王曄 李曉宇

摘? 要：針對(duì)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的試題，根據(jù)2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中的典型試題，總結(jié)出四個(gè)方面的特點(diǎn)，即注重學(xué)科基礎(chǔ)、注重?cái)?shù)學(xué)閱讀、注重應(yīng)用價(jià)值、注重知識(shí)整合，并逐一分析說(shuō)明. 通過(guò)對(duì)解題方法進(jìn)行總結(jié)，得到的解題經(jīng)驗(yàn)是發(fā)掘基本模型、類(lèi)比解題方法、尋找核心本質(zhì).

關(guān)鍵詞：綜合與實(shí)踐;解法分析;基本模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，“綜合與實(shí)踐”是一類(lèi)以問(wèn)題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng). 在設(shè)計(jì)“綜合與實(shí)踐”試題時(shí)，一般是從“問(wèn)題”入手，搭建活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累和思想方法感悟的平臺(tái)，注重對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的考查. 近年來(lái)，中考“綜合與實(shí)踐”試題的呈現(xiàn)形式逐漸趨于穩(wěn)定，并在穩(wěn)定中不斷地創(chuàng)新.

一、試題分析

從2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的試題一般由問(wèn)題提出、問(wèn)題分析、問(wèn)題解決和應(yīng)用拓展等部分構(gòu)成. 試題注重學(xué)科基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)閱讀、應(yīng)用價(jià)值和知識(shí)整合，從不同角度綜合考查學(xué)生的“四基”“四能”.

1. 注重學(xué)科基礎(chǔ)

例1 （黑龍江·齊齊哈爾卷）綜合與實(shí)踐.

在線(xiàn)上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能. 例如，教材八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣. 在經(jīng)歷圖形變換的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：

對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平;再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖1（1）.

（1）折痕BM ? ? ? （填“是”或“不是”）線(xiàn)段AN的垂直平分線(xiàn);試判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答： ? ? ? ;進(jìn)一步計(jì)算出∠MNE的度數(shù)為 ? ? ? ? .

（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖1（2），則∠GBN 的度數(shù)為 ? ? ?.

拓展延伸：

（3）如圖1（3），折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處，并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA′交ST于點(diǎn)O，連接AT.

求證：四邊形SATA′是菱形.

解決問(wèn)題：

（4）如圖1（4），矩形紙片ABCD中，AB = 10，AD = 26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平. 同學(xué)們小組討論后，得出線(xiàn)段AT的長(zhǎng)度有4，5，7，9.

試寫(xiě)出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值 ? ? .

解析：（1）如圖1（1），把兩次對(duì)折、展開(kāi)矩形紙片的問(wèn)題情境抽象成軸對(duì)稱(chēng)模型，借軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得△ABN是等邊三角形. 進(jìn)而由∠ENB = 30°，得∠MNE = 60°.

（2）如圖1（2），由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等，得∠ABG =∠HBG = 45°. 又由等邊三角形ABN的內(nèi)角為60°，進(jìn)而得∠GBN = 15°.

（3）如圖1（3），由折疊所得對(duì)應(yīng)邊相等，矩形的對(duì)邊平行得內(nèi)錯(cuò)角相等，得△ASO ≌ △A′TO（AAS）. 根據(jù)對(duì)邊平行且相等，得四邊形SATA′是平行四邊形. 由折疊所得鄰邊相等，得四邊形SATA′是菱形.

（4）如圖1（4），已知AB的長(zhǎng)求AT，需借BT來(lái)求，由于AT = A′T，且Rt△A′TB的斜邊長(zhǎng)大于直角邊，得AT > 5，且點(diǎn)T可以與點(diǎn)B重合. 所以5 < AT ≤ 10. 所以正確的數(shù)值有7，9.

