陳世文　張宗余

摘 ?要：函數(shù)是研究變量之間關系的重要數(shù)學模型，統(tǒng)領著“數(shù)與式”“方程和不等式”，也是連接“圖形與幾何”與“數(shù)與代數(shù)”的橋梁. 2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題立足基礎，考查函數(shù)核心知識;注重方法，凸顯函數(shù)本質(zhì)屬性;突出應用，彰顯函數(shù)現(xiàn)實價值;設問新穎，關注函數(shù)學習力. 新課程的評價理念落實到位，教學導向作用明顯. 通過對2020年全國各地區(qū)中考試卷函數(shù)試題的考查內(nèi)容和命題思路進行分析，提出命題建議，并提供一些模擬題供讀者參考.

關鍵詞：考查內(nèi)容;命題思路;命題建議

一、考查內(nèi)容分析

函數(shù)是初中數(shù)學的核心知識，是研究數(shù)量關系和變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，蘊涵著豐富的思想和方法，是歷年中考命題的重點考查內(nèi)容.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，函數(shù)內(nèi)容主要包括：探索簡單實例中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，了解常量、變量的意義;了解函數(shù)的概念和三種表示方法;能結合圖象對簡單實際問題中的函數(shù)關系進行分析;理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，并利用這三類函數(shù)解決簡單的實際問題. 同時，函數(shù)與方程、不等式及幾何圖形的融合也是函數(shù)部分的重點考查內(nèi)容.

為了分析2020全國各地區(qū)中考試卷中函數(shù)試題的權重、考查內(nèi)容、試題類型等，筆者從2020全國各地區(qū)中考試卷中抽取了32份樣卷進行分析，得到了如表1所示的各組數(shù)據(jù).

由表1可知，2020年全國各地區(qū)中考試卷中函數(shù)相關內(nèi)容平均設計4道試題，選擇題、填空題和解答題均有涉及，其中解答題占比較高，函數(shù)內(nèi)容總分值占全卷分值的18%左右. 這些試題在全面覆蓋函數(shù)基礎知識、基本技能和基本方法的同時，更加注重對函數(shù)本質(zhì)屬性與內(nèi)涵的考查，更加關注學生在新的問題情境下合理構建函數(shù)模型解決實際問題的能力，重視對過程的評價和基本活動經(jīng)驗的考查，凸顯函數(shù)思想和研究函數(shù)的基本過程和方法. 嚴格遵循基礎教育課程改革的基本理念和精神，有效落實了《標準》的基本要求和數(shù)學學科核心素養(yǎng)，增強了試題的應用性和創(chuàng)新性，教學導向作用明顯.

二、命題思路分析

1. 立足基礎，考查函數(shù)核心知識

函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是函數(shù)的核心知識，也是學生學習的重點內(nèi)容. 2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題繼續(xù)立足基礎與核心，著重考查學生對函數(shù)概念的理解、圖象的掌握和性質(zhì)的運用，以及不同問題情境下的綜合運用函數(shù)知識解決問題的能力.

例1 （北京卷）有一個裝有水的容器，如圖1所示. 容器內(nèi)的水面高度是10 cm，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時開始計時，在注水過程中，水面高度以每秒0.2 cm的速度勻速增加，則容器注滿水

之前，容器內(nèi)的水面高度與對應的注水時間滿足的函數(shù)關系是（ ? ?）.

（A）正比例函數(shù)關系 （B）一次函數(shù)關系

（C）二次函數(shù)關系 （D）反比例函數(shù)關系

例2 （浙江·臺州卷）如圖2，小球從左側(cè)的斜坡滾下，到達底端后又沿著右側(cè)斜坡向上滾，在這個過程中，小球的運動速度[v]（單位：[m / s]）與運動時間[t]（單位：s）的函數(shù)圖象如圖3所示，則該小球的運動路程[y]（單位：m）與運動時間[t]（單位：s）之間的函數(shù)圖象大致是（ ? ?）.

