王寧 王琴 楊森

摘要：本文基于對(duì)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)認(rèn)知模式的理論、構(gòu)成要素以及認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)工具，調(diào)查分析了大學(xué)生高等數(shù)學(xué)知識(shí)所掌握的情況。根據(jù)被試者的作答情況對(duì)其屬性做出定性分析，并就作答情況分析各自的歸屬模式，從總體得分情況、被試者掌握屬性的概率以及其掌握模式這三個(gè)方面對(duì)被試者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)分析，對(duì)優(yōu)化教學(xué)提供針對(duì)性建議。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知診斷;高等數(shù)學(xué)教學(xué);個(gè)性化學(xué)習(xí);項(xiàng)目擬合估計(jì)

引言

高等數(shù)學(xué)是高校理工科學(xué)生的基礎(chǔ)科目，這一科目的教學(xué)往往是高校教育的重點(diǎn)?？紤]到現(xiàn)在高數(shù)課堂教學(xué)中仍在使用傳統(tǒng)測(cè)試模式，很容易忽視每個(gè)學(xué)生在某一層面獨(dú)有或共有的特征屬性，不利于培養(yǎng)學(xué)生的自我認(rèn)知及教師對(duì)學(xué)生實(shí)際情況的深入了解。隨著認(rèn)知診斷評(píng)估理論的出現(xiàn)和發(fā)展，為個(gè)體改進(jìn)技能、知識(shí)結(jié)構(gòu)等的測(cè)量及評(píng)價(jià)提供了一種嶄新的角度[1]。認(rèn)知診斷理論通過(guò)借助試驗(yàn)中項(xiàng)目相關(guān)屬性對(duì)被試者知識(shí)掌握程度做出有效反映[2]。在實(shí)際測(cè)試中，有多種方法來(lái)測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。張愛華[3]等，王澤龍[4]等都研究了將數(shù)學(xué)建模思想融入概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)改革研究;曾翔[5]等的研究基于SPOC的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)模式和優(yōu)化策略;麥繼芳[6]等以概率統(tǒng)計(jì)為例研究了本科理工課堂導(dǎo)入式教學(xué)方法的探索與應(yīng)用。目前認(rèn)知診斷分析結(jié)果主要分為個(gè)體測(cè)試報(bào)告和群體測(cè)試報(bào)告兩種形式，報(bào)告的具體診斷首先應(yīng)體現(xiàn)足夠的定性和量性相結(jié)合，既要通過(guò)個(gè)人分析其在測(cè)試中的群體表現(xiàn)，同時(shí)也應(yīng)通過(guò)群體測(cè)試表現(xiàn)分析個(gè)體的認(rèn)知屬性的掌握情況，然后根據(jù)報(bào)告中具體認(rèn)知診斷結(jié)果提出更具針對(duì)性的診斷措施。本文選取定性和定量方式對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行分析，并結(jié)合DINA模型，目的是對(duì)優(yōu)化教學(xué)提供針對(duì)性建議。

模型原理

DINA模型是屬于認(rèn)知診斷模型中的潛在分類模型。由于模型表達(dá)式簡(jiǎn)單易懂，參數(shù)的可解釋性較好，且DINA模型的復(fù)雜性不受屬性個(gè)數(shù)的影響，實(shí)現(xiàn)了對(duì)認(rèn)知診斷模型的簡(jiǎn)化，適用于對(duì)二值計(jì)分項(xiàng)目測(cè)驗(yàn)進(jìn)行認(rèn)知診斷[7]。本文就DINA模型這一特性進(jìn)行二值評(píng)分。如果被試者掌握了項(xiàng)目考查的所有屬性，則會(huì)答對(duì)該項(xiàng)目;否則會(huì)答錯(cuò)該項(xiàng)目。

假設(shè)測(cè)驗(yàn)考查了個(gè)屬性，被試者數(shù)為，項(xiàng)目數(shù)用表示，用表示第i個(gè)被試者對(duì)第J道題目的回答情況。當(dāng)=1時(shí)表示回答正確，表示回答錯(cuò)誤。相應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣可用來(lái)表示，表示在正確回答第k道題時(shí)是否需要知識(shí)點(diǎn)k。表示試題考查了第個(gè)屬性;表示未考察。此外，用表示被試者的屬性掌握模式。若被試者對(duì)屬性已掌握，用表示;0表示未掌握該屬性。

項(xiàng)目考察的理想反應(yīng)可以表示為：

潛在的作答變量描述的是被試者對(duì)項(xiàng)目的掌握程度，如果被試掌握了項(xiàng)目考察的全部屬性，則;反之，。在已知被試者i的知識(shí)點(diǎn)掌握情況的條件下，被試者在項(xiàng)目的正確作答概率為：

