宓 穎

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州121001）

0 引言

習(xí)近平總書記指出：“創(chuàng)新始終是推動一個國家、一個民族向前發(fā)展的重要力量.人才是創(chuàng)新的根基，創(chuàng)新驅(qū)動實質(zhì)上是人才驅(qū)動，誰擁有一流的創(chuàng)新人才，誰就擁有了科技創(chuàng)新的優(yōu)勢和主導(dǎo)權(quán).”陳寶生部長在2021年全國教育大會上的講話指出：創(chuàng)新在我國現(xiàn)代化建設(shè)全局中具有核心地位，要扎實推進新工科建設(shè)，加快培養(yǎng)理工農(nóng)醫(yī)類專業(yè)緊缺人才，加強創(chuàng)新型人才培養(yǎng).地方工科院校承擔(dān)著為社會培養(yǎng)大批應(yīng)用型工程技術(shù)人才和管理人才的任務(wù)［1］.現(xiàn)代工程科技要求工科大學(xué)生應(yīng)具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力［2］.線性代數(shù)是高等院校工科學(xué)生的一門必修課程，而且為解決復(fù)雜工程問題提供必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在工程、計算機科學(xué)與技術(shù)、經(jīng)濟等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.因此，線性代數(shù)教學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)新人才中發(fā)揮著不可或缺的作用，學(xué)生受益面大，是基礎(chǔ)課創(chuàng)新教育的重要組成部分.

近年來，研究者對線性代數(shù)教學(xué)改革、課程建設(shè)等方面做了很多探討，目前線性代數(shù)教學(xué)研究主要關(guān)注探討線性代數(shù)教學(xué)方法.例如，如何合理、有效地借助幾何直觀幫助學(xué)生理解和掌握抽象的理論知識［3］.采用理論聯(lián)系實際的教學(xué)方式，聯(lián)系應(yīng)用背景，應(yīng)用線性代數(shù)知識解決實際問題［4］.如何在線性代數(shù)課堂教學(xué)中應(yīng)用項目教學(xué)法［5］.有研究者指出線性代數(shù)教學(xué)中，教學(xué)方法的改革是實施創(chuàng)新人才培養(yǎng)的保證.線性代數(shù)課堂除了傳授學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力［6］.對已有的文獻梳理發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)教學(xué)中，對于如何培養(yǎng)創(chuàng)新能力、創(chuàng)新思維未做系統(tǒng)的研究和闡述.研究者僅僅關(guān)注某種教學(xué)理念、教學(xué)模式對于培養(yǎng)創(chuàng)新思維的影響.例如：有研究者探討了以教師為中心在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力方面存在的缺陷，探討了以學(xué)生為中心在培養(yǎng)學(xué)生能力方面的優(yōu)勢［7］.有研究者在線性代數(shù)教學(xué)中提出了構(gòu)思、設(shè)計、實現(xiàn)、運作的教育理念，對于貫徹創(chuàng)新教育思想，培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才具有重要的意義［8］.

有研究者指出目前我國高等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)過分追求數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)密性和完整性，注重呈現(xiàn)知識點、講解計算方法、引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，但缺乏探討數(shù)學(xué)思想，忽視學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)［9］.新工科建設(shè)對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提出了更高的要求，傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)已不能滿足新工科人才培養(yǎng)的需要.我們需要分析線性代數(shù)教學(xué)中創(chuàng)新思維培養(yǎng)面臨的困境，更應(yīng)根據(jù)線性代數(shù)學(xué)科特點和教學(xué)實踐探索培養(yǎng)創(chuàng)新思維的路徑.

1 線性代數(shù)教學(xué)中創(chuàng)新思維培養(yǎng)的實然困境

創(chuàng)新思維被界定為：“提供新穎的和有價值的思維成果的心理過程.它既有其他思維一樣分析、綜合、比較、抽象、概括，又是多種思維形式協(xié)調(diào)活動的綜合體”［10］.相異性、發(fā)散性、綜合性是創(chuàng)新思維的主要特征［11］.根據(jù)自己多年從事線性代數(shù)教學(xué)的經(jīng)驗，培養(yǎng)創(chuàng)新思維所存在的問題主要表現(xiàn)在以下幾方面.

