黃濤 湯曙光 何超林

摘? 要：對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中的“事件的概率”試題進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)分析，得到了關(guān)于考點(diǎn)、試題情境等統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，同時(shí)對(duì)試題進(jìn)行解法分析與思路總結(jié)，并以此對(duì)2021年的專題復(fù)習(xí)提出相關(guān)建議.

關(guān)鍵詞：事件的概率;數(shù)據(jù)分析;解題思路;解法賞析;復(fù)習(xí)建議

概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)課程中越來越受到重視，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)課程體系中的重要組成部分. 統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，概率的核心是隨機(jī)事件，其知識(shí)點(diǎn)覆蓋范圍較廣，大多數(shù)具有實(shí)用性的特點(diǎn)，與實(shí)際生活問題緊密結(jié)合，注重對(duì)基本概念和統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的實(shí)踐應(yīng)用，從而為科學(xué)決策提供依據(jù)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的生活判斷意識(shí)有非常大的作用.

“事件的概率”是中考的必考內(nèi)容之一，與“數(shù)與代數(shù)”“圖形和幾何”相比，概率的內(nèi)容在中考中所占分值不多，考查難度相對(duì)較低.

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，“事件的概率”的課程內(nèi)容為：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率;（2）知道通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來估計(jì)概率. 從最新的考評(píng)趨勢(shì)來看，試題側(cè)重考查學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，主要從基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用能力及推理能力，試題的命制也越來越靈活和綜合，在試題情境設(shè)置方面?zhèn)戎貢r(shí)事情境與游戲（比賽）情境，在考點(diǎn)方面?zhèn)戎赜卯嫎錉顖D法或列表法分析、計(jì)算事件的概率，用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用，以及概率公式的理解與應(yīng)用等.

一、基本情況分析

基于《標(biāo)準(zhǔn)》，本文選取了2020年全國(guó)各地區(qū)43份中考試卷中的46道“事件的概率”試題為研究對(duì)象，采用比較分析法和定量分析法，從知識(shí)點(diǎn)與題型、情境設(shè)置及其主要解法三個(gè)視角對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)中考中的“事件的概率”試題進(jìn)行多角度分析，以揭示試題的分布規(guī)律和特點(diǎn).

1. 知識(shí)點(diǎn)與題型分析

43份試卷的相關(guān)基本情況如表1所示. 其中，若該試題包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，則在不同的知識(shí)點(diǎn)間進(jìn)行重復(fù)計(jì)算.

從表1中可以得到以下的結(jié)果.

從試題類型上看，考查的題型主要為解答題，所占比例接近一半，填空題次之. 在所統(tǒng)計(jì)的試卷當(dāng)中，廣東深圳卷、廣西南寧卷、湖南岳陽(yáng)卷中“事件的概率”相關(guān)內(nèi)容出現(xiàn)了兩次考查，其他皆為每份試卷考查1道試題，說明各份試卷對(duì)于“事件的概率”的考查為必考，但所占比例不大.

從考查的知識(shí)點(diǎn)類型來看，大部分試題注重利用列表法或畫樹狀圖法列出所有事件的可能性，以及求對(duì)應(yīng)特定事件的概率，占到了48%，次之為概率計(jì)算公式（22%），符合《標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容要求，同時(shí)有14%的試題考查了概率公式的應(yīng)用. 在幾何概型、游戲的公平性、概率的意義方面，都只有1道試題對(duì)其進(jìn)行考查.

從考查的難度來看，所有試題的平均難度為0.60，其中占據(jù)主要地位的列表法或畫樹狀圖法求概率的難度為0.62，略低于平均難度. 另外，考查難度最高的為游戲的公平性，次之為隨機(jī)事件的理解及其應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)事件的概率背后的實(shí)際意義缺乏認(rèn)知和理解.

2. 情境設(shè)置、主要解法情況分析

本部分內(nèi)容從情境設(shè)置及主要解法角度進(jìn)行分析. 其中，情境分為時(shí)事情境（國(guó)家政策、國(guó)家大事等）、游戲（比賽）情境、知識(shí)點(diǎn)情境（教材知識(shí)點(diǎn)）、普通生活情境（旅游景點(diǎn)選擇、工作安排等）四大類，具體情況如表2和表3所示.

由表2和表3可以得到以下的結(jié)果.

從情境的設(shè)置方面來看，主要集中在游戲（比賽）情境及時(shí)事情境，占到全部試題的69%，知識(shí)點(diǎn)情境設(shè)置最少.

