高紅斌， 貢毅超， 霍小華

(1．山西大學(xué) 自動(dòng)化與軟件學(xué)院，太原 030013； 2．中國電子科技集團(tuán)公司第三十三研究所，太原 030032)

振動(dòng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中非常普遍的一種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，也是導(dǎo)致設(shè)備發(fā)生故障的主要原因之一[1]。因多級(jí)離心泵能頭大、易調(diào)節(jié)、高效工作區(qū)寬，常被作為動(dòng)力設(shè)備廣泛應(yīng)用于電廠給水、熱力循環(huán)水和生活供水等場(chǎng)合。葉輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為離心泵最核心的工作部件，工作時(shí)直接與液體相互作用，無論是否在工況運(yùn)行都會(huì)產(chǎn)生多種振動(dòng)[2-3]。這些振動(dòng)不僅可能會(huì)造成故障，還可能導(dǎo)致嚴(yán)重的安全事故[4-5]，若在臨界轉(zhuǎn)速附近運(yùn)行將可能產(chǎn)生更大的危害[6]。因此，眾多學(xué)者對(duì)離心泵的模態(tài)特征特別是臨界轉(zhuǎn)速(固有頻率)進(jìn)行了研究。在目前眾多的理論分析中，采用最多的是解析法[7]和三維模擬仿真法[8]，解析法簡(jiǎn)便快捷但是計(jì)算所得固有頻率的誤差比三維模擬仿真計(jì)算所得結(jié)果的誤差大，三維模擬仿真所得結(jié)果誤差很小但需要內(nèi)存很大的計(jì)算機(jī)才能完成[9]。因此，提高解析法的求解精度值得研究。

質(zhì)量偏心和不平衡造成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向振動(dòng)受到國內(nèi)外學(xué)者的重視[10-11]。離心泵在制造中及工作中的磨損和汽蝕等都會(huì)使葉輪產(chǎn)生質(zhì)量偏心[12-13]，而目前有關(guān)葉輪質(zhì)量偏心對(duì)模態(tài)影響方面的研究較少。筆者以四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例，在常用的簡(jiǎn)化集中質(zhì)量解析法的基礎(chǔ)上尋求優(yōu)化計(jì)算方法，以提高解析法結(jié)果的精度，并以新的計(jì)算方法為基礎(chǔ)分析葉輪質(zhì)量偏心對(duì)多級(jí)離心泵模態(tài)的影響，從而為多級(jí)離心泵的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、故障診斷及運(yùn)行調(diào)節(jié)提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型

由牛頓經(jīng)典力學(xué)可知，對(duì)于任一系統(tǒng)或者物體，其廣義動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

(1)

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為黏性阻尼矩陣；A為柔度矩陣；x為位移向量；τ為時(shí)間；F為外部激勵(lì)。

圖1為某典型懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其安裝方式見圖2。泵軸通過軸承被支撐在懸臂架上，就像一根懸臂梁，設(shè)外伸部分軸的長度為l。4個(gè)葉輪被等間距地固定在泵軸懸臂側(cè)一端，葉輪4與右側(cè)懸臂架之間為軸端填料密封裝置，設(shè)其軸向距離為s，則2個(gè)葉輪之間的軸向距離b為:

圖1 懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig.1 Rotor system of cantilever four-stage centrifugal pump

圖2 懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝方式Fig.2 Installation mode of cantilever four-stagecentrifugal pump rotor system

(2)

由梁的彎曲變形理論可知，葉輪1在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數(shù)分別為：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：E為泵軸彈性模量；I為泵軸慣性矩。

葉輪2在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數(shù)分別為：

(7)

(8)

(9)

(10)

葉輪3在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數(shù)分別為：

(11)

(12)

(13)

(14)

葉輪4在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數(shù)分別為：

(15)

(16)

(17)

(18)