【評(píng)析】此題以矩形頂點(diǎn)A折疊后的位置變化這一動(dòng)態(tài)過(guò)程為線(xiàn)索，與教材的基礎(chǔ)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，形成完整的探究鏈條，不僅能考查學(xué)生軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、菱形的判定、斜邊大于直角邊等基礎(chǔ)知識(shí)，而且對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力也有考查. 2020年全國(guó)各地區(qū)中考“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的試題難度穩(wěn)定，沒(méi)有偏題、怪題. 因此在備考過(guò)程中要充分關(guān)注基礎(chǔ)，為實(shí)現(xiàn)從知識(shí)立意向能力立意過(guò)渡做準(zhǔn)備. 類(lèi)似的試題還有貴州黔西南州卷第22題.

2. 注重?cái)?shù)學(xué)閱讀

例2 （山東·青島卷）實(shí)際問(wèn)題：

某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？

問(wèn)題建模：

從1，2，3，…，n（n為整數(shù)，且n ≥ 3）這n個(gè)整數(shù)中任取a（1 < a < n）個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

模型探究：

我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問(wèn)題的方法.

探究一：

（1）從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

如表1，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果.

（2）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

如表2，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果.

（3）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? 種不同的結(jié)果.

（4）從1，2，3，…，n（n為整數(shù)，且n ≥ 3）這n個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? 種不同的結(jié)果.

探究二：

（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? 種不同的結(jié)果.

（2）從1，2，3，…，n（n為整數(shù)，且n ≥ 4）這n個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? 種不同的結(jié)果.

探究三：

從1，2，3，…，n（n為整數(shù)，且n ≥ 5）這n個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? 種不同的結(jié)果.

歸納結(jié)論：

從1，2，3，…，n（n為整數(shù)，且n ≥ 3）這n個(gè)整數(shù)中任取a（1 < a < n）個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? ?種不同的結(jié)果.

問(wèn)題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有 ? ? 種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：

（1）從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫(xiě)出解答過(guò)程）

（2）從3，4，5，…，n + 3（n為整數(shù)，且n ≥ 2）這[n+1]個(gè)整數(shù)中任取a（1 < a < n + 1）個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有 ? ? 種不同的結(jié)果.

答案：探究一：（3）7;（4）2n - 3（n ≥ 3，n為整數(shù)）.

探究二：（1）4;（2）3n - 8（n為整數(shù)，且n ≥ 4）.

探究三： 4n - 15.

歸納總結(jié)：[an-a+1]（n為整數(shù)，且n ≥ 3，1 < a < n）.

問(wèn)題解決：476.

拓展延伸：（1）7種或29種;（2） [an+1-a2+1].

【評(píng)析】此題以“抽獎(jiǎng)優(yōu)惠”為實(shí)際背景呈現(xiàn)，試題閱讀量大、信息多，但題干中給出了問(wèn)題的求解思路，需要學(xué)生仔細(xì)閱讀，提取有用信息，簡(jiǎn)單遷移知識(shí)，從而解決問(wèn)題. 此題考查學(xué)生的閱讀分析、獲取信息、抽象模型、遷移運(yùn)用等能力，同時(shí)考查在閱讀求解中積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn). 這類(lèi)試題能夠初步考查學(xué)生面對(duì)社會(huì)未知問(wèn)題的處理能力，為學(xué)生終身發(fā)展服務(wù)，在2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中多次出現(xiàn)，如北京卷第28題用新定義考查學(xué)生的閱讀能力. 今后備考中，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)材料時(shí)要注意摸索閱讀要領(lǐng)，提高學(xué)生的閱讀能力.

3. 注重應(yīng)用價(jià)值

例3 （寧夏卷）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，活動(dòng)小組的同學(xué)看到網(wǎng)上購(gòu)鞋的鞋號(hào)（為正整數(shù)）與腳長(zhǎng)（毫米）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表3所示.

為了方便對(duì)問(wèn)題的研究，活動(dòng)小組將表3中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了編號(hào)，并對(duì)腳長(zhǎng)的數(shù)據(jù)bn定義為[bn]，如表4所示.

