李潔

[摘? 要] 推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是數(shù)學(xué)思維的重要體現(xiàn). 初中幾何教學(xué)過程中，教師應(yīng)優(yōu)選有效策略和方法，針對性地加強(qiáng)學(xué)生幾何推理能力的滲透訓(xùn)練，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧的過程中提升邏輯推理能力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.？搖文章以初中數(shù)學(xué)中常見的“手拉手模型”幾何專題復(fù)習(xí)為例，探究基于幾何推理能力的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 邏輯推理;初中幾何;教學(xué)策略

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，常常貫穿整個(gè)教學(xué)過程. 推理可分為合情推理和演繹推理，其中合情推理主要是通過推測、猜想、歸納、類比等方式獲得結(jié)論，注重學(xué)生的探究能力和發(fā)現(xiàn)問題的能力. 例如，數(shù)學(xué)史上的哥德巴赫猜想、四色猜想、費(fèi)馬原理等都是在合情推理的基礎(chǔ)上獲得的. 而演繹推理主要從已有的定理、定義及確定的規(guī)則出發(fā)，進(jìn)行計(jì)算和證明，往往根據(jù)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性論證所獲結(jié)論正確與否. 幾何是初中教學(xué)的教學(xué)重、難點(diǎn)，不僅是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力、發(fā)展抽象素養(yǎng)的載體，也是改善和提高學(xué)生合情推理、演繹推理等能力的重要工具 [1] . 因此，在幾何推理能力視角下探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略，具有重要的意義.

基于幾何推理能力的數(shù)學(xué)教學(xué)

策略

1. 重視基礎(chǔ)圖形的教學(xué)

對于幾何，不難發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生雖然已經(jīng)熟練掌握了定義、公理以及定理，但在解決比較綜合或復(fù)雜的幾何問題時(shí)往往無從下手，究其原因，是學(xué)生不能在復(fù)雜的圖形中識(shí)別基礎(chǔ)圖形，不能運(yùn)用基本圖形的思路和性質(zhì)分析新的問題. 因此，在幾何教學(xué)中，教師應(yīng)注重基礎(chǔ)圖形的生成過程，促使學(xué)生從多個(gè)角度清晰認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)圖形的組成元素，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生變化圖形，并要求學(xué)生通過猜想、類比等形式歸納出變化中的不變量，最后通過邏輯推理的方式充分驗(yàn)證猜想正確與否? [2].

2. 分層教學(xué)，讓每個(gè)學(xué)生都獲得發(fā)展

事實(shí)上，同一班級(jí)的學(xué)生幾何推理水平各不相同，因此，為了讓每個(gè)學(xué)生都能獲得發(fā)展，教師應(yīng)根據(jù)布魯姆的“掌握學(xué)習(xí)理論”及所教授學(xué)生對相關(guān)知識(shí)的理解程度，把他們分成不同的層次，然后設(shè)計(jì)不同層次的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)和輔導(dǎo)，并在教學(xué)評(píng)價(jià)時(shí)采用不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn). 另外，教師還可以根據(jù)分層結(jié)果將學(xué)生分成不同的學(xué)習(xí)合作小組. 例如，可以將不同層次的學(xué)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，采用“兵教兵”的模式使每個(gè)學(xué)生都有收獲.

3. 運(yùn)用幾何畫板等現(xiàn)代教學(xué)軟件輔助教學(xué)

運(yùn)用幾何畫板，既能動(dòng)態(tài)展示幾何圖形的變化過程，又能制作心形曲線、細(xì)胞分裂等有趣的課件. 因此，教師應(yīng)充分利用幾何畫板等現(xiàn)代教學(xué)軟件，動(dòng)態(tài)展示求最大值、最小值等動(dòng)點(diǎn)問題的思考過程，從而提升學(xué)生的幾何思維. 例如，在初中“手拉手模型”幾何專題復(fù)習(xí)課程教學(xué)中，教師可以利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地展示兩個(gè)角相對位置發(fā)生變化的過程，從而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀推理能力.

4. 進(jìn)行幾何推理教學(xué)時(shí)，合情推理與演繹推理并重

傳統(tǒng)灌輸式的幾何教學(xué)模式看似高效，但學(xué)生對許多定理和結(jié)論的理解過于表面，往往在實(shí)際解題中難以提取有用信息，因此，教師在幾何教學(xué)中，既要重視合情推理，又要注重演繹推理，即教師可以利用合情推理引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題，并讓學(xué)生通過演繹推理深刻理解所學(xué)結(jié)論 [3] . 例如，在初中“手拉手模型”幾何專題復(fù)習(xí)課程教學(xué)中，教師可以首先要求學(xué)生觀察和總結(jié)“手拉手模型”的特征，然后讓學(xué)生觀察模型的動(dòng)態(tài)圖形變化，利用合情推理猜想模型的性質(zhì)，最后利用所學(xué)公理、定理等知識(shí)通過演繹推理論證所獲性質(zhì)是否合理.