從主要解法來看，各地區(qū)將列表法或畫樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率作為主要解法考查，但多數(shù)地區(qū)將常規(guī)的列舉法作為第一選擇.

二、典型試題分析

2020年全國(guó)各地區(qū)中考對(duì)“事件的概率”的考查總體上延續(xù)了近幾年的命題特點(diǎn)，即體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和綜合性，注重對(duì)隨機(jī)事件的理解的考查，重視對(duì)概率意義的理解. 在試題的考查上，設(shè)置了不同的情境作為載體，與生活聯(lián)系緊密、情境新穎、立意創(chuàng)新是此類試題的亮點(diǎn).

例1 （江蘇·揚(yáng)州卷）防疫期間，全市所有學(xué)校都嚴(yán)格落實(shí)測(cè)體溫進(jìn)校園的防控要求. 某校開設(shè)了[A，][B，C]三個(gè)測(cè)溫通道，某天早晨，該校小明和小麗兩位同學(xué)將隨機(jī)通過測(cè)溫通道進(jìn)入校園.

（1）小明從[A]測(cè)溫通道通過的概率是 ? ? ?;

（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗從同一個(gè)測(cè)溫通道通過的概率.

例2 （河北卷）如圖1，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸-3和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)游戲. 每次移動(dòng)游戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng).

① 若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位;

② 若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位;

③ 若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位.

（1）經(jīng)過第一次移動(dòng)游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P;

（2）從圖1的位置開始，若完成了10次移動(dòng)游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對(duì)一錯(cuò). 設(shè)乙猜對(duì)n次，且他最終停留的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，試用含n的代數(shù)式表示m，并求該位置距離原點(diǎn)O最近時(shí)n的值;

（3）從圖1的位置開始，若進(jìn)行了k次移動(dòng)游戲后，甲與乙的位置相距2個(gè)單位，直接寫出k的值.

例1創(chuàng)設(shè)了防疫的時(shí)事情境，緊貼生活實(shí)際;例2創(chuàng)設(shè)了游戲情境，鏈接了數(shù)軸上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)，立意新穎.

1.“事件的概率”問題的求解思路分析

由于“事件的概率”試題具有典型的實(shí)際意義，與實(shí)際問題聯(lián)系緊密，可以通過創(chuàng)設(shè)不同的情境進(jìn)行事件概率計(jì)算的考查. 因此，“事件的概率”問題可以歸結(jié)為利用概率知識(shí)建立對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算模型，并進(jìn)行實(shí)際問題的解決過程，類比用方程進(jìn)行現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型的描述，事件的概率是用概率的計(jì)算方法對(duì)實(shí)際情境的一種數(shù)學(xué)描述與分析.

利用事件的概率解決實(shí)際情境問題，應(yīng)該認(rèn)真分析和理解具體的實(shí)際情境，關(guān)鍵是要找出與之對(duì)應(yīng)的概率模型. 目前在初中階段考查的概率模型大致可以分為單次試驗(yàn)古典概型、有放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?、無放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?、幾何概型四大類，由此將?shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率計(jì)算的數(shù)學(xué)問題，然后通過列舉法或列表法、畫樹狀圖法，以及幾何比例的方法進(jìn)行概率計(jì)算獲得結(jié)論，最后利用數(shù)學(xué)結(jié)論分析或回答實(shí)際問題，這是一個(gè)“實(shí)際問題—事件的概率（模型）問題—實(shí)際問題”的過程. 學(xué)生通過感受和體驗(yàn)轉(zhuǎn)化過程，不僅可以加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的運(yùn)用能力，而且可以進(jìn)一步提升對(duì)基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與理解，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析與解決問題的能力，進(jìn)而達(dá)到綜合素質(zhì)的提高.

根據(jù)以上的解題分析，我們可以建立利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題情境的思路，如圖2所示.

進(jìn)一步，我們可以通過以下的典型試題進(jìn)行以上思路的具體分析，以期更好地剖析“事件的概率”試題的求解過程.

（1）對(duì)“實(shí)際問題情境”的理解和分析.

前述例1為當(dāng)下的熱點(diǎn)時(shí)事情境，例2創(chuàng)設(shè)了動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)的游戲情境.

例3 （湖南·岳陽(yáng)卷）在-3，-2，1，2，3五個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)作為二次函數(shù)[y=ax2+4x-2]中[a]的值，則該二次函數(shù)圖象開口向上的概率是 ? ? .