【評析】例1、例2均以生活中的實際問題情境作為試題背景，讓學生從實際問題情境中抽象出相關函數(shù)和圖象，有效考查了學生對函數(shù)概念和函數(shù)圖象的理解. 同時，例2以圖象形式給出運動速度[v]與運動時間[t]之間的關系，進而探究小球的運動路程[y]與運動時間[t]之間的函數(shù)圖象，在考查函數(shù)概念的同時，也加大了對學生識圖、作圖能力的考查，提高了試題的區(qū)分度和可推廣性.

例3 （貴州·遵義卷）拋物線[y=ax2+bx+c]的對稱軸是直線[x=-2.] 拋物線與x軸的一個交點在點[-4，0]和點[-3，0]之間，其部分圖象如圖4所示，下列結論中正確的個數(shù)有[（] ? ?[）].

①[4a-b=0;]②[c≤3a;]③ 關于x的方程[ax2+bx+][c=2]有兩個不相等實數(shù)根;④[b2+2b>4ac.]

（A）1個 ?（B）2個 ?（C）3個 ?（D）4個

例4 （山東·威海卷）如圖5，點[Pm，1]，點[Q-2，n]都在反比例函數(shù)[y=4x]的圖象上. 過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點M，N. 連接OP，OQ，

PQ. 若四邊形OMPN的面積記作[S1，] [△POQ]的面積記作[S2，] 則（ ?）.

（A）[S1∶S2=2∶3] （B） [S1∶S2=1∶1]

（C）[S1∶S2=4∶3] （D） [S1∶S2=5∶3]

【評析】例3、例4均是對函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查. 例3直接借助二次函數(shù)圖象分析相關問題，考查學生從圖象中獲取信息和處理相關信息的能力. 而例4在圖象中融入幾何元素，求四邊形與三角形面積之比，其本質(zhì)是考查反比例函數(shù)的定義（[xy=k]）和其圖象關于原點中心對稱的性質(zhì). 結合圖象或在圖象中融入幾何元素，加強學生對函數(shù)性質(zhì)的理解掌握情況的考查是中考試題的常見類型，如廣東東莞卷第10題、浙江湖州卷第16題等.

2. 注重方法，凸顯函數(shù)本質(zhì)屬性

《標準》指出，對基礎知識和基本技能的考查，要注重考查學生對其中所蘊涵的數(shù)學本質(zhì)的理解. 2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題，在立足基礎、考查函數(shù)核心知識的同時，注重對函數(shù)思想方法的考查，關注函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的本質(zhì)屬性.

例5 （安徽卷）在平面直角坐標系中，已知點[A1，2，B2，3，C2，1，] 直線[y=x+m]經(jīng)過點A，拋物線[y=ax2+bx+1]恰好經(jīng)過A，B，C三點中的兩點.

（1）判斷點B是否在直線[y=x+m]上，并說明理由;

（2）求a，b的值;

（3）平移拋物線[y=ax2+bx+1]，使其頂點仍在直線[y=x+m]上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最大值.

例6 （浙江·嘉興卷）已知二次函數(shù)[y=x2，] 當[a≤x≤b]時[m≤y≤n]，則下列說法正確的是[（] ? ?[）].

（A）當[n-m=1]時，[b-a]有最小值

（B）當[n-m=1]時，[b-a]有最大值

（C）當[b-a=1]時，[n-m]無最小值

（D）當[b-a=1]時，[n-m]有最大值

例7 （北京卷）在平面直角坐標系xOy中，M[x1，y1，N x2，y2]為拋物線[y=ax2+bx+c a>0]上任意兩點，其中[x1<x2.]

（1）若拋物線的對稱軸為[x=1，] 當[x1，x2]為何值時，[y1=y2=c;]

（2）設拋物線的對稱軸為[x=t，] 若對于[x1+x2>3，] 都有[y1<y2，] 求 t 的取值范圍.

【評析】例5已知拋物線[y=ax2+bx+1]恰好經(jīng)過[A]，[B]，[C]三點中的兩點，求[a]，[b]的值，需要學生嘗試描點、畫圖，同時結合二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，倡導學生“做數(shù)學”，深刻考查學生對圖象性質(zhì)及特征的把握;第（3）小題中求平移后所得拋物線與[y]軸交點縱坐標的最大值，則需要抓住頂點仍在直線[y=x+m]上構建關于縱坐標的函數(shù)關系式.