1.1 教學(xué)內(nèi)容：重視理論輕視應(yīng)用

線性代數(shù)課程主要的研究對象是矩陣、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換，該課程的主要特征是抽象，而且與高等數(shù)學(xué)的微積分與高中數(shù)學(xué)有一定的關(guān)聯(lián)不同，該門課程與高中數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)不大.教師在教學(xué)中重視公式定理的證明，但是輕視其應(yīng)用價值.很多教師在教學(xué)中忽視對概念與理論的背景和應(yīng)用介紹，而概念的形成過程以及定理公式的發(fā)現(xiàn)過程都被忽略了，這種教學(xué)方式遮蔽了數(shù)學(xué)活動所蘊含的創(chuàng)新思維.學(xué)生缺乏對于線性代數(shù)所需背景概念的理解.而且以學(xué)生的水平很難找到可以將線性代數(shù)用于解決問題的情境.學(xué)生在這些情境中更容易理解概念，解決問題.在新工科背景下，工程、計算機科學(xué)等領(lǐng)域科學(xué)技術(shù)快速發(fā)展；而與此相比，線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容明顯陳舊滯后.尤其體現(xiàn)在線性代數(shù)教學(xué)缺乏數(shù)學(xué)實驗環(huán)節(jié)，很少涉及到數(shù)學(xué)計算軟件MATLAB的使用.大部分學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的表現(xiàn)是：學(xué)習(xí)解線性方程組、計算矩陣的乘積時都沒有太大的困難，但是當(dāng)學(xué)到線性空間、線性相關(guān)性時，就束手無策了.抽象性和形式化的概念，是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)困難的主要原因［12］.學(xué)生普遍認(rèn)為該課程：內(nèi)容枯燥、抽象、定義太多，缺乏與以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系.

1.2 教學(xué)模式：重視講解輕視互動

教師在課堂教學(xué)中普遍采用“以教師為中心”的教學(xué)模式.教師習(xí)慣采用復(fù)習(xí)引入，概念、定理講解，例題、習(xí)題講解，總結(jié)的流程.教師對所教的專業(yè)對線性代數(shù)知識的需求知之甚少，沒有建立線性代數(shù)內(nèi)容與專業(yè)課程內(nèi)容之間的聯(lián)系.線性代數(shù)教學(xué)存在著注重運算技巧忽視思維創(chuàng)新，注重邏輯推導(dǎo)證明忽視探究發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象.教師課堂教學(xué)的“滿堂灌”現(xiàn)象非常嚴(yán)重.在師生互動方面，教師主要采用課堂提問，但是大多數(shù)提問都集中在復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)，問題以識記、回憶性問題為主，屬于簡單型問題，缺乏創(chuàng)新.教師為了實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，完成教學(xué)任務(wù)，通常對課堂教學(xué)進度掌控很嚴(yán).學(xué)生課堂的大部分時間都在聽老師講解，在課堂教學(xué)中幾乎沒有與教師討論、研討的機會，學(xué)生無法深度參與到課堂教學(xué)中，幾乎沒有機會提出不同的見解和想法，沒有機會提出有挑戰(zhàn)性、創(chuàng)新性的問題.課堂氣氛缺乏活力，即使學(xué)生提出創(chuàng)新型的問題或者獨創(chuàng)性的解答，老師也無法給學(xué)生提供更多的時間和機會，去啟發(fā)和鼓勵學(xué)生闡述自己的見解和理由.相異性是創(chuàng)新思維的基本特點之一［11］.在目前線性代數(shù)的教學(xué)模式下，學(xué)生的創(chuàng)新思維就被淹沒了.