例4 （云南卷）甲、乙兩個(gè)家庭來到以“生態(tài)資源，綠色旅游”為產(chǎn)業(yè)的美麗云南，各自隨機(jī)選擇到大理、麗江、西雙版納三個(gè)城市中的一個(gè)城市旅游. 假設(shè)這兩個(gè)家庭選擇到哪個(gè)城市旅游不受任何因素影響，上述三個(gè)城市中的每一個(gè)被選到的可能性相同，甲、乙兩個(gè)家庭選擇到上述三個(gè)城市中的同一個(gè)城市旅游的概率為P.

（1）直接寫出甲家庭選擇到大理旅游的概率;

（2）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求P的值.

例3以二次函數(shù)的開口方向作為考查載體，例4選擇了普通的生活情境作為試題載體. 則例1 ～ 例4的情境理解可以歸結(jié)如表4所示.

[題號(hào) 情境類型 情境理解 例1 時(shí)事情境 ? ? 兩位同學(xué)通過A，B，C三個(gè)不同的測(cè)溫通道所產(chǎn)生的隨機(jī)事件計(jì)算 例2 游戲情境 ? ? 甲、乙兩人根據(jù)兩種猜測(cè)結(jié)果按照游戲規(guī)則進(jìn)行四種不同方式移動(dòng)所產(chǎn)生的隨機(jī)事件計(jì)算 例3 知識(shí)點(diǎn)情境 ? ? 根據(jù)a的正負(fù)性從五個(gè)數(shù)中選取正數(shù)所產(chǎn)生的隨機(jī)事件計(jì)算 例4 普通生活情境 ? ? 甲、乙兩個(gè)家庭對(duì)三個(gè)旅游城市分別進(jìn)行選擇所產(chǎn)生的隨機(jī)事件計(jì)算 ][? ? 表4]

2020年全國(guó)各地區(qū)中考“事件的概率”試題以不同情境作為載體，聯(lián)系實(shí)際及其他知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行了不同知識(shí)點(diǎn)間的交會(huì)，豐富了考點(diǎn)，更加強(qiáng)調(diào)了知識(shí)間的聯(lián)系及綜合應(yīng)用.

對(duì)于試題情境設(shè)置的理解，需要仔細(xì)審讀試題，提取其中的情境信息，化繁為簡(jiǎn)，必要的時(shí)候需要聯(lián)系生活實(shí)際輔助理解.

（2）對(duì)實(shí)際問題情境進(jìn)行抽象概括，得到對(duì)應(yīng)的概率模型.

對(duì)實(shí)際問題情境進(jìn)行抽象概括，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的概率模型，不僅需要從題干的實(shí)際問題情境出發(fā)，而且需要充分考慮試題所設(shè)置的概率問題，兩者相結(jié)合才能更好地確定所對(duì)應(yīng)的概率模型.

例如，例2的游戲情境，從題干來看，“甲、乙兩人根據(jù)兩種猜測(cè)結(jié)果按照游戲規(guī)則進(jìn)行三種不同方式移動(dòng)所產(chǎn)生的隨機(jī)事件計(jì)算”中的甲、乙兩人所產(chǎn)生猜測(cè)結(jié)果應(yīng)該為單次試驗(yàn)古典概型（甲對(duì)乙對(duì)、甲對(duì)乙錯(cuò)、甲錯(cuò)乙對(duì)、甲錯(cuò)乙錯(cuò)），結(jié)合對(duì)應(yīng)的問題“經(jīng)過第一次移動(dòng)游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P”需要對(duì)甲、乙的猜測(cè)結(jié)果進(jìn)行考慮，進(jìn)一步可以確定屬于單次試驗(yàn)古典概型.

又如，下面的例5從題干分析甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)整體來看可以歸入到有放回重復(fù)試驗(yàn)類型，從問題“求甲選擇的2個(gè)景點(diǎn)是A，B的概率”，可以對(duì)景點(diǎn)進(jìn)行分步選擇，故可以確定為無放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以需要?duì)題干情境及問題共同進(jìn)行分析才能準(zhǔn)確得到對(duì)應(yīng)的概率模型. 因此，對(duì)情境的理解及對(duì)概率模型的確定是解決問題的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)及難點(diǎn)，同時(shí)也容易因?yàn)槲茨芙Y(jié)合問題進(jìn)行概率模型的確定而出錯(cuò)，故亦是此類題目的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

例5 （江蘇·南京卷）甲、乙兩人分別從[A，B，][C]這3個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇2個(gè)景點(diǎn)游覽.