定義：對(duì)于任意正整數(shù)m，n，其中m > 2.若[bn]= m，則m - 2 ≤ bn ≤ m + 2.

如：[b4]= 175表示175 - 2 ≤ b4 ≤ 175 + 2，即173 ≤ b4 ≤ 177.

（1）通過(guò)觀察表4，猜想an與序號(hào)n之間的關(guān)系式，[bn]與序號(hào)n之間的關(guān)系式;

（2）用含an的代數(shù)式表示[bn];計(jì)算鞋號(hào)為42的鞋適合的腳長(zhǎng)范圍;

（3）若腳長(zhǎng)為271毫米，那么應(yīng)購(gòu)鞋的鞋號(hào)為多大？

解析：（1）在表4中，由前兩行得an = n + 21. 由一、四行，得[bn]= 160 + 5[n-1]= 5n + 155.

（2）n是聯(lián)系an和[bn]的紐帶，由第（1）小題求得的兩式消去字母n，得[bn]= 5an + 50.

已知鞋號(hào)an，求腳長(zhǎng)范圍bn，從問(wèn)題入手. 由表4得 [bn]- 2 ≤ bn ≤ [bn] + 2，

又由[bn]= 5an + 50，則5an + 50 - 2 ≤ bn ≤ 5an + 50 + 2. 將an = 42代入，此時(shí)258 ≤ bn ≤ 262.

（3）已知腳長(zhǎng)bn，求鞋號(hào)an，由第（2）小題進(jìn)行逆向思維. 根據(jù)5an + 50 - 2 ≤ bn ≤ 5an + 50 + 2，得5an + 50 - 2 ≤ 271 ≤ 5an + 50 + 2，得an = 44.

在后兩問(wèn)的解答中，可以不求n的值，這與生活中實(shí)際腳長(zhǎng)與鞋號(hào)有關(guān)、與序號(hào)n無(wú)關(guān)完全吻合. 因此，第（1）小題的解答為消去字母n奠定了基礎(chǔ)，第（2）小題的求解從消去字母n開(kāi)始.

【評(píng)析】此題以腳長(zhǎng)與鞋號(hào)之間的關(guān)系為線(xiàn)索，考查學(xué)生合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，綜合利用所學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 綜合與實(shí)踐是聯(lián)系數(shù)學(xué)和外部世界的紐帶，是數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的重要表現(xiàn)，反映了社會(huì)的需要. 在2020年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試卷中，類(lèi)似試題還有湖南湘西州卷第25題等. 這就要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多思考生活中遇到的問(wèn)題是否能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決，以及怎么解決.

4. 注重知識(shí)整合

例4 （山東·德州卷）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是[A0，-2，] 在x軸上任取一點(diǎn)M，連接AM，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)M為圓心，大于[12]AM的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)，作直線(xiàn)GH，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)l交直線(xiàn)GH于點(diǎn)P.根據(jù)以上操作，完成下列問(wèn)題.

探究：

（1）線(xiàn)段PA與PM的數(shù)量關(guān)系為 ? ? ? ，其理由為 ? ? ? ? ? .

（2）在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并完成下列表5.

[M的坐標(biāo) … （-2，0） （0，0） （2，0） （4，0） … P的坐標(biāo) … （0，-1） （2，-2） … ][? ? 表5]

猜想：

（3）試根據(jù)上述表格中點(diǎn)P的坐標(biāo)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線(xiàn)在圖3中連接起來(lái);觀察畫(huà)出的曲線(xiàn)l，猜想曲線(xiàn)l的形狀是 ? ? .

[-4][-3][-2][-1][1][O][2][3][4][x][-4][-3][-2][-1][1][2][A][y] [-5][圖3]

驗(yàn)證：

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是[Px，y]，根據(jù)圖2中線(xiàn)段PA與PM的關(guān)系，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

應(yīng)用：

（5）如圖4，點(diǎn)[B-1， 3]，[C1， 3]，點(diǎn)D為曲線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，且∠BDC < 30°，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)[yD]的取值范圍.