由于懸臂架對(duì)泵軸有較好的軸向定位作用，軸向上泵軸右端通過聯(lián)軸器與電機(jī)實(shí)現(xiàn)緊連接，同時(shí)忽略扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和陀螺力矩的影響，因此只考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)。由圖2可以看出，葉輪比軸的徑向尺寸大得多、軸向尺寸小得多，因此適合采用集中質(zhì)量解析法來分析其動(dòng)力學(xué)特性。設(shè)葉輪1～葉輪4的質(zhì)量分別為m1、m2、m3和m4，黏性阻尼系數(shù)為c，則由式(1)～式(18)可以得到研究中常用的簡(jiǎn)化集中質(zhì)量解析法[14]的懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在彎曲方向上的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，其中：

(19)

(20)

(21)

(22)

由式(19)和式(21)可得到集中質(zhì)量解析法的懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征方程為：

(23)

式中：ωn為四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有圓角頻率。

式(21)所示的柔度矩陣為非對(duì)稱的正定矩陣，且其秩為4，即為滿秩矩陣，因此該矩陣不僅具有4個(gè)特征值，而且其特征值均為正的實(shí)根。采用式(23)對(duì)圖1中懸臂式四級(jí)離心泵的模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，其中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)見表1。表1中，m為每個(gè)葉輪質(zhì)量；l、s表示的尺寸見圖2；d為懸臂外伸部分泵軸直徑；ρ、μ分別為系統(tǒng)材料的密度和泊松比。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

由此可以求得該四級(jí)離心泵在彎曲方向的固有頻率，結(jié)果如表2所示。

表2 解析法求得的固有頻率

該泵的額定轉(zhuǎn)速為1 470 r/min(24.5 Hz)，而工程中轉(zhuǎn)速可調(diào)的多級(jí)離心泵的轉(zhuǎn)速范圍一般不超過6 000 r/min(100 Hz)?？梢姡谕睫D(zhuǎn)速為1 500 r/min的三相電機(jī)拖動(dòng)下，該泵干態(tài)運(yùn)行不會(huì)產(chǎn)生共振，而在同步轉(zhuǎn)速為6 000 r/min時(shí)該泵干態(tài)運(yùn)行可能會(huì)發(fā)生2次共振。

將所得第四階固有頻率及該泵的結(jié)構(gòu)和質(zhì)量等相關(guān)參數(shù)代入如下特征方程式：

(24)

可以得到該四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型矩陣為：

r=[r1r2r3r4]=

(25)

式中：r1、r2、r3、r4分別為各階振型向量解。

各階振型如圖3所示。由圖3可知，在前三階固有頻率下葉輪1的變形量最大，4個(gè)葉輪的變形方向一致，但其他3個(gè)葉輪的相對(duì)變形程度有較大差異。在第四階固有頻率下4個(gè)葉輪中心的相對(duì)徑向變形最嚴(yán)重，葉輪1與葉輪2、葉輪3和葉輪4的變形方向相反，且變形量最大的是葉輪3，可見在第四階固有頻率下工作對(duì)整個(gè)軸系的破壞性最大。

2 三維模擬仿真

研究[9,15]表明對(duì)于附有集中質(zhì)量塊的懸臂梁結(jié)構(gòu)，由ANSYS workbench求得的梁系統(tǒng)的縱向各階固有頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合。將固定于泵軸的葉輪視為集中質(zhì)量，泵軸又被固定安裝于懸臂架上，因此符合附有集中質(zhì)量塊的懸臂梁的特征，故采用ANSYS workbench對(duì)圖1中懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，并作為理想結(jié)果與前面建立的數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。根據(jù)表1中該懸臂式四級(jí)離心泵參數(shù)設(shè)置好材料屬性，對(duì)其劃分網(wǎng)格得到有限元分析模型，再按照?qǐng)D2所示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安裝方式對(duì)泵軸中與兩軸承接觸處施加徑向固定約束。利用ANSYS workbench求出該泵的前4階固有頻率分別為38.9 Hz、39.4 Hz、126.1 Hz和247.9 Hz，相應(yīng)的模態(tài)結(jié)果如圖4所示。

