施小鋒

摘要：估算的本質(zhì)在于結(jié)合實(shí)際的背景對(duì)數(shù)量進(jìn)行“估計(jì)、權(quán)衡和量度”。估算在生活消費(fèi)中運(yùn)用廣泛、估算相較于精算優(yōu)勢(shì)顯著、估算在解決問(wèn)題中對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成意義深遠(yuǎn)，但是學(xué)生對(duì)估算并非主動(dòng)出擊而是被動(dòng)應(yīng)對(duì)，不是積極悅納而是消極接受，經(jīng)常出現(xiàn)“要我估算我才估算”的現(xiàn)象。本文試圖通過(guò)“正視價(jià)值功效，補(bǔ)估算‘元?dú)狻薄ⅰ昂裰步虒W(xué)策略，補(bǔ)估算‘朝氣’”、“明確方法格式，補(bǔ)估算‘底氣’”，三“補(bǔ)”三“氣”，化解尷尬、破解疑難，引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生逐步形成良好的估算意識(shí)和估算能力。

關(guān)鍵詞：估算;乘除法;解決問(wèn)題;尷尬;破解;策略

一、問(wèn)題緣起

這是最新改版作業(yè)本五上第一單元“小數(shù)乘法”P(pán)12單元綜合練習(xí)上的最后一題。這道題考查的小數(shù)乘法的運(yùn)用，兩個(gè)分步的乘積中“學(xué)生的票價(jià)”筆算麻煩，需要估算，“教師的票價(jià)”可采用口算也可以采用估算，整個(gè)題目采用估算解答（下表中的策略3或策略4）比較簡(jiǎn)單。

那學(xué)生又會(huì)選擇什么方法解答這個(gè)題目呢？我們對(duì)全校172名五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

因?yàn)槭窃趯W(xué)完了整個(gè)單元后進(jìn)行的一次獨(dú)立練習(xí)，因此反映的學(xué)生狀況和能力水平相對(duì)比較客觀、真實(shí)。172名學(xué)生中，只有45名同學(xué)選擇用估算對(duì)真實(shí)需要的環(huán)節(jié)或步驟（學(xué)生票價(jià)部分）來(lái)解答，占比26.2%，其中只有35名同學(xué)過(guò)程和結(jié)論是正確的，總的正確率只有20.3%。

二、現(xiàn)狀分析

為什么學(xué)生“不喜歡”、不擅長(zhǎng)估算呢？通過(guò)訪(fǎng)談師生發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有選擇估算主要有以下五個(gè)方面原因：

1.現(xiàn)行教材編排系統(tǒng)性的缺乏：人教版教材中，二下和三上都安排了“加法估算解決問(wèn)題”，三上還安排了乘法估算解決問(wèn)題，但將重點(diǎn)放在了“≈”的教學(xué)上。四年級(jí)沒(méi)有安排估算教學(xué)，五年級(jí)安排了小數(shù)乘法估算。知識(shí)點(diǎn)零散，缺乏整體性;時(shí)間跨度長(zhǎng)，缺乏統(tǒng)一 表征格式。

2.估算解題自身優(yōu)越性的缺憾：估算會(huì)出現(xiàn)多種不同的結(jié)果，這就要顧及結(jié)果是否合理、說(shuō)理是否有力，若不合理或缺乏說(shuō)服力，則需要進(jìn)行調(diào)整。學(xué)生嫌“難學(xué)”，步驟多、說(shuō)理繁、要繞彎，不如精算來(lái)得直接。

3.學(xué)生對(duì)解題能力儲(chǔ)備的缺漏：學(xué)生對(duì)單一的指令性的計(jì)算估算會(huì)，但要運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題情境中，顯得茫然，既沒(méi)有心理準(zhǔn)備，也沒(méi)有能力儲(chǔ)備。在估算能力不是很強(qiáng)的情況下，會(huì)覺(jué)得信不足而選擇更為保險(xiǎn)的“精算”。