例6中給定二次函數(shù)[y=x2]，則函數(shù)的圖象確定.拋物線越向上，其“斜率”越大，當[b-a=1]時，則兩點間的水平距離不變，當兩點關于對稱軸對稱時，[n-m]有最小值為[14];當[n-m=1]時，則兩點間的鉛垂距離不變，越向上[b-a]的值越小，所以[b-a]有最大值，而無最小值.

例7的第（2）小題已知[x1+x2>3]時，都有[y1<y2]，反過來探究對稱軸t的取值范圍，需要抓住二次函數(shù)的增減性本質(zhì)，對M，N兩點與對稱軸的位置進行分類討論，同時抓住[x1+x2>3]進行突破.

以上三道例題均是通過在函數(shù)中增加“變化”元素，讓圖象或點動起來，在變與不變、動與不動中探究最值、比較大小等，在考查函數(shù)概念、性質(zhì)和圖象的本質(zhì)屬性時，也進一步凸顯了函數(shù)是研究變量之間關系的本質(zhì)，蘊涵了數(shù)形結合、分類討論等思想方法.

3. 突出應用，彰顯函數(shù)現(xiàn)實價值

《標準》指出，為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識. 2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題都非常注重創(chuàng)設學生身邊熟悉的生活情境，注重設計結合本地經(jīng)濟熱點、社會熱點等的實際問題. 通過研究實際問題中所包含的數(shù)量關系和變化規(guī)律，并以函數(shù)的形式加以表達，然后利用函數(shù)表達式、圖象和性質(zhì)等知識使原問題得以解決. 這對于學生深刻理解并體會函數(shù)的應用價值，突出建立函數(shù)模型的思想方法，發(fā)展學生的應用意識具有重要的意義.

例8 （江蘇·連云港卷）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”. 在特定條件下，可食用率y與加工時間x（單位：min）滿足函數(shù)表達式[y=-0.2x2+1.5x-2]，則最佳加工時間為______.

例9 （陜西卷）某農(nóng)科所為定點幫扶村免費提供一種優(yōu)質(zhì)瓜苗及大棚栽培技術. 這種瓜苗早期在農(nóng)科所的溫室中生長，長到大約20 cm時，移至該村的大棚內(nèi)，沿插桿繼續(xù)向上生長. 研究表明，60天內(nèi)，這種瓜苗生長的高度y（cm）與生長時間x（天）之間的關系大致如圖6所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式;

（2）當這種瓜苗長到大約80 cm時，開始開花結果，試求這種瓜苗移至大棚后，繼續(xù)生長大約多少天，開始開花結果？

【評析】例8直接給出爆米花的可食用率y與加工時間x（單位：min）之間的函數(shù)表達式，要求最佳加工時間，關鍵是要理解實際問題“最佳加工時間”的意義. 例9以圖象的形式給出瓜苗生長的高度y（cm）與生長時間x（天）之間的關系，要求繼續(xù)生長大約多少天開始開花結果，則需根據(jù)圖象建立函數(shù)模型，然后代入求解. 兩道例題結合生活實際考查學生對函數(shù)關系中變量的深刻理解，同時凸顯函數(shù)能夠表示相關變量之間的數(shù)量關系和變化規(guī)律，能對事物做出研判和預測的實際價值.

例10 （浙江·紹興卷）如圖7，排球場長為18 m，寬為9 m，網(wǎng)高為2.24 m，隊員站在底線O點處發(fā)球，球從點O的正上方1.9 m的點C發(fā)出，運動路線是拋物線的一部分，當球運動到最高點A時，高度為2.88 m，即[BA=2.88 m，] 這時水平距離[OB=7 m，] 以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標系，如圖8.

（1）若球向正前方運動（即[x]軸垂直于底線），求球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系式（不必寫出x取值范圍）. 并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)？是否出界？說明理由.