[-4][-3][-2][-1][1][O][2][3][4][x][-4][-3][-2][-1][1][2][A][y] [-5][圖4] [B][C]

解析：（1）PA = PM. 理由：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

（2）方法1：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M-2，0]時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為[P-2，a，] 借助第（1）小題的結(jié)論，因?yàn)镻A = PM，所以[-a=-2-02+a+22.] 解得a = -2，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為[P-2，-2].

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M4，0]時(shí)，同理可得點(diǎn)[P4，-5].

方法2：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M-2，0]時(shí)，由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為[A0，-2]，根據(jù)條件恰使四邊形OAPM為正方形，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為[P-2，-2].

如圖5，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M4，0]時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為[P4，-a.] 根據(jù)已知條件得[△FAN≌△PMN.] 得OF = FA - 2 = MP - 2 = a - 2. 由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得FM = FA = MP = a. 又知OM = 4，在△OFM中，由勾股定理，得a = 5，從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)為[P4，-5].

（3）如圖6，根據(jù)圖象，猜想曲線(xiàn)l的形狀為拋物線(xiàn).

（4）方法1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是[Px，y]，因?yàn)镻A = PM，所以[-y=x-02+y+22]. 化簡(jiǎn)，得y =[-14x2-1].

方法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是[Px，y]，參照?qǐng)D5，根據(jù)已知條件，始終有[△FAN≌△MNP，] 且FP為線(xiàn)段AM的垂直平分線(xiàn)，故MF = -y，F(xiàn)O = x - 2，OM = x. 在Rt△FOM中，由勾股定理，得[y=-14x2-1].

（5）因?yàn)辄c(diǎn)[B-1， 3]，[C1， 3]，所以△BOC是等邊三角形. 所以∠BOC = 60°. 如圖7，以點(diǎn)O為圓心、OB長(zhǎng)為半徑作圓，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BE，CE，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E下方時(shí)，∠BDC < 30°. 設(shè)點(diǎn)[Em，n，] 利用點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上，且OE = OB = 2，聯(lián)立方程組解出n的值，即可求出[yD]的取值范圍.

此題將四邊形、圓、函數(shù)圖象的畫(huà)法、近似解、二元一次方程組的解法等基礎(chǔ)知識(shí)整合在一起. 事實(shí)上，第（2）小題不需要推理，可以從尺規(guī)作圖的結(jié)果中直接讀出，再次明確觀察、度量甚至猜想不失為解決問(wèn)題的有效手段之一. 第（2）小題中對(duì)特殊問(wèn)題的解題思路有助于第（4）小題對(duì)一般問(wèn)題的解答. 對(duì)于第（5）小題，如果能考慮附加條件數(shù)值的特殊性，也就不難判斷△BOC為等邊三角形，自然會(huì)將60°與30°角相聯(lián)系，找到解題的突破口.

【評(píng)析】此題以尺規(guī)作圖為背景，具有一定的綜合性. 由易到難、漸次遞進(jìn)地呈現(xiàn)問(wèn)題，將函數(shù)、方程、幾何圖形知識(shí)整合在一起，考查學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的儲(chǔ)備情況和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，凸顯以能力立意的意圖. 此題是應(yīng)對(duì)中考試題數(shù)量有限而考點(diǎn)繁多，既體現(xiàn)檢測(cè)功能又體現(xiàn)選拔功能且梯度設(shè)置合理的典型范例. 類(lèi)似試題還有河南卷第22題等. 中考備考中，教師要引導(dǎo)學(xué)生盡量嘗試一題多解，實(shí)現(xiàn)思維整合，以應(yīng)對(duì)知識(shí)整合.