4.教師對(duì)估算價(jià)值認(rèn)識(shí)的缺位：精算固然重要，但是在旅游、購(gòu)物、行程等實(shí)際運(yùn)用中，估算的選擇更為廣泛。教學(xué)中，教師多是被動(dòng)的接受，大多是看到“大約”“估計(jì)”等詞以后才引導(dǎo)學(xué)生用估算，很少主動(dòng)出擊，弱化了“估算”該有的功能和價(jià)值。

5.傳統(tǒng)估算教學(xué)中方法的缺失：估算需要借助一定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)等進(jìn)行有條理地表達(dá)和有依據(jù)的推理。學(xué)生和老師普遍認(rèn)為估算中缺少了一些約定的格式和統(tǒng)一的要求，表征難度大，可以借鑒和參照的資料太少。

估算在現(xiàn)有研究文獻(xiàn)中，比較多的是按照操作任務(wù)的差異劃分為三類(lèi)：測(cè)量估算、數(shù)量估算和計(jì)算估算。本文主要就“計(jì)算估算”在乘除法解決問(wèn)題運(yùn)用中進(jìn)行展開(kāi)，后面文中都簡(jiǎn)稱(chēng)為“估算”。

估算，是相對(duì)精算而言的一種運(yùn)算。從現(xiàn)實(shí)來(lái)看，估算能力是現(xiàn)代化社會(huì)生活中的“必需品”;從新課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，估算能力也已然成為運(yùn)算技能和能力的“必備品”。

一方面估算“十分重要”、“百分功效”，而另一方面卻是教師對(duì)估算“十足不想”教、學(xué)生對(duì)估算“百般不愿”用。如何化解這種尷尬境遇，如何破解估算教學(xué)中的“冰火兩從天”？教師不妨從以下“三補(bǔ)”入手。

三、破解策略

（一）正視價(jià)值功效，補(bǔ)估算“元?dú)狻?/p>

1.轉(zhuǎn)變觀念，挖掘估算價(jià)值

估算不僅僅是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)和簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、直覺(jué)思維、推理能力，增強(qiáng)運(yùn)用意識(shí)、認(rèn)識(shí)事物的整體感覺(jué)，提高他們的觀察、處理解決實(shí)際問(wèn)題能力等有著積極、深遠(yuǎn)的意義。

教師要充分挖掘生活案例，引導(dǎo)學(xué)生感受估算的重要性和運(yùn)用的廣泛性。課堂上，通過(guò)觀察、判斷、比較、推理等認(rèn)知活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生獲得概括性的結(jié)果，從而形成對(duì)數(shù)量關(guān)系或空間形式的全局化、整體性把握，既培養(yǎng)了估算能力，也訓(xùn)練了思維、發(fā)展了智力;課堂上，組織學(xué)生交流各自的估算方法，比較各自估算的結(jié)果，從而發(fā)展出形式各異的估算方法和技巧。

2.適時(shí)介入，體現(xiàn)估算優(yōu)勢(shì)

（1）在順意時(shí)凸顯優(yōu)越：教師可以設(shè)計(jì)連線(xiàn)、選擇等可以進(jìn)行精算完成也可以通過(guò)估算完成的題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比賽。

如，在學(xué)完了小數(shù)乘除法后，我出了這樣一組連線(xiàn)題：把這些籃球分別投進(jìn)對(duì)應(yīng)的籃筐中，并且說(shuō)說(shuō)你的方法。

像這樣“半開(kāi)放式”題型的設(shè)計(jì)和練習(xí)，如果選擇估算，就能既對(duì)又快地找到對(duì)應(yīng)的籃筐，學(xué)生將充分感受到估算帶來(lái)的優(yōu)越感。