(b) 第二階振型

(d) 第四階振型圖3 各階振型圖Fig.3 Patterns for each order

由圖4(a)～圖4(c)可以明顯看出，在前三階固有頻率時(shí)，整個(gè)泵軸中葉輪1處的變形量最大、葉輪2處的變形量次之、葉輪4處的變形量最小。前兩階固有頻率比較接近，第一階固有頻率下與第二階固有頻率下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)分布特征很相近；每個(gè)葉輪在第一階固有頻率下與在第二階固有頻率下的模態(tài)分布特征也相似。第三階固有頻率下4個(gè)葉輪中心區(qū)域的應(yīng)變差異減小，第四階固有頻率下軸系發(fā)生了嚴(yán)重彎曲。這些特征與前面的數(shù)學(xué)模型求解結(jié)果一致。

(a) 第一階振型

(c) 第三階振型

(c) 三階模態(tài)

(a) 一階模態(tài)

(c) 三階模態(tài)

(a) 一階模態(tài)

3 優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

從前述分析可知，如果數(shù)學(xué)模型與三維模擬仿真得到的固有頻率一致，則2種方法計(jì)算得到的振型及模態(tài)分布特征也會(huì)相同。因此，提高固有頻率的計(jì)算精度是提高懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)分析準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)。將數(shù)學(xué)模型與三維模擬仿真所得前四階固有頻率進(jìn)行比較，結(jié)果見表3，其中誤差1表示三維模擬仿真結(jié)果與前述解析法所得數(shù)值計(jì)算結(jié)果的誤差。

(b) 二階模態(tài)

(d) 四階模態(tài)圖4 四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)ANSYS分析結(jié)果Fig.4 Analysis results of four-stage centrifugal pumprotor system by ANSYS

表3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與三維模擬仿真結(jié)果Tab.3 Numerical calculation results and 3D simulation results

由表3可以看出，由前面所建立的懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)方程所求得的一階和二階固有頻率誤差較小，但是隨著階數(shù)的增大，誤差越來越大，四階固有頻率的誤差達(dá)到11.82%(相當(dāng)于相差1 758 r/min)。同時(shí)，由數(shù)學(xué)解析得到的各階固有頻率均小于三維模擬仿真結(jié)果，說明集中質(zhì)量解析法所得的結(jié)果小于連續(xù)體法計(jì)算所得結(jié)果。以上分析方法使用的材料參數(shù)相同、建模使用的尺寸數(shù)據(jù)也相同，然而其結(jié)果卻出現(xiàn)了差異，數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果是根據(jù)式(23)計(jì)算得出的，主要原因如下：(1) 式(23)將原本連續(xù)的泵軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)人為分割為4個(gè)質(zhì)量集中部分；(2) 矩陣中質(zhì)量?jī)H考慮了葉輪質(zhì)量，沒有考慮軸系的質(zhì)量；(3) 矩陣中抗彎剛度僅考慮了軸系截面的慣性矩而沒有考慮葉輪慣性矩的影響。研究表明[16]，質(zhì)量被集中的個(gè)數(shù)越多，所得固有頻率與實(shí)際越接近，因此筆者研究泵軸質(zhì)量和葉輪抗彎剛度對(duì)懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響，并以此為基礎(chǔ)分析葉輪質(zhì)量偏心對(duì)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響。

由于懸臂梁被固定部分的變形量遠(yuǎn)小于外伸部分，因此為了提高計(jì)算精確性，在質(zhì)量矩陣中僅計(jì)入泵軸在懸臂架外(左側(cè))的質(zhì)量。如圖2所示，將2個(gè)葉輪之間的軸質(zhì)量平均折算至每個(gè)葉輪，即4個(gè)葉輪處軸段的質(zhì)量等效為：

(26)

(27)

(28)

(29)

葉輪通過鍵與軸過盈相連，這相當(dāng)于泵軸中串聯(lián)了4個(gè)葉輪，葉輪的存在必然影響整個(gè)泵軸的變形。因此，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的抗彎剛度EI應(yīng)該由泵軸的抗彎剛度EsIs和葉輪的抗彎剛度EiIi組成：

EI=EsIs+EiIi

(30)