（2）若球過網(wǎng)后的落點是對方場地①號位內(nèi)的點[P]（如圖7，點[P]距底線[1 m]，邊線0.5 m），問發(fā)球點[O]在底線上的哪個位置？（參考數(shù)據(jù)：[2]取1.4.）

【評析】模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 例10通過判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)、是否出界，以及發(fā)球點在底線上的哪個位置等系列實際問題，考查學生建立函數(shù)模型、求解函數(shù)模型的能力，凸顯函數(shù)的應用價值，有助于學生初步形成函數(shù)模型思想，值得借鑒與推廣.

4. 設問新穎，關注函數(shù)學習力

《標準》指出，數(shù)學教學應引導學生在參與數(shù)學活動的過程中，積累基本活動經(jīng)驗，幫助學生形成獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的學習習慣與思維品質(zhì). 2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題，基于研究函數(shù)的基本策略與路徑，設計新穎問題，考查學生在新的問題情境中，能否合理運用已有的函數(shù)學習經(jīng)驗和思考路徑解決新問題，注重對活動經(jīng)驗的考查，關注學生的函數(shù)學習力.

例11 （江蘇·揚州卷）小明同學利用計算機軟件繪制函數(shù)[y=ax（x+b）2 a，b為常數(shù)]的圖象如圖9所示，由學習函數(shù)的經(jīng)驗，可以推斷常數(shù)a，b的值滿足（ ? ?）.

（A）[a>0，b>0] （B）[a>0，b<0]

（C）[a<0，b>0] （D）[a<0，b<0]

例12 （北京卷）小云在學習過程中遇到一個函數(shù)[y=16xx2-x+1 x≥-2.]

下面是小云對其探究的過程，試補充完整.

（1）當[-2≤x<0]時，

對于函數(shù)[y1=x，] 即[y1=-x，] 當[-2≤x<0]，[y1]隨x的增大而________，且[y1>0];

對于函數(shù)[y2=x2-x+1]，當[-2≤x<0]時，[y2]隨x的增大而________，且[y2>0];

結合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)y，當[-2≤x<0]時，y隨x的增大而________.

（2）當[x≥0]時，對于函數(shù)y，當[x≥0]時，y與x的幾組對應值如表2所示.

[x 0 [12] 1 [32] 2 [52] 3 … y 0 [116] [16] [716] 1 [9548] [72] … ][表2]

結合上表，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當[x≥0]時，y隨x的增大而增大. 在如圖10所示的平面直角坐標系xOy中，畫出當[x≥0]時函數(shù)y的圖象.

（3）過點[0，m m>0]作平行于x軸的直線l，結合（1）（2）的分析，解決問題：若直線l與函數(shù)[y=][16xx2-x+1 x≥-2]的圖象有兩個交點，則m的最大值是________.

【評析】例11給出一個新函數(shù)[y=ax（x+b）2]（[a，b]為常數(shù)）的圖象，判斷a，b的符號，主要考查系數(shù)對函數(shù)圖象的影響，注重數(shù)與形的對應分析. 因為[x+b2>0]，由圖象可知，當[x<0]時，[y>0]，所以[a<0]. 又因為[x≠-b]，由圖象可知，圖象分界線在x軸負半軸，所以[-b<0]，即[b>0]. 例12通過讓學生經(jīng)歷一個新函數(shù)性質(zhì)和圖象的探究過程并對其加以應用，將函數(shù)圖象、性質(zhì)的研究方法及路徑巧妙地融合于對新函數(shù)的研究之中.

三、命題建議

中考數(shù)學試卷中函數(shù)試題的命制，既要嚴格遵循《標準》的內(nèi)容要求，又要考量學生進一步的數(shù)學學習與發(fā)展. 因此，一要聚焦函數(shù)核心知識，堅持主干知識覆蓋考、重點知識重點考，嚴格落實基礎知識和基本技能;二要注重對思想方法的考查，關注函數(shù)的本質(zhì)屬性，圍繞運動變化及變量之間的對應關系等，在試題中加強對函數(shù)思想方法的滲透，凸顯函數(shù)模型價值;三要不在形式化“應用”等方面糾纏，多讓學生用函數(shù)觀點解釋、分析和解決具體問題，不能為了“綜合”而強行“揉捏”，即便植入了外部知識，亦要突出函數(shù)的本質(zhì)屬性;四要結合學生未來的學習之需，在現(xiàn)有的函數(shù)屬性和學習經(jīng)驗中“做文章”，編制新穎試題，重視對基本活動經(jīng)驗的考查，關注學生的學習過程和創(chuàng)新能力.