（2）在迷茫時(shí)絕處逢生：在完成上面四個(gè)籃球的“投籃”后，出示：

“籃球3.2×9.□8”，應(yīng)該投進(jìn)下面（ ）個(gè)“籃框”中？

A.31.364 B.28.386 C.31.296 D.32.496

如果學(xué)生能通過(guò)精算完成時(shí)，他們會(huì)覺(jué)得至少還有“保底”。但當(dāng)數(shù)據(jù)不齊而精算“斷路”時(shí)，學(xué)生必然“背水一戰(zhàn)”、另辟蹊徑，這時(shí)估算的閃亮登場(chǎng)才是最渴望和最有生命力的。

（二）厚植教學(xué)策略，補(bǔ)估算“朝氣”

1.對(duì)比，拓估算寬度，顯估算方法的靈活性

（1）相同數(shù)據(jù)，不同處理方式的對(duì)比

232÷5，232÷8，232÷7，232÷11，都是232除以一個(gè)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生比較怎么估算。232÷5≈250÷5，232÷8≈240÷8，232÷7≈210÷7，232÷11≈220÷11。為什么同樣是數(shù)據(jù)232，“估成”的數(shù)完全不一樣？引導(dǎo)學(xué)生估算應(yīng)“先估后算”，估算中的兩個(gè)很重要的要素是“計(jì)算方便”、“盡量接近”。然后教師追問(wèn)：那除數(shù)是多少時(shí)，我們才把232看成230？（除以23，或者除以10時(shí)）。

在計(jì)算小數(shù)乘法估算，12.8乘以一個(gè)數(shù)時(shí)，另一個(gè)因數(shù)不同，12.8看成的數(shù)也不盡相同。當(dāng)12.8乘以一般的數(shù)時(shí)可以估成13或10再計(jì)算;12.8乘以8時(shí)，把12.8估12.5比較好，方便且接近。

（2）相同情境，不同問(wèn)題要求的對(duì)比

體育組要買(mǎi)一批跳繩，每根2.65元，五年級(jí)172人每人一根。

①購(gòu)物前思考，準(zhǔn)備600元錢(qián)夠不夠？（“估大法”）

②購(gòu)物滿(mǎn)400元可送護(hù)腕，能否贈(zèng)送護(hù)腕？（“估小法”）

③付款時(shí)思考，大約需要多少元？（“四舍五入法”）

④收銀員收款，一共需要付多少元？（精算）

通過(guò)對(duì)相同數(shù)據(jù)在不同算式中的對(duì)比、相同情境中不同問(wèn)題的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生明白估算的方法是靈活的、開(kāi)放的，只有“高瞻遠(yuǎn)矚”、方法了然于胸，才能根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)或結(jié)合問(wèn)題要求，靈活選擇估算的方法。

2.聯(lián)系，增估算厚度，顯估算過(guò)程的融通性

（1）依托現(xiàn)實(shí)情境

情境架起了抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和具象的兒童思維之間的橋梁和紐帶。很多時(shí)候，估算只有鑲嵌在實(shí)際情境之中，才能顯現(xiàn)出估算的價(jià)值和作用，并在不同的情境中加以比較。

①勝利小學(xué)有28個(gè)班，平均每班32人，共有980個(gè)座位的影院，能坐下嗎？

②加工車(chē)間要進(jìn)28箱零件，每箱重32千克。一輛核定載重800千克的小車(chē)一次運(yùn)走會(huì)超載嗎？

比較得出，同樣的式子28×32，在不同的情景中，處理是不一樣的。

第一題，估大法：28×32≈30×32=960（估大了），比980小，坐得下;

第二題，估小法：28×32≈28×30=840（估小了），比800大，超載了。

讓學(xué)生在不同教學(xué)情境中嘗試使用估算，可不斷增強(qiáng)學(xué)生估算的適切性和變通性。讓抽象與具象 “呼應(yīng)”，讓感性和理性“中和”。

（2）貫通聯(lián)系四算

估算與口算、筆算、簡(jiǎn)算之間具有密切的內(nèi)在聯(lián)系，教學(xué)中需要將他們有機(jī)滲透、相互融合，不可人為割裂。

①事先想一想：面對(duì)問(wèn)題解決，首先要觀察并判斷是否需要精確計(jì)算，如果要，才是考慮是用什么方法計(jì)算（口算、筆算）？如果不必精算，考慮如何進(jìn)行估算或四舍五入，如何進(jìn)行事實(shí)說(shuō)明和結(jié)論闡述。