研究方法和數(shù)據(jù)來(lái)源

采用文本分析、問卷調(diào)查以及測(cè)試卷調(diào)查法對(duì)項(xiàng)目數(shù)據(jù)進(jìn)行收集研究。

3.1研究工具編制

認(rèn)知診斷工具的編制包括三個(gè)步驟：屬性及屬性層級(jí)關(guān)系的確定、預(yù)測(cè)卷的編制、認(rèn)知診斷的預(yù)測(cè)和調(diào)整?？紤]到高等數(shù)學(xué)知識(shí)若進(jìn)行細(xì)分，知識(shí)點(diǎn)繁雜且關(guān)聯(lián)緊密，參考南京某大學(xué)教學(xué)大綱將高等數(shù)學(xué)知識(shí)屬性分為四個(gè)大點(diǎn)，即導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)。

3.2認(rèn)知診斷預(yù)測(cè)卷的編制

認(rèn)知診斷預(yù)測(cè)卷的編制首要條件是建立Q矩陣。Q矩陣是描述測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目和屬性的矩陣，一般的，由J行K列（K指屬性個(gè)數(shù)）的0-1矩陣組成。建立Q矩陣的前提是構(gòu)造鄰接矩陣，在鄰接矩陣的基礎(chǔ)上建立可達(dá)矩陣，然后確定被試?yán)硐胝莆漳Ｊ胶偷湫涂疾炷Ｊ剑罱K確定Q矩陣。

典型考察模式是指合乎邏輯的測(cè)試考核模式。在測(cè)試中不存在0000的情況，分別為1000、1100、1001、1101、1110、1111。以上6種典型項(xiàng)目考察模式是編制測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ)，以此為依據(jù)建立測(cè)驗(yàn)Q矩陣編制項(xiàng)目。試題主要改編自國(guó)內(nèi)相關(guān)研究文獻(xiàn)，與教師討論后形成的預(yù)測(cè)卷。

數(shù)據(jù)處理和與分析

4.2.1學(xué)生認(rèn)知屬性掌握概率分析

利用R軟件的CDM包對(duì)調(diào)查的336份有效數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到不同學(xué)院學(xué)生各認(rèn)知屬性的掌握概率以及其平均值，平均值記為S123456，如表4.4所示。采用Hartze（2005）提出的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于不同學(xué)院學(xué)生屬性A1、A2、A3、A4的掌握情況進(jìn)行分析，用0.4和0.6作為判定掌握屬性的標(biāo)準(zhǔn)[8]。Hartze指出若掌握概率小于0.4，則說(shuō)明被試者未掌握該屬性;若掌握概率大于0.6，則說(shuō)明被試者掌握了該屬性;若掌握概率在0.4和0.6之間，則說(shuō)明沒有足夠的證據(jù)來(lái)判定。

四個(gè)學(xué)院學(xué)生對(duì)于屬性A2的掌握概率處于0.5540～0.9495之間，其中學(xué)院S1學(xué)生的屬性掌握情況概率為0.5540，需進(jìn)一步分析，而其他三所學(xué)院學(xué)生基本掌握認(rèn)知屬性A2;屬性A3的掌握概率在0.5375～0.8703之間，學(xué)院S2和學(xué)院S3學(xué)生基本掌握屬性A3，而學(xué)院S1和S4學(xué)生的屬性掌握概率分別為0.5815和0.5375，需進(jìn)一步分析;屬性A4的掌握概率處于0.4626～0.9261之間，其中學(xué)院S3學(xué)生掌握概率為0.4626，仍需進(jìn)一步分析，而其他三所學(xué)院基本掌握屬性A4.

從表中可以看出各學(xué)院在屬性A4上波動(dòng)范圍最大，其次是屬性A2，屬性A1、A3的波動(dòng)范圍不大相差不大。四個(gè)學(xué)院中學(xué)院S2的學(xué)生對(duì)各個(gè)屬性的掌握情況最好，學(xué)院S1和學(xué)院S3的學(xué)生在各個(gè)屬性的掌握情況略差，而學(xué)院S4的學(xué)生掌握情況相對(duì)較差。

4.2.2 認(rèn)知診斷模型參數(shù)估計(jì)與擬合

在認(rèn)知診斷測(cè)試中，通過(guò)對(duì)猜測(cè)參數(shù)和失誤參數(shù)的判別在一定程度上可以反映Q矩陣的冗余和缺失[9]，也可反應(yīng)診斷分析的準(zhǔn)確性。通過(guò)R軟件加載CDM包計(jì)算各項(xiàng)目的失誤參數(shù)、猜測(cè)參數(shù)和RMSEA三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，得表4.5。