（1）求甲選擇的2個(gè)景點(diǎn)是[A，B]的概率;

（2）甲、乙兩人選擇的2個(gè)景點(diǎn)恰好相同的概率是 ? ? .

根據(jù)以上分析，我們對(duì)例1 ～ 例4結(jié)合對(duì)應(yīng)的概率問題進(jìn)行概率模型的確定，如表5所示.

除了以上兩種概率模型，同時(shí)還有以下的幾何概型及不放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?

例6 （山西卷）圖3是一張矩形紙板，順次連接各邊中點(diǎn)得到菱形，再順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小矩形. 將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（? ? ）.

（A）[13]? ?（B）[14]? ?（C）[16]? ?（D）[18]

例7 （寧夏卷）有三張大小、形狀完全相同的卡片. 卡片上分別寫有數(shù)字4，5，6，從這三張卡片中隨機(jī)先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 ? ? ? .

概括抽象出試題情境的概率模型是建立在對(duì)情境的充分理解下的，并且需要結(jié)合具體的問題才能準(zhǔn)確完成，這是解決此類問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，需要學(xué)生對(duì)各種概率模型有充分的理解和判斷能力，這需要教師在平時(shí)加強(qiáng)對(duì)題干概率模型的識(shí)別訓(xùn)練.

（3）事件概率的計(jì)算.

對(duì)實(shí)際情境進(jìn)行概率模型的確定，對(duì)后續(xù)選用解決問題的方法具有很好地指引作用. 由于《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，很多概率問題都會(huì)在題干中進(jìn)行求解方法的設(shè)定，但在對(duì)應(yīng)的方法下，確定概率模型可以為具體的設(shè)定方法提供更有效、更清晰的幫助. 根據(jù)前文所確定的概率模型，可以選擇如表6所示的方法.

選擇了合適的事件的概率計(jì)算方法后，如何準(zhǔn)確描述出所有隨機(jī)事件成為了試題解決的另外一個(gè)關(guān)鍵，如何做到對(duì)所有隨機(jī)事件統(tǒng)計(jì)的“不重不漏”將是學(xué)生必須重點(diǎn)關(guān)注的問題.

例如，例4第（1）小題為古典概型，甲可以選擇的全部可能性為大理、麗江、西雙版納，則符合要求的只有大理，故概率為[13;] 又如，例5第（1）小題中甲從三個(gè)景點(diǎn)A，B，C中選擇兩個(gè)景點(diǎn)的全部隨機(jī)事件為AB，AC，BC，符合條件的只有AB，則概率為[13.] 以上兩個(gè)例子比較簡(jiǎn)單，通過簡(jiǎn)單的邏輯就能統(tǒng)計(jì)出所有的隨機(jī)事件.

利用列表法或畫樹狀圖法是課程要求當(dāng)中描述試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的重要方法，但在不同的概率模型中有不同的注意點(diǎn).

例如，例4當(dāng)中的有放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，記到大理、麗江、西雙版納三個(gè)城市旅游分別為A，B，C，如表7所示.

又如，求解例7時(shí)，使用列表法統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果如表8所示. 由于例7屬于不放回重復(fù)試驗(yàn)，故需要舍棄部分不符合要求的隨機(jī)事件，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，在確定了概率的模型的情況下，就比較容易知道需要去除不符合要求的隨機(jī)事件.

再如，下述例9第（4）小題可以確定為不放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停枰獙?duì)統(tǒng)計(jì)對(duì)象進(jìn)行區(qū)分，才能更好地對(duì)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果進(jìn)行描述，如可以將問題中的“2位男性，2位女性”記為“男1，男2，女1，女2”，進(jìn)而通過畫樹狀圖法進(jìn)行求解.

在確定了試題情境與問題求解的概率模型后，對(duì)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確描述是求解此類試題的另外一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn). 單次試驗(yàn)古典概型只需要對(duì)對(duì)象按照一定的規(guī)律進(jìn)行普通列舉就能做到不重不漏，幾何概型亦是如此，隨機(jī)事件的描述可以轉(zhuǎn)為對(duì)線段程度或幾何圖形的面積的幾何刻畫. 但對(duì)于不放回（重復(fù)）試驗(yàn)?zāi)Ｐ图胺呕刂貜?fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵M(jìn)行區(qū)分，關(guān)注是否需要去除不符合要求的部分隨機(jī)事件，對(duì)象有混淆的時(shí)候需要對(duì)對(duì)象進(jìn)行編號(hào)從而加以區(qū)分，這兩點(diǎn)都是對(duì)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確描述時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn).