②算前估一估：當(dāng)學(xué)生確定了具體算法（筆算）后，先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，對(duì)結(jié)果有大致的了解和預(yù)判，這樣既有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感，培養(yǎng)數(shù)據(jù)的分析和處理能力。

③最后比一比：當(dāng)學(xué)生計(jì)算出精確結(jié)果后，再與之前估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，引導(dǎo)學(xué)生比較是估大了，還是估小了！出現(xiàn)偏差的原因是什么？這樣的指令和針對(duì)性地訓(xùn)練多次重復(fù)進(jìn)行，勢(shì)必能提高學(xué)生的思辨能力，提高對(duì)運(yùn)算的整體把握能力，也必將提高計(jì)算的正確率。

（3）合理解釋誤差

上題中題目改成：勝利小學(xué)有28個(gè)班，平均每班32人，“恒達(dá)影城”共有900個(gè)座位，能坐下嗎？

學(xué)生一般有下面幾種方法：

方法一：32×28≈32×30=960（估大了），比900大，坐得下;

方法二：32×28≈30×28=840（估小了），比900小，坐不下;

方法三：32×28≈30×30=900，一個(gè)估大2一個(gè)估小2，抵消，剛好能坐下。

方法四：32×28=896（精算）<900。

學(xué)生比較納悶，一個(gè)題目多種方法，結(jié)論還都相互“打架”。如果說(shuō)方法一和方法二由于估大和估小，可以得到準(zhǔn)確值在840和960之間，不好比較可以理解！但是方法三，一個(gè)估大2，一個(gè)估小2，為什么誤差不正好抵消呢！此時(shí)，教師可以出示矩形圖來(lái)幫助理解誤差。

如何發(fā)揮估算的育人價(jià)值，需要每一位教學(xué)工作者轉(zhuǎn)變自己的觀念與價(jià)值取向，在日常的教學(xué)中有效滲透、有機(jī)結(jié)合。這樣，估算才會(huì)展現(xiàn)出它該有的姿態(tài)。

3.改變，強(qiáng)估算效度，顯習(xí)題編擬的人文性

（1）變封閉唯一為開(kāi)放多元

文中一開(kāi)始講述作業(yè)中的“120元是否夠”這個(gè)題目，可以改編成：教師2名，票價(jià)5.□元，學(xué)生35名，票價(jià)2.8元，帶120元錢(qián)是否夠？當(dāng)然，題目還可以再開(kāi)放：5.□×2+2.□×35，引導(dǎo)學(xué)生比較120元是否夠，這就能完美避開(kāi)“大多數(shù)選擇精算而很少人選擇估算的尷尬”。

（2）變順向思維為逆向思維

502×（ ）≈3000 6391÷（ ）≈8 □×2+2.9×35（>）120，方框中最小是多少？

通過(guò)開(kāi)放多元、逆向思考的習(xí)題練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維，思維的靈活性和縝密性大有裨益。

（三）明確方法格式，補(bǔ)估算“底氣”

筆者根據(jù)估算在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)問(wèn)題的類(lèi)型和要求，把估算分為結(jié)果計(jì)算型和推理說(shuō)明型兩類(lèi)。

1.結(jié)果計(jì)算型估算，加強(qiáng)方法指導(dǎo)

結(jié)果計(jì)算型估算重在得到近似結(jié)果，可用四舍五入將參與計(jì)算的數(shù)看成和它接近的整十（整百）數(shù)，或看成方便計(jì)算的“特殊數(shù)”進(jìn)行估算。

（1）就近性取整估算：就近取整估算是教材中比較強(qiáng)調(diào)的一種估算方法，是運(yùn)用最廣泛也是最有用、有效的策略。取整包括取整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、整千數(shù)，小數(shù)主要是取整數(shù)或取比原小數(shù)位數(shù)少一位或少幾位的近似小數(shù)。