四、模擬題欣賞

為了便于交流與學習，筆者為大家提供了幾道函數(shù)相關的模擬試題，僅供參考與賞析，也歡迎大家批評指正.

1. 如圖11，在正方形ABCD中，AC，BD相交于點O，E是OD的中點. 動點P從點E出發(fā)，沿著E→O→B→A的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點A，在此過程中線段AP的長度y隨著運時間x的函數(shù)關系如圖12所示，則AB的長為（ ? ?）.

（A）4 （B）[42] （C）[33] （D）[22]

參考答案：B.

2. 已知二次函數(shù)[y=x2+bx+c]（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸的交點坐標是[x1，0]和[x2，0]，且[m<][x1<x2<m+1，] 當[x=m]時，[y=p]，當[x=m+1]時，[y=q]，則（ ? ?）.

（A）p，q至少有一個小于[14]

（B）p，q都小于[14]

（C）p，q至少有一個大于[14]

（D）p，q都大于[14]

參考答案：A.

3. 如圖13，正方形[ABCD]的邊長為4，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動點，且[AE⊥EF]，則AF的最小值為________.

參考答案：5.

4. 如圖14，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的對角線AC的中點與坐標原點重合，點E是x軸上一點，連接AE. 若AD平分[∠OAE，] 反比例函數(shù)[y=kx k>0，x>0]的圖象經(jīng)過AE上的兩點A，F(xiàn)，且[AF=EF，] [△ABE]的面積為18，則k的值為________.

參考答案：12.

5. 已知，點M為二次函數(shù)[y=-x-b2+4b+1]圖象的頂點，直線[y=mx+5]分別交x軸正半軸、y軸于點A，B.

（1）判斷頂點M是否在直線[y=4x+1]上，并說明理由;

（2）如圖15，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點A，B，且[mx+5>-x-b2+4b+1]，根據(jù)圖象，寫出x的取值范圍;

（3）如圖16，點A坐標為A[5，0]，點M在[△AOB]內(nèi)，若點[C14，y1，D34，y2]都在二次函數(shù)圖象上，試比較[y1]與[y2]的大小.

參考答案：（1）點M在直線[y=4x+1]上.

（2）x的取值范圍是[x<0]或[x>5].

（3）① 當[0<b<12]時，[y1>y2];

② 當[b=12]時，[y1=y2];

③ 當[12<b<45]時，[y1<y2].

6. 在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分（建立如圖17所示的直角坐標系），拋物線頂點為點B.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式.

（2）當球運動到點C時被東東搶到，[CD⊥Ox]于點D，[CD=2.6 m.]

① 求OD的長.

② 東東搶到球后，因遭對方防守無法投籃，他在點D處垂直起跳傳球，想將球沿直線快速傳給隊友華華，目標為華華的接球點[E4，1.3.] 東東起跳后所持球離地面高度[h1 m]（傳球前）與東東起跳后時間t（s）滿足函數(shù)關系式[h1=-2t-0.52+2.7 0≤t≤1;] 小戴在點[F1.5，0]處攔截，他比東東晚0.3 s垂直起跳，其攔截高度[h2 m]與東東起跳后時間t（s）的函數(shù)關系如圖18所示（其中兩條拋物線的形狀相同）. 東東的直線傳球能否越過小戴的攔截傳到點E？若能，東東應在起跳后什么時間范圍內(nèi)傳球？若不能，試說明理由.（直線傳球過程中球運動時間忽略不計.）

參考答案：（1）[y=-2x-0.42+3.32;]

（2）①[OD=1 m;] ②[110<t<23-28510.]

參考文獻：

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