1.3 教學(xué)評價：重視結(jié)果輕視過程

以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才為目標(biāo)的研究型教學(xué)方法改革需要與之相適應(yīng)的評價方法［13］.評價不僅能夠制約教學(xué)，而且，科學(xué)合理的評價能夠衡量學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展水平，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展.目前線性代數(shù)課程考核評價主要采用“平時成績加期末成績”的形式，期末成績所占比重較大，平時成績主要由隨堂作業(yè)和課堂發(fā)言組成.期末試題主要包含填空、計算、證明，側(cè)重考查學(xué)生對于基本概念、定理的掌握情況，考查學(xué)生的運算能力和邏輯思維能力.試題主要是封閉性試題，應(yīng)用性、開放性問題所占比重小，幾乎不涉及創(chuàng)新性試題.學(xué)生通過機械地套用公式、定義、定理就能夠解決問題，往往局限于固定的模式套路，墨守成規(guī)，思維僵化.這種考核評價形式的優(yōu)勢在于強調(diào)了考核評價的客觀公正，容易操作；但是以結(jié)果為主的評價方式具有一定的偶然性，而且也會使學(xué)生養(yǎng)成重結(jié)果輕過程，重記憶輕創(chuàng)新的學(xué)習(xí)習(xí)慣.發(fā)散性是創(chuàng)新思維的重要特征之一，思維的發(fā)散強調(diào)在提出問題與解決問題時，不能拘泥于一種方式或套路［11］.綜上，目前線性代數(shù)的考核評價方式，容易造成學(xué)生僵化、靜止的看待問題、思考問題，而忽視了學(xué)生創(chuàng)新思維的檢測.線性代數(shù)學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生對基礎(chǔ)知識、公式掌握比較扎實，但是遇到綜合、創(chuàng)新型的問題便束手無策.

2 線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)新思維的應(yīng)然對策

“學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維的培養(yǎng)是長期的目標(biāo)，因此改革教學(xué)方法和手段，轉(zhuǎn)變教師教學(xué)觀念，真正將學(xué)生放在教學(xué)的主體地位，是今后教學(xué)的主要任務(wù)”［14］.結(jié)合我校線性代數(shù)教學(xué)的實際，從如下幾個方面提出培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的策略.

2.1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)學(xué)軟件的使用

我們主要從數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)軟件對線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容進行改進.

第一，數(shù)學(xué)建模.線性代數(shù)在工程技術(shù)等方面有著廣泛地應(yīng)用.隨著計算機的日益普及與廣泛應(yīng)用，現(xiàn)代許多工程問題的解決最終轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)知識內(nèi)容的求解.在教學(xué)內(nèi)容中，將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)的教學(xué)，使抽象的線性代數(shù)教學(xué)理論變得更形象、具體、直觀，加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解與掌握.例如，線性代數(shù)第二章第二節(jié)矩陣運算中矩陣的乘法，教材中以線性變換引入，給出乘法的定義.學(xué)生學(xué)習(xí)時，感覺比較抽象，只是能死記硬背公式，并且對實際應(yīng)用無從了解.我們可以從以下產(chǎn)品成本實際背景入手，建立數(shù)學(xué)模型，進而給出矩陣乘法的定義.

某公司生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的原料、勞動力、以及管理費用的單位成本如表1所示.

表1 三種產(chǎn)品原料、勞動力及管理費用的單位成本 元

三種產(chǎn)品每個季度產(chǎn)量如表2所示.

表2 三種產(chǎn)品各季度產(chǎn)量 件

怎樣求解該公司三種產(chǎn)品關(guān)于原料、勞動力及管理費用的各季度總成本？首先，將表1，表2數(shù)據(jù)分別矩陣表示

公司產(chǎn)三種產(chǎn)品分別關(guān)于原料、勞動力以及管理費用的第一季度總成本分別為：

同理可得三種產(chǎn)品在其余三個季度關(guān)于原料、勞動力及管理費用的總成本.