二、解法分析

對(duì)于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的試題，解題的關(guān)鍵要把握以下三點(diǎn)：一是發(fā)掘基本模型，在復(fù)雜的圖形中辨識(shí)，在殘缺的圖形中補(bǔ)全，用已有的模型經(jīng)驗(yàn)求解;二是類(lèi)比解題方法，關(guān)注漸次遞進(jìn)問(wèn)題的基本解題思路，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的類(lèi)比遷移求解;三是尋找核心本質(zhì)，抓住問(wèn)題產(chǎn)生過(guò)程中的不變本質(zhì)及特殊條件下解題的思路，比較對(duì)照求解.

1. 發(fā)掘基本模型

例5 （山東·德州卷）問(wèn)題探究：

小紅遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖8（1），△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD是中線(xiàn)，求AD的取值范圍. 她的做法是：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE = AD，連接BE，證明△BED ≌ △CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決.

試回答：（1）小紅證明△BED ≌ △CAD的判定定理是 ? ? ? .

（2）AD的取值范圍是 ? ? .

方法運(yùn)用：

（3）如圖8（2），AD是△ABC的中線(xiàn)，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，使AE = EF，求證：BF = AC.

（4）如圖8（3），在矩形ABCD中，[ABBC=12]，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且[EFBE=12]，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG = CG.

解析：（1）“SAS”定理.

（2）此題中，求線(xiàn)段的取值范圍可以用構(gòu)成三角形的三邊條件進(jìn)行求解. 在△ABE中，有AB - BE < AE < AB + BE. 又因?yàn)锽E = AC，所以2 < 2AD < 10. 所以1 < AD < 5.

（3）如圖9，延長(zhǎng)中線(xiàn)AD至點(diǎn)H，使AD = DH，連接BH，可得△ADC ≌ △HDB（SAS）. 故AC = BH，∠CAF = ∠H. 再根據(jù)AE = EF，得∠AFE = ∠CAF. 由對(duì)頂角相等，得∠AFE = ∠BFH. 所以∠H = ∠BFH. 所以BF = BH. 所以AC = BF.

（4）如圖10，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)N，使NG = CG，連接NF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，可得△NGF ≌ △CGD（SAS）.則∠N = ∠NCD，得MN∥CD. 所以△MNC是直角三角形. 因此，在△MNC中，MG = NG = CG. 另外，由[ABBC=12]，[EFBE=12]，得∠EBF = ∠CBD. 易得EF = FM，∠EFG = ∠MFG. 故△GFE ≌ △GFM. 所以MG = EG. 所以EG = CG.

【評(píng)析】通性、通法反映的是數(shù)學(xué)基本思想，這里的基本模型為倍長(zhǎng)中線(xiàn)得到三角形全等. 特別是有了題干中小紅的做法和對(duì)問(wèn)題探究的解答，產(chǎn)生“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”模型后，第二部分的標(biāo)題“方法運(yùn)用”“所以AD是中線(xiàn)”“點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)”都提示了充分利用這一模型求解. 當(dāng)然，這是建立在學(xué)生熟悉基本模型的前提之下，更是建立在平時(shí)學(xué)習(xí)中對(duì)圖形的不斷總結(jié)、深入思考的基礎(chǔ)之上. 2020年中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的基本模型還有很多，如黑龍江七臺(tái)河卷第26題“一線(xiàn)三等角”模型、廣東深圳卷第22題“手拉手”模型等. 對(duì)此，在復(fù)習(xí)中，教師引導(dǎo)學(xué)生注意積累常用數(shù)學(xué)模型、總結(jié)解題方法、形成解題經(jīng)驗(yàn).

2. 類(lèi)比解題方法

例6 （青海卷）在△ABC中，AB = AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.

特例感知：

（1）將一等腰直角三角尺按如圖11（1）所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B. 通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF = CG.試給予證明.

猜想論證：

（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到如圖11（2）所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為點(diǎn)E.此時(shí)試通過(guò)觀察、測(cè)量DE，DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出DE，DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

聯(lián)系拓展：

（3）當(dāng)三角尺在圖11（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到如圖11（3）所示的位置（點(diǎn)F在線(xiàn)段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，試判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）

解析：（1）由已知可得∠F = ∠G = 90°，AB = AC，且∠FAB = ∠GAC，則△ABF ≌ △ACG. 所以FB = CG.