分析RMSEA值可得，各項(xiàng)目RMSEA的平均值為0.043，小于0.06，可得研究使用的試題在DINA模型下擬合良好。觀測(cè)可發(fā)現(xiàn)T3和T5參數(shù)略大于0.4，其他項(xiàng)目參數(shù)都小于0.4，說(shuō)明選取DINA模型基本合理。DINA項(xiàng)目參數(shù)估計(jì)發(fā)生偏差的影響因素較多，可能與樣本量、選取典型樣本、Q矩陣自身誤差指數(shù)、估計(jì)方法、先驗(yàn)分布及項(xiàng)目功能差異等有關(guān)[10]，具體仍需進(jìn)一步研究。

結(jié)論

本項(xiàng)目通過(guò)R語(yǔ)言的CDM包構(gòu)建DINA模型和對(duì)收集的實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、探討了性別差異對(duì)于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，個(gè)體對(duì)某一屬性的掌握情況的影響，得出以下結(jié)論：（1）學(xué)生基本掌握高等數(shù)學(xué)的涉及的認(rèn)知屬性，不同學(xué)院學(xué)生對(duì)于屬性A1掌握較好，A2、A3則相對(duì)掌握較差。（2）在掌握模式上，四所學(xué)院的理想模式歸屬率達(dá)到了76.55%，可以看作大部分學(xué)生都?xì)w屬到七種理想掌握模式中。

對(duì)于教學(xué)上的建議：

（1）要明晰基礎(chǔ)概念，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。對(duì)于屬性掌握模式為0000、1001和1110的學(xué)生，教師在課上應(yīng)使用典例與基本概念相結(jié)合，同時(shí)滲透相關(guān)數(shù)學(xué)計(jì)算，有意識(shí)的提出問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和計(jì)算能力。

（2）重視問題的推導(dǎo)，培養(yǎng)推理能力。對(duì)于屬性掌握模式為1001和1101的學(xué)生，應(yīng)多在關(guān)鍵教學(xué)節(jié)點(diǎn)設(shè)置問題，引導(dǎo)出相關(guān)知識(shí)，呈現(xiàn)問題的解決思維。當(dāng)學(xué)生經(jīng)理這種思維過(guò)程后，就能逐漸形成解題思路。

（3）注意實(shí)際運(yùn)算，強(qiáng)化運(yùn)算思維。對(duì)于屬性為1110的學(xué)生，應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的積累并加大運(yùn)算能力的培養(yǎng)，級(jí)數(shù)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)繁多，計(jì)算相應(yīng)也較為困難，應(yīng)給予學(xué)生充足的時(shí)間記憶并讓學(xué)生通過(guò)自己計(jì)算求解，從而達(dá)到融會(huì)貫通的效果。

參考文獻(xiàn)

[1]羅照盛.項(xiàng)目反應(yīng)理論[M].北京師范大學(xué)，2012：134

[2]劉聲濤，戴海崎，周俊.新一代測(cè)試?yán)碚摗J(rèn)知診斷理論的源起與特征[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（1）：25-29.

[3]張愛華， 楊冬香. 數(shù)學(xué)建模思想融入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)改革研究[J]. 科教文匯（中旬刊）， 2019（03）： 80-81.

[4]王澤龍，朱炬波，劉吉英.數(shù)學(xué)建模在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 高等數(shù)學(xué)研究， 2019， 22（01）： 115-117.

[5]曾翔， 謝煒. 基于SPOC的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)模式優(yōu)化策略探討[J]. 學(xué)周刊， 2019（10）： 8.

[6]麥繼芳， 陳俊宏， 趙海清. 本科理工科課堂導(dǎo)入式教學(xué)方法的探索與應(yīng)用——以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程為例[J]. 科教文匯（上旬刊）， 2019（02）： 60-62+65.

[7]Tu D B， Gao X L， Wang D X， et al. A new measurement of internet addiction using diagnostic classification models[J]. Frontiers in Psychology， 2017，（8）：1768.

[8]涂冬波，蔡艷，戴海琦，丁樹良.多維項(xiàng)目反應(yīng)理論：參數(shù)估計(jì)及其在心理測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].心理學(xué)報(bào)，2011，43（11）：1329-1340.

[9]Kang，C.，Yang，Y.，&Zeng，P.（2019）.Q-Matrix Refinement Based on Item Fit Statistic RMSEA. Applied Psychological Measurement，43 （7），527-542.

[10]宋麗紅，汪文義，丁樹良.DINA模型項(xiàng)目參數(shù)偏差對(duì)知識(shí)狀態(tài)估計(jì)的影響[J].考試研究，2014（04）：26-34.