（4）實(shí)際問題的解答.

對(duì)于大部分的“事件的概率”試題，只需要進(jìn)行概率的計(jì)算，但也有部分試題需要利用所計(jì)算的概率進(jìn)行對(duì)實(shí)際問題進(jìn)一步的判斷及決策，從而為實(shí)際問題的解決提供科學(xué)有效的決策建議.

例如，下述例8第（4）小題需要對(duì)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)的概率進(jìn)行計(jì)算，并以該概率對(duì)游戲的公平性做出判斷.

例8 （四川·德陽(yáng)卷）為了加強(qiáng)學(xué)生的垃圾分類意識(shí)，某校對(duì)學(xué)生進(jìn)行了一次系統(tǒng)全面的垃圾分類宣傳，為了解這次宣傳的效果，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試，測(cè)試結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí)：A. 優(yōu)秀;B. 良好;C. 及格;D. 不及格. 根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如表9所示的不完整的統(tǒng)計(jì)表.

試結(jié)合統(tǒng)計(jì)表，回答下列問題.

（1）（2）（3）略.

（4）為了進(jìn)一步在學(xué)生中普及垃圾分類知識(shí)，學(xué)校準(zhǔn)備再開展一次關(guān)于垃圾分類的知識(shí)競(jìng)賽，要求每班派一人參加. 某班要從在這次測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的小明和小亮中選一人參加. 班長(zhǎng)設(shè)計(jì)了如下游戲來確定人選，具體規(guī)則是：把四個(gè)完全相同的乒乓球分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個(gè)不透明的袋中充分搖勻，兩人同時(shí)從袋中各摸出一個(gè)球. 若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明參加，否則小亮參加. 試用樹狀圖或列表法說明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.

對(duì)于第（4）小題的實(shí)際問題的解答，關(guān)鍵在于對(duì)事件的概率的計(jì)算，概率計(jì)算的準(zhǔn)確與否直接決定了問題的解決. 此類問題的設(shè)置具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)實(shí)踐有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，這是此類試題的一個(gè)亮點(diǎn)，也充分體現(xiàn)了其實(shí)用性，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)基本概念和統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的實(shí)踐應(yīng)用能力，進(jìn)而積累為科學(xué)決策提供依據(jù)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.“事件的概率”典型試題解法賞析

上述部分已經(jīng)對(duì)“事件的概率”問題進(jìn)行了整體的求解思路分析，明確了解答該類問題的主要步驟，并且對(duì)其中的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了舉例說明. 下面將以兩道典型試題為例，對(duì)“事件的概率”問題進(jìn)行解答和評(píng)析.

例9 （甘肅·天水卷）為了解天水市民對(duì)全市創(chuàng)建全國(guó)文明城市工作的滿意程度，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在某個(gè)小區(qū)內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì). 將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖4和圖5所示.

試結(jié)合圖中的信息，解決下列問題.

（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為 ? ? ?;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“滿意”部分圓心角的度數(shù)為? ? ? ? ? ? ;

（4）該興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機(jī)選擇2位進(jìn)行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性. 試用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率.

考點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖，條形統(tǒng)計(jì)圖，列表法與畫樹狀圖法.

專題：概率及其應(yīng)用，運(yùn)算能力.

分析：（1）由非常滿意的有18人，占總?cè)藬?shù)的36%，即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù);

（2）用總?cè)藬?shù)減去其他滿意程度的人數(shù)，求出“滿意”的人數(shù)，從而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（3）用360°乘以滿意的人數(shù)所占的百分比即可得出答案;

（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇回訪市民為“一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）因?yàn)榉浅M意的有18人，占36%，

所以接受調(diào)查的人數(shù)為18 ÷ 36% = 50（人）.

（2）此次調(diào)查中結(jié)果為滿意的人數(shù)為50 - 4 - 8 - 18 = 20（人）.

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖6所示.

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“滿意”部分的圓心角為[360°×][2050=144°.]

（4）將2位男性記為男1，男2，2位女性記為女1，女2. 畫樹狀圖如圖7所示.