（2）如圖12，過(guò)點(diǎn)B作BP∥DF，交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FN∥DB交BP于點(diǎn)N，這樣既可還原圖11（1）實(shí)現(xiàn)思路的類(lèi)比遷移，又可得到四邊形FNBD是平行四邊形. 從而證得△NFP ≌ △DBE（AAS）. 故證得CG = DE + DF.

（3）如圖13，過(guò)點(diǎn)B作BP∥DF，交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FN∥DB交BP于點(diǎn)N，證法與第（2）小題思路完全一致，類(lèi)比即得，故不需要證明.

【評(píng)析】此題中圖形變化的過(guò)程其實(shí)質(zhì)不變，解題思路必然關(guān)聯(lián)，所以第（1）小題中得到的全等三角形很可能在后續(xù)問(wèn)題中被使用. 類(lèi)比圖11（1）補(bǔ)出初始圖形后思路水到渠成，第（3）小題與第（2）小題的證明更是如此，問(wèn)題的解決策略沒(méi)有發(fā)生變化. 這就要求學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中深入思考，交換條件和結(jié)論、移動(dòng)圖形位置等變化，看結(jié)果如何，從而達(dá)到事半功倍之效.

3. 尋找核心本質(zhì)

例7 （黑龍江·佳木斯卷）如圖14，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上，DC = EC，連接DE，AE，BD，點(diǎn)M，N，P分別是AE，BD，AB的中點(diǎn)，連接PM，PN，MN.

（1）BE與MN的數(shù)量關(guān)系是 ? ? .

（2）將△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖14（2）和圖14（3）的位置，判斷BE與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并利用圖14（2）或圖14（3）進(jìn)行證明.

解析：（1）如圖14（1），由已知可得AD = BE，且AD⊥BE，故可得△PMN為等腰直角三角形，且[PM=][22MN.] 又由M，N，P分別是AE，BD，AB的中點(diǎn)，可知所求的BE與MN的關(guān)系即為2PM與MN的關(guān)系，即[BE=2MN].

（2）找BE與MN的關(guān)系即找PM與MN的關(guān)系，則仍需要證明△PMN為等腰直角三角形，即需證明AD，BE相等且垂直.

如圖15，連接AD，延長(zhǎng)BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F，H，由DC = EC，BC = AC，根據(jù)“手拉手”模型，可證得△BCE ≌ △ACD. 所以AD = BE. 在△AHF和△BCF中，又有∠AFH = ∠BFC，∠DAC = ∠CBE，所以∠AHF = ∠BCF = 90°，即AD⊥BE，從而使結(jié)論得證.

同理，如圖16，連接AD，交EB于點(diǎn)H，以下證明思路與圖14（2）相同，過(guò)程略.

【評(píng)析】此題中，要得到BE與MN的關(guān)系，就要抓住本質(zhì)來(lái)完成，即△PMN為等腰直角三角形，每道小題的說(shuō)理證明都是圍繞這一本質(zhì)展開(kāi)的. 因此，在解決問(wèn)題時(shí)，要將前后小題進(jìn)行比較對(duì)照，充分考慮在圖形變換過(guò)程中哪些本質(zhì)沒(méi)變，導(dǎo)致哪些結(jié)論沒(méi)變，對(duì)最終問(wèn)題解決有什么影響，進(jìn)而求解結(jié)論.

三、解法欣賞

若一道中考數(shù)學(xué)試題可以通過(guò)不同的角度、不同的思維途徑、采用多種方法探尋解法，那么其一定值得稱(chēng)道. 因?yàn)檫@種策略選擇的多樣性，提高了學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的技能，鍛煉了思維的靈活性和創(chuàng)新性. 而提升思維品質(zhì)、培養(yǎng)思維靈活性的訓(xùn)練是培養(yǎng)“四能”不可或缺的手段之一.

