pβx(t?τ)ν(t?τ)；在t 時(shí)刻產(chǎn)生活性被感染細(xì)胞的概率為q,活性被感染細(xì)胞的數(shù)量為qβx(t?τ)ν(t?τ) 且p+q=1,η 表示潛伏性被感染細(xì)胞轉(zhuǎn)化為活性被感染細(xì)胞的速率.r 為活性被感染細(xì)胞死亡后釋放病毒的速率,uβx(t)ν(t) 表示正常細(xì)胞清除游離病毒的吸收效應(yīng),kν(t)z(t) 表示體液免疫功能反應(yīng),u 和k 為清除游離病毒的強(qiáng)度,h 為游離病毒激發(fā)宿主體內(nèi)產(chǎn)生體液免疫的速率,并且假定r(d1q+η)>u(d1+η).

由于q,η,r 分別為正常細(xì)胞、潛伏性被感染細(xì)胞和感染細(xì)胞的增長(zhǎng)速率,所以本文總是假定rηq>k(d1+η).令C=C([?τ,0],R5)是從[?τ,0]到R5上的連續(xù)映射全體組成的Banach 空間.?φ ∈C 定義|φ|=sup?τ≤θ≤0|φ(θ)|以及系統(tǒng)(2) 的初始條件為

且設(shè)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) 為系統(tǒng)(3) 滿足初始條件(4) 的解.

近年來(lái),關(guān)于具有 CTL 免疫反應(yīng)的病毒動(dòng)力學(xué)模型研究現(xiàn)已有了大量報(bào)道(見(jiàn)文獻(xiàn)[9-14]).本文主要研究系統(tǒng)(3) 的無(wú)病平衡點(diǎn)、無(wú)免疫平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,其結(jié)論可視為 Nowak(1996) 和Bonhoffer(1997) 所獲結(jié)果的推廣.關(guān)于系統(tǒng)(2) 的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),目前尚未見(jiàn)有研究結(jié)果發(fā)表.為方便起見(jiàn),本文采用記號(hào)：

定義基本再生數(shù)和免疫再生數(shù)為

本文主要研究模型(3) 的未感染平衡點(diǎn)、體液免疫功能未激活的感染平衡點(diǎn)和體液免疫功能已激活的感染平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,其模型及研究結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[3] 所做的工作.

1 平衡點(diǎn)的存在性

由模型(3) 和基本再生數(shù)以及免疫再生數(shù),易得下面的定理.

定理1模型(3) 總存在未感染平衡點(diǎn)P=(x0,0,0,0,0)；當(dāng)σ>1 時(shí),存在體液免疫功能未激活的感染平衡點(diǎn)當(dāng)σ>ω>1 時(shí),還存在體液免疫功能已激活的感染毒平衡點(diǎn)其中

由定理1 知,基本再生數(shù)σ 是病毒流行的閥值條件,免疫再生數(shù)ω 則是體液免疫功能是否激活的開(kāi)關(guān).

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2如果σ ≤1,那么模型(3) 的未感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明將模型(3) 改寫為如下等價(jià)系統(tǒng)：

設(shè)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t))是系統(tǒng)(5)任意正解,由函數(shù)F(ξ)=ξ?1?lnξ 在ξ ∈R+內(nèi)存在唯一最小值點(diǎn)ξ=1且F(ξ)≥F(1)=0 的特性,構(gòu)造Lyapunov 泛函：

可見(jiàn)V0(t) 在點(diǎn)P 處的唯一最小值為零.直接沿著系統(tǒng)(5) 軌線計(jì)算V0(t) 的全導(dǎo)數(shù)得

由此可見(jiàn),當(dāng)σ ≤1 時(shí),對(duì)任意正解(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t))均有(t)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t))=(x0,0,0,0,0) 有(t)=0.由LaSalle 不變集原理(見(jiàn)[18]) 知,模型(3) 的未感染平衡點(diǎn)P 是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3如果ω ≤1<σ

證明將模型(3) 改寫為如下等價(jià)系統(tǒng)：

設(shè)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) 是系統(tǒng)(6) 任意正解,由函數(shù)F(ξ)=ξ ?1 ?lnξ 在ξ ∈R+內(nèi)的非負(fù)特性,構(gòu)造Lyapunov 泛函：

可知VΔ(t) 在點(diǎn)M 處的唯一最小值為零.當(dāng)ω ≤1<σ

定理4如果1<ω<σ

證明將模型(3) 改寫為如下等價(jià)系統(tǒng)：

易知V?(t) 在點(diǎn)N 處的唯一最小值為零.當(dāng)1<ω<σ

3 數(shù)值模擬

在這一節(jié),將提供一些數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明模型(3) 中正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.算例中模型(3) 的初始條件滿足 (x(0),y1(0),y2(0),ν(0),z(0))=(0.8,0.03,0.05,0.05,0.05),(8,0.04,0.1,0.1,0.3),(1,0.02,0.3,0.02,0.1),參數(shù)選取為p=0.4,q=0.6,d1=0.1,r=0.5,u=0.1,d3=0.2,d2=0.2,k=0.3,h=0.2,d4=0.1 和時(shí)滯τ=1.

算例1選取參數(shù)η=0.4,λ=0.5,β=0.1,通過(guò)計(jì)算,得到平衡點(diǎn)P=(5,0,0,0,0)，并且得到ρ=r(d1q+η)?u(d1+η)=0.18>0,S(=4.6)>1>σ(=0.9)>ω(=0.6),滿足定理2 的條件.因此,圖1 的數(shù)值模擬說(shuō)明平衡點(diǎn)P全局漸近穩(wěn)定.

圖1 模型(3) 的解(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) 的軌線Fig 1 The trajectories of solutions (x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) of model (3)

算例2選取參數(shù)η=0.5,λ=0.6,β=0.1,通過(guò)計(jì)算,得到平衡點(diǎn)M ≈(5.454 5,0.036 4,0.254 5,0.1,0)，并且得到ρ=r(d1q+η)?u(d1+η)=0.22>0,S(≈4.666 7)>σ(=1.1)>1>ω(≈0.733 3),滿足定理3 的條件.因此,圖2的數(shù)值模擬說(shuō)明平衡點(diǎn)M 全局漸近穩(wěn)定.

圖2 模型(3) 具有初值(x(0),y1(0),y2(0),ν(0),z(0)) 的解軌線Fig 2 The trajectories of solutions with initial value (x(0),y1(0),y2(0),ν(0),z(0)) of model (3)

算例3選取參數(shù)η=0.5,λ=0.7,β=0.12,通過(guò)計(jì)算,得到平衡點(diǎn)N ≈(6.603 8,0.026 4,0.184 9,0.05,0.301 9)并且得到ρ=r(d1q+η)?u(d1+η)=0.22>0,Lω(≈92.571 1)>σ(=1.54)>ω(≈1.452 8)>1,滿足定理4 的條件.因此,圖3 的數(shù)值模擬說(shuō)明平衡點(diǎn)N 全局漸近穩(wěn)定.

圖3 模型(3) 的解軌線Fig 3 The trajectories of solutions of model (3)

4 結(jié)論

綜上所述,當(dāng)σ ≤1 時(shí),由定理2 知病毒最終將被清除；當(dāng)ω ≤σ<1