因?yàn)楣灿?2種等可能的結(jié)果，選擇回訪市民為“一男一女”的有8種情況，

所以選擇回訪的市民為“一男一女”的概率為[812=23.]

此題的前三道小題考查的是統(tǒng)計(jì)中的條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，不做過多的點(diǎn)評(píng). 結(jié)合我們之前確立的解決“事件的概率”問題的基本思路和步驟，重點(diǎn)來關(guān)注下第（4）小題的解答. 從以下三個(gè)方面進(jìn)行分析.

第1方面：“事件的概率”問題解決的基本思路.

首先，試題的背景情境是針對(duì)熱點(diǎn)問題創(chuàng)建全國(guó)文明城市的回訪調(diào)查，從“不滿意”的4位市民中（2男2女）隨機(jī)選擇2位進(jìn)行回訪，求2位回訪市民是“一男一女”的概率. 根據(jù)對(duì)問題情境的理解和分析，不難得出該問題為不放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ? 確定為不放回重復(fù)試驗(yàn)后，根據(jù)題干的要求，選用畫樹狀圖法分兩步將該試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果不重不漏地列出來，再找出符合“一男一女”事件的可能結(jié)果，最后利用概率公式即可求得答案.

第2方面：“問題的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).

對(duì)于“事件的概率”問題，一定要弄清是有放回的摸出或抽取還是無放回的摸出或抽取，強(qiáng)調(diào)“放回”試驗(yàn)中所選取的元素可以重復(fù)出現(xiàn)，而“不放回”試驗(yàn)中被選取的元素不可以重復(fù)出現(xiàn)，從而避免在列舉時(shí)出現(xiàn)遺漏或重復(fù). 此題的情境，關(guān)鍵是要確定其為不放回重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)而舍去一些不符合該試驗(yàn)的結(jié)果，準(zhǔn)確地列出該試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果. 因此，將概率模型當(dāng)成是有放回重復(fù)試驗(yàn)是此題的易錯(cuò)點(diǎn)之一，另外一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)在于用畫樹狀圖法列舉所有可能結(jié)果時(shí)，沒有對(duì)2位男性和2位女性進(jìn)行編號(hào)，從而出現(xiàn)混亂，不能準(zhǔn)確刻畫該試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果.

第3方面：“解題反思.

當(dāng)學(xué)生對(duì)“事件的概率”問題情境足夠熟悉時(shí)，更容易剔除試題背景中的干擾因素，明確其屬于哪種概率模型（放回或不放回），從而在列舉試驗(yàn)的所有可能結(jié)果時(shí)不會(huì)出現(xiàn)偏差. 故學(xué)生要多關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問題，增加對(duì)“生活中的數(shù)學(xué)”的理解和認(rèn)識(shí)，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

此題明確要求用畫樹狀圖的方法求概率，從《標(biāo)準(zhǔn)》的要求來看，學(xué)生必須掌握列表法和樹狀圖法. 該題若是用列表法，由于是不放回試驗(yàn)，故表格對(duì)角線的位置是沒有內(nèi)容的. 學(xué)生還要特別注意一點(diǎn)，列舉所有可能的結(jié)果并不是只有列表法或畫樹狀圖法兩種方法，還有直接列舉法. 例如，此題可以直接列舉所有可能結(jié)果：男1男2，男1女1，男1女2，男2女1，男2女2，女1女2，共有六種可能，而符合“一男一女”事件的有四種可能，然后用概率公式也可以求得答案. 直接列舉法在某些利用列表法或畫樹狀圖法不太好呈現(xiàn)所有可能的結(jié)果時(shí)非常有效. 但是由于這種方法用得較少，所以學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中要加強(qiáng)對(duì)一些基本方法的解法歸納和總結(jié).

例10 （內(nèi)蒙古·呼和浩特卷）公司以3元 / kg的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)10 000 kg柑橘，并希望出售這些柑橘能夠獲得12 000元利潤(rùn)，在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時(shí)，需要先進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計(jì)，再大約確定每千克柑橘的售價(jià)，表10是銷售部通過隨機(jī)取樣，得到的“柑橘損壞率”統(tǒng)計(jì)表的一部分，由此可估計(jì)柑橘完好的概率為 ? ? （精確到0.1）;從而可大約估計(jì)每千克柑橘的實(shí)際售價(jià)為 ? ? 時(shí)（精確到0.1），可獲得12 000元利潤(rùn).

考點(diǎn)：頻數(shù)（率）分布表;利用頻率估計(jì)概率.