由材料力學(xué)知識(shí)可知，在推導(dǎo)彎曲應(yīng)力和彎曲變形時(shí)，將與梁的長度尺寸有關(guān)的參數(shù)放置于分子中，而將與截面和材料有關(guān)的參數(shù)放置于分母中，且在集中力下等截面梁的彎曲應(yīng)力和彎曲變形與梁的長度成正比。模態(tài)分析涉及彎曲應(yīng)力和彎曲變形，屬于廣義材料力學(xué)的研究范疇，因此在式(30)中必須考慮葉輪軸向尺寸。在葉輪的任一軸面中，葉片的截面積遠(yuǎn)小于前后蓋板的截面積，因此僅考慮蓋板造成的抗彎剛度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的影響。設(shè)蓋板的厚度為t、葉輪外徑為D、集中質(zhì)量段軸向尺寸為T，則根據(jù)串聯(lián)軸剛度的計(jì)算方法，式(30)可以表示為：

(31)

即，

(32)

將式(27)～式(29)和式(32)代入式(23)可以得到懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型特征方程為：

(33)

其中:

將前述相關(guān)參數(shù)代入式(33)得到各集中質(zhì)量處模態(tài)剛度修正系數(shù)κ1=1.052 6、κ2=1.025 6、κ3=1.025 6、κ4=1.008 1和優(yōu)化后的固有頻率解析計(jì)算結(jié)果，如表3所示，其中誤差2表示三維模擬仿真與式(33)求解所得固有頻率的誤差。由四處的模態(tài)剛度修正系數(shù)值可以看出，葉輪1對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度的影響最大、葉輪4對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度的影響最小。由表3可以看出，優(yōu)化后同樣隨著階數(shù)的增大，解析計(jì)算的誤差也增大，但每階固有頻率的誤差已經(jīng)由優(yōu)化前的1.28%、2.03%、8.64%和11.82%分別下降至0.77%、1.02%、3.41%和4.52%，特別是高階固有頻率的精確性有了非常顯著的提高。綜上，系統(tǒng)質(zhì)量減小必然慣性減小，使得反應(yīng)速度變快即固有頻率增大，系統(tǒng)剛度減小必然彈性勢(shì)能減小，使得反應(yīng)速度變慢即固有頻率減小，由式(23)求得的各階固有頻率均小于三維模擬仿真結(jié)果，說明對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)葉輪剛度的簡(jiǎn)化是造成計(jì)算結(jié)果誤差的主要因素，而由本文提出的優(yōu)化方法可以大大提高解析法的準(zhǔn)確性。

4 葉輪質(zhì)量偏心對(duì)模態(tài)的影響

采用前述優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型分析葉輪質(zhì)量偏心對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的影響，并與三維模擬仿真結(jié)果進(jìn)行比較。在圖4中若某葉輪后蓋板z軸上距離軸心e處出現(xiàn)一半徑為r的圓形質(zhì)量缺損，造成了葉輪質(zhì)量的偏心，則偏心的質(zhì)量Δms=ρπr2t，缺失質(zhì)量在該方向的慣性矩ΔIm為：

(34)

將式(34)代入式(32)，得到此時(shí)模態(tài)剛度修正系數(shù)κ的表達(dá)式為：

(35)

如同式(33)，將式(35)、式(32)、缺失質(zhì)量的葉輪質(zhì)量代入式(23)可以得到葉輪質(zhì)量偏心時(shí)懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)優(yōu)化的特征方程，從而得到各階固有頻率及相應(yīng)的振型。下面分析該四級(jí)離心泵的每個(gè)葉輪后蓋板e(cuò)=60 mm處出現(xiàn)r=30 mm的質(zhì)量偏心時(shí)對(duì)四級(jí)離心泵模態(tài)產(chǎn)生的影響。

首先采用三維模擬仿真軟件對(duì)葉輪1發(fā)生質(zhì)量偏心時(shí)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)進(jìn)行分析，得到其前四階固有頻率分別為39.8 Hz、40.3 Hz、129.9 Hz和252.7 Hz，相應(yīng)的模態(tài)結(jié)果如圖5所示。

采用上述葉輪質(zhì)量偏心時(shí)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型計(jì)算出葉輪1發(fā)生質(zhì)量偏心時(shí)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前四階固有頻率分別為39.4 Hz、39.7 Hz、124.8 Hz和240.4 Hz，將其與三維模擬仿真結(jié)果進(jìn)行比較，如表4所示。

