董維舉

[摘? 要] 通透性思維是一種通達(dá)透徹的思維。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)追求學(xué)生的思維通透。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維通透了，自然能提升學(xué)習(xí)力，發(fā)展核心素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生化抽象為具體、變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、集孤立為整體，要為學(xué)生思維通透搭建學(xué)習(xí)平臺(tái)，提供打通的契機(jī)，要為孵化學(xué)生的通透性思維創(chuàng)設(shè)條件，從而引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 思維通透;小學(xué)數(shù)學(xué);抽象;具體

數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的就在于通過(guò)數(shù)學(xué)磨礪思維，讓自己的思維從淺表走向通透。長(zhǎng)期以來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，致力于讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，而忽視了以知識(shí)為載體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。思維通透，應(yīng)當(dāng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)追求的根本性目標(biāo)。所謂“通透”，就是指“通達(dá)透徹”。通透性思維是一種能化理性為感性、化抽象為具體、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)的思維。借助于通透性的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠從淺表走向深刻、從孤立走向關(guān)聯(lián)。

一、抽象性思維：化“抽象”為“具體”

“抽象性思維”是學(xué)生思維通透的第一個(gè)重要指標(biāo)。數(shù)學(xué)的根本特性就是抽象性，但基于年齡和心理特點(diǎn)，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維還處于具體形象階段。如何在具體形象的思維中滲透、融入抽象性思維？筆者認(rèn)為，一個(gè)重要的路徑就是“化抽象為具體”。換言之，教師可以先將抽象性的數(shù)學(xué)內(nèi)容具體化、直觀化、感性化，然后逐步引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括，進(jìn)而達(dá)到培育學(xué)生抽象性思維的目的。

教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)一些感性的情境，讓學(xué)生置身于其中、沉浸于其中進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考。這樣的一個(gè)過(guò)程，學(xué)生可能需要經(jīng)歷兩次“數(shù)學(xué)化”，即“將生活化、情境化的內(nèi)容提煉成數(shù)學(xué)，這就是橫向數(shù)學(xué)化”，在此基礎(chǔ)上，“對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行抽象、概括，這就是縱向數(shù)學(xué)化”。經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，學(xué)生的抽象性思維自然能得到發(fā)展和提升。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”（北師大版三年級(jí)上冊(cè)），筆者創(chuàng)設(shè)了“平均分”的情境。“平均分”這樣的活動(dòng)，是學(xué)生日常生活中常見(jiàn)的活動(dòng)，比如“過(guò)生日分蛋糕”等。在情境中，教師以圓形紙片（月餅）等為載體、媒介，組織學(xué)生對(duì)其進(jìn)行平均分，將之平均分成2份、4份。在平均分的過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“每一份是原來(lái)‘月餅的 、 ”等。在此基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生提供了大小不同的“月餅”，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生操作。通過(guò)變式操作，學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，一個(gè)“分?jǐn)?shù)”的大小決定于“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”，而與“平均分的對(duì)象”“每一份的大小”“每一份的形狀”等沒(méi)有關(guān)聯(lián)。如此，在具體化、情境化的活動(dòng)中，學(xué)生的抽象性思維得到了很好的發(fā)展。

“抽象性思維”是學(xué)生思維通透的重要標(biāo)識(shí)。可以這樣說(shuō)，一個(gè)學(xué)生的思維是通透還是模糊，很大程度上取決于他對(duì)相關(guān)知識(shí)的抽象性的理解。但這種抽象性思維的培育，不是依靠教師的“抽象性說(shuō)教”，而是依靠教師“感性的、具體的、直觀的引導(dǎo)”。只有讓學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，才能讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。這種“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”是學(xué)生抽象性思維發(fā)展的必要條件。

二、動(dòng)態(tài)性思維：變“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”

學(xué)生思維通透的第二個(gè)重要指標(biāo)，就是指學(xué)生的思維是否具有活性，也就是說(shuō)學(xué)生是否能展開(kāi)動(dòng)態(tài)性的思維。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)一些具有高品質(zhì)思維的學(xué)生，往往能展開(kāi)動(dòng)態(tài)性的思維。而數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)是靜態(tài)的，是經(jīng)過(guò)“壓縮化”處理的。如何借助于這種靜態(tài)化的、壓縮化的數(shù)學(xué)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)性思維？一個(gè)重要的方式就是教師的數(shù)學(xué)教學(xué)要“變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)”，也就是說(shuō)，教師應(yīng)當(dāng)讓教材知識(shí)動(dòng)態(tài)化。動(dòng)態(tài)化的數(shù)學(xué)知識(shí)，能有效地培育學(xué)生的通透性思維。