例8 （山西·太原卷）綜合與實(shí)踐.

問(wèn)題情境：

如圖17（1），點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB = 90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）.延長(zhǎng)AE交CE′于點(diǎn)F，連接DE.

猜想證明：

（1）試判斷四邊形BE′FE的形狀，并說(shuō)明理由;

（2）如圖17（2），若DA = DE，試猜想線(xiàn)段CF與FE′的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

解決問(wèn)題：

（3）如圖17（1），若AB = 15，CF = 3，試直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng).

解析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠AEB = ∠CE′B = 90°，BE = BE′，∠EBE′ = 90°. 故四邊形BE′FE是正方形.

（2）方法1：如圖18，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)，可得AH =[12]AE，DH⊥AE. 由“AAS”，可得△ADH ≌ △BAE. 可得AH = BE =[12]AE. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AE = CE′，可得結(jié)論CF = FE′. [B][E][C][D][F][E′][A

方法2：如圖19，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，連接DF，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)N，使AN = CF，連接DN，易得△DCF ≌ △DAN. 所以DN = DF，AN = EF. 所以AN = EF = CF = FE′.

方法3：如圖20，連接CE，因?yàn)锳D = DE，故∠DAE = ∠DEA. 同理，可得∠DEC = ∠DCE. 由四邊形DAEC的內(nèi)角和為360°，得∠AEC =[12×360°-90°]= 135°. 所以∠CEF = 45°. 故△ECF為等腰直角三角形，從而可得結(jié)論.

方法4：如圖20，連接CE，由四邊形DAFC的內(nèi)角和為360°，得∠DAF + ∠DCF = 180°. 又因?yàn)椤螪EA + ∠DEF = 180°，且∠DAE = ∠DEA，所以∠DEF = ∠DCF. 所以∠FCE = ∠FEC. 故△ECF為等腰直角三角形，從而可得結(jié)論.

方法5：如圖21，連接CE，延長(zhǎng)DC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EAB = ∠BCE′. 故∠DAE = ∠DEA = ∠NCE′. 所以∠DEF = ∠DCF. 所以∠FCE = ∠FEC. 故△ECF為等腰直角三角形，可得結(jié)論.

方法6：如圖22，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，連接CE，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CE于點(diǎn)N，由等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，可得∠HDN =[12]∠ADC = 45°. 而四邊形DHEN的內(nèi)角和為360°，所以∠AEC = 135°. 故可得△ECF為等腰直角三角形，可得結(jié)論.

（3）利用勾股定理，可求得BE′= 9，再利用勾股定理，可求出DE的長(zhǎng)為[317].

【評(píng)析】此題是一道關(guān)于四邊形的綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵. 第（2）小題中，對(duì)于圖形觀察和題干閱讀的側(cè)重點(diǎn)不同導(dǎo)致了解法的多樣化，但這些方法都來(lái)自復(fù)習(xí)過(guò)程中常見(jiàn)的解題策略，只是需要猜想CF = FE′，從問(wèn)題入手進(jìn)行思考.

總之，2020年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷中“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的試題發(fā)揮著基礎(chǔ)性、閱讀性、應(yīng)用性、整合性的特點(diǎn)，在考查經(jīng)驗(yàn)、思想、能力和方法上做文章，貫徹落實(shí)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念. 研究“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域內(nèi)容的試題有利于提高能力、提升素養(yǎng)、增長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)，這就要求教師在注重“四基”和“四能”教學(xué)的基礎(chǔ)上，落實(shí)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的教學(xué)要求，落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念和評(píng)價(jià)要求，更多地傳承數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，厚植數(shù)學(xué)情懷，以中考試題中“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容為載體，為數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來(lái)充滿(mǎn)生機(jī)和活力的新局面.

參考文獻(xiàn)：

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[3]全國(guó)中小學(xué)教師繼續(xù)教育網(wǎng)組編. 2011年版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（初中數(shù)學(xué)）[M]. 北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2012.