以公司產(chǎn)品關(guān)于原料、勞動力及管理費用的各季度總成本作為列元素構(gòu)成矩陣

可以看到，Q是一個3×4矩陣，其第i行第j列的元素是矩陣M的第i行元素與矩陣P的第j列對應(yīng)元素乘積之和.我們將矩陣Q稱為矩陣M與P的乘積，記作Q=MP.由此，給出矩陣乘法的定義.

第二，數(shù)學(xué)軟件.數(shù)學(xué)軟件具有數(shù)據(jù)可視化的特點，在數(shù)據(jù)分析、數(shù)值分析等方面有廣泛的應(yīng)用.基于數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢，我們將處理數(shù)學(xué)問題的計算機軟件應(yīng)用于線性代數(shù)課程的教學(xué)之中，既可提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，又能加強學(xué)生對抽象的教學(xué)內(nèi)容的掌握，提高解決實際問題的能力.

例如，求解線性方程組是線性代數(shù)的重要教學(xué)內(nèi)容，課堂中教師通過例題講解求解的方法與步驟，在學(xué)生掌握基本原理的基礎(chǔ)上，再利用MATLAB軟件編程求解.這樣，不僅能夠加強學(xué)生對所學(xué)知識的理論方法的掌握與理解，更能加強其實際應(yīng)用能力.

2.2 改革教學(xué)模式，注重師生交流與研討

教學(xué)方法對于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)至關(guān)重要.我們在教學(xué)模式方面主要做了如下工作：

第一，在傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式方面，注重采用問題驅(qū)動教學(xué).問題驅(qū)動教學(xué)是“以問題為中心，在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過獨立思考、討論、交流等形式，對教學(xué)問題進行思考、探索、求解、延伸和發(fā)展”［15］.我們在問題驅(qū)動教學(xué)的基礎(chǔ)上，以思考題為輔助和延伸，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.例如，在逆矩陣的講授中，可以通過如下方式得到方陣可逆的定義：從初等數(shù)學(xué)中倒數(shù)引入，引導(dǎo)學(xué)生將此知識與矩陣相關(guān)運算進行比較，提出問題：對任意一個方陣A，是否存在其倒數(shù)A-1，使得A?A-1=E.

，

線性代數(shù)很多教學(xué)內(nèi)容邏輯嚴(yán)密，系統(tǒng)性較強.在采用問題驅(qū)動教學(xué)模式時，可以根據(jù)教材內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性，以學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識為出發(fā)點，通過對已學(xué)知識的再次復(fù)習(xí)加深而獲得新的知識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.例如：線性代數(shù)第三章第二節(jié)矩陣的秩與第四章第三節(jié)向量組的秩在定義方式以及計算方法上相類似.通過矩陣秩的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)向量組秩時，教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生，對這兩個內(nèi)容加以比較學(xué)習(xí)，使其更易掌握向量組秩的抽象概念，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性更高.

第二，嘗試采用混合教學(xué)模式.有研究表明，混合教學(xué)與單純的在線教學(xué)和課堂教學(xué)相比，有效性更大［16］.混合教學(xué)模式已經(jīng)成為推進教育教學(xué)課程改革的重要趨勢［17］.我們在線性代數(shù)教學(xué)中，積極探索線上線下混合教學(xué)模式，彌補傳統(tǒng)教學(xué)模式的不足.通過將在線教學(xué)與傳統(tǒng)課堂教學(xué)優(yōu)勢有機整合統(tǒng)籌，可以為學(xué)生提供更多的與同伴交互以及自主學(xué)習(xí)和自我管理的機會，有效提高學(xué)生運用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)策略進行創(chuàng)新學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維［18］.