基于幾何推理能力的初中數(shù)學(xué)

教學(xué)實(shí)踐

幾何是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的良好素材. 初三上學(xué)期，學(xué)生基本完成了初中階段的所有幾何知識(shí)，能夠按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求進(jìn)行探究，但該階段學(xué)生所面臨的幾何問題不再是利用某一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)就能完成的，不過幾乎所有的綜合圖形和中考?jí)狠S題中都包含了三角形，所以在一定程度上可以認(rèn)為三角形是綜合圖形的基礎(chǔ). 因此，下面以初中數(shù)學(xué)中常見的“手拉手模型”幾何專題復(fù)習(xí)為例進(jìn)行深入探究.

1. 情境感知，理解模型

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，使學(xué)生初步理解“手拉手模型”的特征，教師可采用故事的方式講述兩個(gè)角“手拉手模型”的建構(gòu)過程（如圖1）. 教學(xué)時(shí)可要求學(xué)生通過小組探究交流的方式猜想、歸納、總結(jié)出“手拉手模型”的特征，然后隨機(jī)邀請某小組代表對本小組發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)陳述，在此基礎(chǔ)上教師對其發(fā)言做出適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng). 另外，教學(xué)時(shí)應(yīng)對照“手拉手模型”在圖形中標(biāo)明模型的各部件（如圖2），并從共頂點(diǎn)、共頂角等角度加深學(xué)生對該模型的理解.

2. 變式探究，演繹推理

為了發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，使學(xué)生更加直觀地觀察到“手拉手模型”中的不變量，教師還可以利用幾何畫板在常見的復(fù)雜圖形中演示兩個(gè)角相對位置發(fā)生變化的動(dòng)態(tài)過程. 如圖3，教學(xué)時(shí)教師可要求學(xué)生踴躍發(fā)言，大膽說出自己的發(fā)現(xiàn).

接著，通過例子告訴學(xué)生由猜想得到的結(jié)論不一定正確. 因此，為了驗(yàn)證所獲結(jié)論的正確性，教師還應(yīng)設(shè)計(jì)探究問題，并要求學(xué)生通過面積、全等等方法驗(yàn)證所獲結(jié)論的正確性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解“無論圖形怎樣變化，‘手拉手模型的基本性質(zhì)永遠(yuǎn)不變”. 在此過程中，教師還應(yīng)及時(shí)對有疑惑的小組進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo). 教師設(shè)計(jì)的探究問題可如下.

如圖4，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′，A′B′與AB交于點(diǎn)C，連接OC.

探究1：∠AOB與∠A′OB′是否相等？

探究2：AB與A′B′是否相等？

探究3：OC是否平分∠ACB′？

探究4：∠BCB′等于多少度？

3. 拓展訓(xùn)練，內(nèi)化性質(zhì)

為了強(qiáng)化學(xué)生的直觀推理能力，讓他們進(jìn)一步理解“手拉手模型”的內(nèi)涵，教師還應(yīng)在無顏色區(qū)分的圖形中對學(xué)生進(jìn)行不斷的拓展訓(xùn)練，以加強(qiáng)學(xué)生對“手拉手模型”性質(zhì)的理解. 例如，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師可以讓學(xué)生自行完成如下練習(xí)題，完成之后，組內(nèi)互相批閱，進(jìn)一步規(guī)范幾何書寫形式. 拓展訓(xùn)練試題如下：

1. 如圖5，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，AC與BD交于點(diǎn)M.

（1）求 的值;

（2）求∠AMB的度數(shù).

2. 如圖6，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠DAE=∠BAC=90°，AF⊥DC，垂足為F.

（1）求DB與CE之間的關(guān)系;

（2）求∠DCE的度數(shù).

3. 如圖7，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2 ，BC=8，以A為頂點(diǎn)，AC為一腰作等腰三角形ACD，且∠DAC=120°，連接DB，求DB的長.

4. 歸納小結(jié)，內(nèi)化性質(zhì)

為了幫助學(xué)生完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)他們不斷感受“模型思想”和“模型美感”，教師還應(yīng)以本節(jié)課程的收獲及如何應(yīng)用模型來解決實(shí)際問題為主題，要求學(xué)生通過思維導(dǎo)圖的形式總結(jié)出本節(jié)課程所學(xué)內(nèi)容，隨后要求學(xué)生再次關(guān)注歷屆中考?jí)狠S題，自行找到相關(guān)類似題目進(jìn)行研究，深入理解“手拉手模型”.

結(jié)語

總之，推理能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是初中生必不可少的學(xué)科素養(yǎng)，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維. 因此，在邏輯推理素養(yǎng)形成的關(guān)鍵時(shí)期，教師應(yīng)注重基礎(chǔ)圖形的講解，不斷滲透合情推理、演繹推理，做到兩者并重共同提高，另一方面，要充分利用幾何畫板等現(xiàn)代工具輔助教學(xué)，使每一個(gè)學(xué)生都能獲得相應(yīng)的提高和發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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[3]顧沛. 關(guān)于合情推理與邏輯推理的教學(xué)——以初中數(shù)學(xué)為例[J]. 中小學(xué)教材教學(xué)，2015（1）.