如果說(shuō)“化抽象為具體”著力解決的是學(xué)生形象思維與抽象數(shù)學(xué)之間的矛盾，那么“化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)”著力解決的就是教材靜態(tài)與思維動(dòng)態(tài)發(fā)展之間的矛盾。比如“三角形的面積”（北師大版五年級(jí)上冊(cè)）這一部分內(nèi)容，教材中的問(wèn)題是開(kāi)放性的，即“如何求出三角形狀的流動(dòng)紅旗的面積？”“如何將三角形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形？”關(guān)于如何轉(zhuǎn)化，教材中只是提供了一個(gè)靜態(tài)的導(dǎo)圖。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。在操作的過(guò)程中，有學(xué)生運(yùn)用“倍拼法”將兩個(gè)完全相同的三角形拼接成平行四邊形;有學(xué)生將三角形沿著高剪開(kāi)，分成兩個(gè)直角三角形，然后運(yùn)用“倍拼法”將三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形;有學(xué)生直接用“剪拼法”將三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，等等。靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)由學(xué)生動(dòng)態(tài)的操作，變得靈動(dòng)起來(lái)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生比較轉(zhuǎn)化前后的圖形，并借助于長(zhǎng)方形、平行四邊形的面積公式建構(gòu)出三角形的面積公式。這個(gè)操作過(guò)程，是將教材知識(shí)“解壓縮”的過(guò)程，也是敞亮數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，更是盤活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程。通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生對(duì)于三角形的面積公式的理解就不再僅僅停留在簡(jiǎn)單的、機(jī)械的記憶層面，而是獲得了一種動(dòng)態(tài)的表象。所建構(gòu)出來(lái)的三角形的面積公式就蘊(yùn)含著學(xué)生的生命實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生就能從三角形面積公式中洞察出其鮮活的推導(dǎo)、形成過(guò)程。

從某種意義上說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)是一種質(zhì)性數(shù)學(xué)，屬于常量數(shù)學(xué)的范疇，其知識(shí)表征出一種靜態(tài)的特征。但如果教師在教學(xué)中僅僅用靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)理解知識(shí)，其教學(xué)就會(huì)顯得膚淺，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解就會(huì)走向片面。而充分發(fā)掘教材知識(shí)的“動(dòng)”的屬性，就能將靜態(tài)數(shù)學(xué)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，不僅能讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更能培育學(xué)生的動(dòng)態(tài)性思維，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從淺表走向深層。

三、結(jié)構(gòu)性思維：集“孤立”為“整體”

學(xué)生思維通透的第三個(gè)重要指標(biāo)就是“思維的結(jié)構(gòu)性”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生之所以不能有效地思考，是因?yàn)槠渌季S處于閉塞、孤立狀態(tài)，這樣的思維狀態(tài)是一種“缺氧”的狀態(tài)，其數(shù)學(xué)思考、探究往往隔靴搔癢。結(jié)構(gòu)性思維是一種聯(lián)通的思維，也是一種聯(lián)想性的思維。結(jié)構(gòu)性思維能打通數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)節(jié)，從而讓所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)能集結(jié)成一個(gè)富有層次性的整體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、類比思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等進(jìn)行思考，從而幫助學(xué)生建立起橫向、縱向的思維聯(lián)結(jié)。

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的思維整體性、結(jié)構(gòu)性、概括性越強(qiáng)，其所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)就越能進(jìn)行有效遷移、應(yīng)用。從某種意義上說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維通透能力就取決于學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。比如教學(xué)“體積單位”（北師大版五年級(jí)下冊(cè)）這部分內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“長(zhǎng)度單位”“面積單位”。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，筆者就從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)“長(zhǎng)度單位”“面積單位”引出“體積單位”。借助于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生認(rèn)為，測(cè)量需要有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，因而自然催生了“體積單位”的產(chǎn)生;學(xué)生認(rèn)為，測(cè)量就是看“被測(cè)量對(duì)象中有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位”，因而自然催生了“長(zhǎng)方體體積公式”的推導(dǎo)。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生將長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位等進(jìn)行比較，從而將學(xué)生零散性的數(shù)學(xué)知識(shí)集結(jié)起來(lái)。進(jìn)而，筆者帶領(lǐng)學(xué)生從一維、二維、三維視角對(duì)長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位進(jìn)行對(duì)比，建構(gòu)它們之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生對(duì)三種單位建立起結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知。在動(dòng)態(tài)性的思維過(guò)程中，學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整合，從而形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知。

結(jié)構(gòu)性思維是一種富有層次性的、系統(tǒng)性的思維方式。這種思維方式不僅之于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的意義和價(jià)值，而且之于學(xué)生學(xué)習(xí)其他學(xué)科相關(guān)知識(shí)、之于學(xué)生學(xué)習(xí)生活都具有極其重要的意義和作用。只有借助于結(jié)構(gòu)性思維，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中才能舉一反三、觸類旁通，才能學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)表達(dá)、學(xué)會(huì)創(chuàng)造，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能從膚淺走向深刻。

培養(yǎng)學(xué)生思維的通透性，需要教師有選擇性地教、有規(guī)律性地教、有空白性地教。培養(yǎng)學(xué)生的思維通透性，需要以學(xué)生的生活世界為源泉，以學(xué)生的生命成長(zhǎng)為主線，以學(xué)生的數(shù)學(xué)化為手段。教學(xué)中，教師要為學(xué)生的思維通透搭建學(xué)習(xí)平臺(tái)，提供打通的契機(jī)，要為孵化學(xué)生的通透性思維創(chuàng)設(shè)條件，從而引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從具體引向抽象、從靜態(tài)轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)、從孤立走向整體。