專題：概率及其應(yīng)用;數(shù)據(jù)分析觀念.

分析：利用頻率估計(jì)概率得到隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定在0.1左右，由此估計(jì)柑橘完好率大約是0.9. 設(shè)每千克柑橘的銷售價(jià)為x元，然后根據(jù)“售價(jià) - 進(jìn)價(jià) = 利潤(rùn)”列方程解答.

解：從表格中可以看出，柑橘損壞的頻率在常數(shù)0.1左右擺動(dòng)，并且隨統(tǒng)計(jì)量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，所以柑橘完好的概率應(yīng)是1 - 0.1 = 0.9.

設(shè)每千克柑橘的銷售價(jià)為x元，則應(yīng)有10 000 ×0.9x - 3 × 10 000 = 12 000，

解得[x=143≈4.7.≈]

所以去掉損壞的柑橘后，水果公司為了獲得12 000元利潤(rùn)，完好柑橘每千克的售價(jià)應(yīng)為4.7元.

故答案為：0.9;4.7.

此題第（1）小題考查的是用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，要求學(xué)生理解隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化，頻率也在變化，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，頻率逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值左右，這一數(shù)值就是概率值. 第（2）小題考查的是概率與一元一次方程的實(shí)際問題的綜合應(yīng)用，對(duì)學(xué)生來說有一定的難度. 從以下兩個(gè)方面進(jìn)行分析.

第1方面：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn).

第（1）小題中，學(xué)生很容易出現(xiàn)審題不細(xì)致的錯(cuò)誤，以為是求柑橘的損壞率，故得出0.1的錯(cuò)解.

第（2）小題利用等量關(guān)系列一元一次方程的過程中，對(duì)等量關(guān)系“售價(jià) - 進(jìn)價(jià)（成本）= 利潤(rùn)”的理解不夠透徹，不能正確表示出每個(gè)數(shù)量，這是另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn). 解決問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地表示出售價(jià)與利潤(rùn)之間的等量關(guān)系.

第2方面：解題反思.

就問題情境來說，利潤(rùn)問題是學(xué)生比較熟悉的實(shí)際問題，“柑橘損壞率”的概念也比較貼合生活實(shí)際，學(xué)生容易接受. 用頻率估計(jì)概率的例子還有投擲硬幣試驗(yàn)等，這類試題都是經(jīng)過大量的重復(fù)試驗(yàn)后，頻率會(huì)穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，即為事件發(fā)生的概率. 教師在平時(shí)的教學(xué)過程中可以讓學(xué)生多做些有代表性的、易于操作的數(shù)學(xué)試驗(yàn)，在試驗(yàn)過程中感受概率與頻率的關(guān)系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)生要注重訓(xùn)練自身通過圖表獲取信息、分析數(shù)據(jù)的能力. 學(xué)生要認(rèn)真關(guān)注每個(gè)數(shù)據(jù)所代表的信息和實(shí)際意義，以及通過分析數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，得出一般結(jié)論和答案.

此題是把一元一次方程的實(shí)際問題（利潤(rùn)問題）和概率內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，需要學(xué)生在理解概率意義的同時(shí)，具備用方程解決問題的思想和數(shù)學(xué)建模的能力. 概率與其他領(lǐng)域知識(shí)的綜合已然成為一種考評(píng)趨勢(shì). 例如，概率與統(tǒng)計(jì)的綜合、概率與代數(shù)的綜合、概率與幾何的綜合等，需要學(xué)生具有綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，以及轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想. 對(duì)于與統(tǒng)計(jì)、代數(shù)、幾何等領(lǐng)域進(jìn)行聯(lián)系的綜合性題目，不必被表面的復(fù)雜性所迷惑，萬變不離其宗，只要抓住其中的關(guān)鍵信息，問題一定會(huì)迎刃而解.

三、專題分析結(jié)論與復(fù)習(xí)建議

根據(jù)以上的分析，我們可以得到以下的基本結(jié)論，以及后續(xù)對(duì)該專題的復(fù)習(xí)建議.

1. 試題的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)論及其建議

根據(jù)前面的分析結(jié)果，我們可以得到以下的結(jié)論.① 2020年全國(guó)各地區(qū)中考對(duì)本專題內(nèi)容考查的題型主要是解答題，側(cè)重考查利用列表法或畫樹狀圖法分析和求解隨機(jī)事件的概率，以及用樣本估計(jì)總體，整體考查難度約為0.60，難度適中. ② 從試題的考查載體來看，主要集中在時(shí)事背景與游戲（比賽）背景，其中多數(shù)地區(qū)傾向于時(shí)事背景，部分地區(qū)傾向于游戲（比賽）背景，在解法方面主要側(cè)重用列舉法、列表法或畫樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率.