在教學(xué)內(nèi)容上，我們將一些基本概念、性質(zhì)，以及基礎(chǔ)的運算作為線上教學(xué)的內(nèi)容.如矩陣的概念，常用的行列式計算，線性方程組求解，克萊姆法則等作為線上教學(xué)的內(nèi)容.對于一些復(fù)雜抽象、難度大的，例如：向量組線性相關(guān)性、二次型、向量空間等內(nèi)容，仍然采用線下課堂教學(xué)的方式.在線下課堂教學(xué)之前，我們督促學(xué)生充分利用慕課，超星教學(xué)平臺，手機APP等開展線上自學(xué)，并要求搜集查閱具有一定創(chuàng)新性的資源.課堂教學(xué)中，教師在平臺發(fā)送問題，學(xué)生搶答，討論，展開互動；檢驗學(xué)生線上學(xué)習(xí)的效果，鼓勵學(xué)生表達自己的學(xué)習(xí)見解.例如，在講授行列式按行列展開知識點時，在平臺發(fā)布問題“余子式與代數(shù)余子式有什么特點？它們之間有什么聯(lián)系？”“行列式計算的方法通常有哪些？”在講授矩陣計算的知識點時，設(shè)置“矩陣乘法滿足交換律嗎？”“矩陣的行列式運算規(guī)律有哪些？”課后，教師可增加前沿領(lǐng)域的相關(guān)介紹和聯(lián)系生活實際的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

2.3 健全考核評價機制，強調(diào)過程考核

考核評價對于教學(xué)而言是不可或缺的，同時是衡量教學(xué)效果、提高教學(xué)質(zhì)量的重要手段.教師可以通過評價檢驗學(xué)生創(chuàng)新思維的現(xiàn)狀水平以及發(fā)展?fàn)顩r，也能夠激勵學(xué)生創(chuàng)新思維發(fā)展.鑒于目前線性代數(shù)的考核評價機制不利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，我們從如下方面完善了目前線性代數(shù)課程的考核評價機制.

首先，在考核評價方式上，注重過程性考核.原有考核方式為平時成績占30%，包括作業(yè)、階段測試，期末卷面成績占70%.這種考核方式單一，造成學(xué)生僅僅以通過考試為目的，不能對線性代數(shù)所學(xué)內(nèi)容深入掌握，更不能考查學(xué)生的創(chuàng)新思維.在考核評價上，可通過增加考核方式，來改進原有考核評價的局限.例如，通過超星平臺，加入課堂隨機測試，使學(xué)生隨堂掌握所學(xué)內(nèi)容，而非期末突擊復(fù)習(xí).重視過程性考核，注重考核學(xué)生在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn).鼓勵并為學(xué)生創(chuàng)造機會，讓他們參與到思考、探索、猜測、驗證的全過程，尤其是鼓勵學(xué)生表達自己對問題的不同觀點與見解.通過教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件，加入上機編程求解實際問題建模后有關(guān)線性方程組的測試，加深學(xué)生對理論知識的掌握，同時加強其創(chuàng)新思維的培養(yǎng).鼓勵學(xué)生采用數(shù)學(xué)軟件完成老師平時布置的作業(yè).

其次，在考核內(nèi)容上，重視學(xué)生創(chuàng)新思維的考查，有效發(fā)揮考核評價的“指揮棒”功能.減少考試題目中機械記憶、模仿，或者與往屆題型重復(fù)的試題所占的比重.根據(jù)學(xué)生的實際情況，可以嘗試設(shè)置一定比例的開放性、探索性問題，鼓勵學(xué)生從多個角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.由于開放題的特征是條件開放或者結(jié)論開放，學(xué)生在解答開放題的過程中必然會積極探索尋求問題的各種答案，這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維是至關(guān)重要的.教師對書本例題和習(xí)題的進行適當(dāng)?shù)男薷?，如改變某些條件，得到開放題.例如學(xué)生對于純數(shù)字系數(shù)的線性方程組的求解已經(jīng)很熟悉，我們可以在學(xué)生掌握該類型問題的基礎(chǔ)上，在系數(shù)中設(shè)置參數(shù)，考查學(xué)生的創(chuàng)新思維.以下面這道試題為例進行說明：當(dāng)a，b(a，b∈R)為何值時，線性方程組

有唯一解？無解？無窮多組解？并在有無窮多解時求出其通解.教師評價開放題或創(chuàng)新性試題時鼓勵學(xué)生在問題解決過程中展示創(chuàng)新思維.