（2）簡(jiǎn)潔性口訣估算：簡(jiǎn)潔性口訣估算，就是在充分考慮數(shù)據(jù)特點(diǎn)情況下，直接利用乘法口訣去估算結(jié)果。在乘法和除法中運(yùn)用較為常見(jiàn)。

（3）引入中間量估算：引入中間量往往用于結(jié)果的大小比較中。如比較4÷7和11÷23時(shí)，可以引入中間量0.5，4比7大的一半大，而11不到23的一半，故填大于。

（4）分小數(shù)互化估算：在計(jì)算小數(shù)乘除法時(shí)，很多時(shí)候把小數(shù)轉(zhuǎn)化成接近的分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，會(huì)出現(xiàn)意想不到的簡(jiǎn)便效果。

如：437×0.76大約是多少時(shí)，最簡(jiǎn)便的也是最優(yōu)的方法為：437×0.76≈440×=330。

2.結(jié)果比較型估算，規(guī)范書(shū)寫(xiě)要求

結(jié)果比較型估算既要估算結(jié)果，更要表達(dá)結(jié)果推理的過(guò)程。在解決實(shí)際問(wèn)題中需要借助一定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行“有條有理”的表達(dá)、“有根有據(jù)”的說(shuō)理。具體的書(shū)寫(xiě)格式可以概括為“估、想、比、答”四個(gè)步驟。以開(kāi)頭作業(yè)本上的題目為例：

估：2.8×35+5.8×2≈3×35+6×2=117（元）

想：2.8<3，5.8<6，結(jié)果估大了

比：117<120

答：120元夠了。

估算方法的滲透和引導(dǎo)、書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)定和統(tǒng)一，有利于教師在教學(xué)中有“章”可循、有“法”可依。規(guī)范的書(shū)寫(xiě)格式能幫助孩子形成縝密的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)。

四、理性思辨

1.關(guān)鍵核心相通：測(cè)量的估算（如校園總長(zhǎng)度的估測(cè)）、數(shù)量的估算（大數(shù)的估算，如一袋大豆的大概數(shù)量，一天水龍頭漏水多少千克等），其實(shí)在本質(zhì)上同計(jì)算的估算有很多相通之處的，都是靈活選擇和確定合適的比較量或單位量（計(jì)量單位、計(jì)數(shù)單位），取近似值或取值范圍，巧妙計(jì)算里面有多少個(gè)比較量或單位量，綜合運(yùn)用、分析結(jié)果的過(guò)程。

2.估算變化繁多：估算教學(xué)中，前后兩數(shù)只估一個(gè)，比較容易說(shuō)出是估大了還是估小了。但兩個(gè)量都估，一個(gè)估大一個(gè)估小，估算值是偏大了還是偏小了，難以判斷，結(jié)果也就難以取舍。

3.適時(shí)感受局限：估算是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的內(nèi)容，還是再來(lái)說(shuō)開(kāi)頭講的作業(yè)本上的題目，如果有同學(xué)用“2.8×35+5.8×2≈2.8×40+6×2=112+12=124，比120元大了”來(lái)進(jìn)行判斷的話(huà)，就需要調(diào)整估的過(guò)程和結(jié)果，使學(xué)生理解估算的局限性和特殊性。

五、結(jié)語(yǔ)

教學(xué)中，教師通過(guò)適時(shí)“補(bǔ)氣”，在后面的練習(xí)和運(yùn)用中接受、認(rèn)可并喜歡估算的同學(xué)越來(lái)越多。在一次次的估算中，學(xué)生通過(guò)觀察、比較、判斷、推理，對(duì)數(shù)感的形成、意識(shí)的增強(qiáng)、方法的把握、過(guò)程的完善、結(jié)果的判斷有了明顯的提升?！捌平獠呗浴钡倪\(yùn)用為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展插上了展翅高飛的翅膀。

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