根據(jù)以上結(jié)論，我們提出以下復(fù)習(xí)建議. ① 專題復(fù)習(xí)要側(cè)重對(duì)解答題的訓(xùn)練，側(cè)重對(duì)圖表的理解與應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)列表法或畫樹狀圖法的理解與應(yīng)用，以及其書寫格式表達(dá)，同時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想的理解. ② 專題復(fù)習(xí)要加強(qiáng)對(duì)相關(guān)選擇題和填空題的訓(xùn)練，注重學(xué)生答題的準(zhǔn)確性，減少失誤，同時(shí)要提高對(duì)本專題的重視程度，進(jìn)行有針對(duì)性地練習(xí)，要適當(dāng)提高練習(xí)難度，注重學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的綜合應(yīng)用. ③ 在備考訓(xùn)練中，多從時(shí)事背景、游戲（比賽）背景進(jìn)行選擇與訓(xùn)練，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這兩類情境的理解.

2. 試題分析與求解的幾點(diǎn)建議

根據(jù)對(duì)試題的思路分析與總結(jié)，學(xué)生需要關(guān)注以下幾點(diǎn).

熟悉此類試題的求解思路“情境理解—概括概率模型—概率計(jì)算—解決實(shí)際問題”，并熟悉常見的四種概率模型，即單次試驗(yàn)古典概型、有放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?、無放回重復(fù)試驗(yàn)、幾何概型，并在平常的訓(xùn)練當(dāng)中進(jìn)行題目的梳理與總結(jié).

重視這類試題的兩個(gè)解題關(guān)鍵點(diǎn)：概率模型的識(shí)別;對(duì)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的準(zhǔn)確描述. 前者需要學(xué)生對(duì)不同的概率模型有充分的認(rèn)識(shí)和理解，后者需要熟練掌握普通列舉法、列表法或畫樹狀圖法、幾何比例等描述方法，并且做到不重不漏.

對(duì)此類問題的易錯(cuò)點(diǎn)要時(shí)刻牢記以下幾個(gè)方面：① 概率模型的識(shí)別需要結(jié)合題干與問題共同考慮;② 對(duì)于試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的刻畫，需要考慮概率模型的特點(diǎn)，遵循一定的列舉規(guī)則，不是想到一件列一件，熟練掌握《標(biāo)準(zhǔn)》要求的列表法與畫樹狀圖法;③ 對(duì)于有放回與無放回重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷碾S機(jī)事件刻畫，要關(guān)注是否需要去除部分不符合要求的隨機(jī)事件;④ 對(duì)于部分需要區(qū)分研究對(duì)象的試題，需要對(duì)同類研究對(duì)象進(jìn)行編號(hào)，方便識(shí)別，從而進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫.

前三點(diǎn)是基于試題解法給出的建議，此外，不同地區(qū)對(duì)此類試題的表達(dá)形式可能會(huì)有細(xì)微的差別，但總體來說都會(huì)有相對(duì)規(guī)范、統(tǒng)一的書寫要求. 學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)當(dāng)中，要緊跟教師的要求，形成準(zhǔn)確的表達(dá)習(xí)慣，以避免在考試中造成不必要的失分.

總體而言，在“事件的概率”的考查上，各地區(qū)考查方向統(tǒng)一，對(duì)學(xué)生要求不高，普遍側(cè)重時(shí)事背景與游戲（比賽）背景的創(chuàng)設(shè)，緊跟《標(biāo)準(zhǔn)》要求進(jìn)行考查. 一方面，關(guān)注考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，具有比較統(tǒng)一的解題方法及分析思路;另一方面，也注重對(duì)隨機(jī)事件的理解及用樣本估計(jì)總體等思想的滲透，試題形式多樣、立意較新. 在中考備考過程中，教師需要注重知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的講解，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)的思想滲透，培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能真正提高學(xué)生的綜合能力. 同時(shí)也需要把握側(cè)重考點(diǎn)與考查形式，這樣才能更好地應(yīng)對(duì)中考. 在提高學(xué)生應(yīng)考能力的同時(shí)，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進(jìn)而達(dá)到綜合素質(zhì)的提高.

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