(b) 二階模態(tài)

(d) 四階模態(tài)圖5 葉輪1質(zhì)量偏心時(shí)ANSYS分析結(jié)果Fig.5 Analysis results of mass eccentricity of impeller 1 by ANSYS

由表4可知，由優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型求得的葉輪1質(zhì)量偏心時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與三維模擬仿真得到的固有頻率的誤差隨著階數(shù)的增大而增大，但四階固有頻率的誤差也小于5%。同時(shí)，表4中葉輪1質(zhì)量偏心時(shí)2種結(jié)果的4個(gè)誤差1.01%、1.45%、3.93%、4.87%均大于表3中無質(zhì)量偏心時(shí)2種結(jié)果的4個(gè)誤差0.77%、1.02%、3.41%和4.52%，可見利用本文優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型求解葉輪1質(zhì)量偏心時(shí)懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所得模態(tài)結(jié)果比求解無質(zhì)量偏心時(shí)誤差略大、精確性略低。

同上，采用三維模擬仿真分別對(duì)葉輪2、葉輪3和葉輪4發(fā)生質(zhì)量偏心時(shí)該四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)進(jìn)行分析，采用上述葉輪質(zhì)量偏心時(shí)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型再分別計(jì)算出葉輪2、葉輪3和葉輪4發(fā)生質(zhì)量偏心時(shí)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前四階固有頻率，將三維模擬仿真和數(shù)值計(jì)算結(jié)果得到的各階固有頻率進(jìn)行比較，如表4所示。由于本節(jié)主要分析葉輪質(zhì)量偏心對(duì)固有頻率變化的影響，這三級(jí)葉輪質(zhì)量偏心時(shí)的三維仿真云圖未給出。

由表4可知，當(dāng)葉輪1產(chǎn)生質(zhì)量偏心時(shí)各階固有頻率的值最大，葉輪2產(chǎn)生質(zhì)量偏心時(shí)各階固有頻率的值次之，葉輪4產(chǎn)生質(zhì)量偏心時(shí)各階固有頻率的值最小，即隨著產(chǎn)生質(zhì)量偏心的葉輪位置遠(yuǎn)離懸臂處(即越靠近葉輪1)，整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率越大；由本文優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型求得的各級(jí)葉輪質(zhì)量偏心時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與三維模擬仿真結(jié)果的誤差隨著階數(shù)的增大而增大，但最高階固有頻率的誤差亦小于5%，完全可以滿足工程需要，因此本文優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型具有較高的精度。同時(shí)，由表4和表3可知，由本文優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型求解葉輪質(zhì)量偏心時(shí)比求解葉輪無質(zhì)量偏心時(shí)懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的誤差大，葉輪發(fā)生質(zhì)量偏心時(shí)各階固有頻率的值均略有增大。

表4 葉輪質(zhì)量偏心時(shí)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型與三維模擬仿真得到的固有頻率

5 結(jié) 論

(1) 分析了懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量負(fù)載、阻尼特性和柔度影響系數(shù)的計(jì)算方法，建立了簡(jiǎn)化的集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型和融合軸系質(zhì)量及模態(tài)剛度修正系數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，得到2種模型下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的求解方法。

(2) 集中質(zhì)量解析法得到的離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率略小于三維模擬仿真結(jié)果。

(3) 由本文優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型求得的四階固有頻率的誤差由優(yōu)化前的1.28%、2.03%、8.64%和11.82%分別下降至0.77%、1.02%、3.41%和4.52%，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中葉輪剛度的簡(jiǎn)化是造成計(jì)算結(jié)果誤差的主要因素。

(4) 葉輪發(fā)生質(zhì)量偏心時(shí)各階固有頻率的值均略有增大，產(chǎn)生質(zhì)量偏心的葉輪位置越靠近吸入室側(cè)，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響越大。

(5) 由本文優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型求解葉輪質(zhì)量偏心時(shí)比求解葉輪無質(zhì)量偏心時(shí)懸臂式四級(jí)離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的誤差大，但最大誤差在5%內(nèi)，完全可以滿足工程需要。