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基于核心素養(yǎng)下對基本不等式的再思考

2021-09-10 18:09:42楊偉達
關(guān)鍵詞:正數(shù)分式倒數(shù)

楊偉達

摘 要:基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是歷年高考考查的難點.本文介紹了一些基本不等式的求解策略,僅供參考.

關(guān)鍵詞:基本不等式;求解策略

中圖分類號:G632文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0002-02

新教材將基本不等式放入高中數(shù)學(xué)第一冊第二章,

成了一線數(shù)學(xué)教師對新教材教學(xué)的熱門話題,其意義深遠,即突顯出基礎(chǔ)性、實用性、技巧性,又能夠進一步提升學(xué)生的運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力.下面是筆者對一些關(guān)于基本不等式的數(shù)學(xué)問題進行剖析,旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、和與積

和與積是天生一對孿生兄弟.缺了誰,就找誰﹒如果和為定值,就要想辦法找積的形式;如果積為定值,就要想辦法找和的形式.在運用“和與積”時,必須滿足“一正、二定、三相等”,若發(fā)現(xiàn)不符合三個條件時,就要進行變形,運用基本不等式即可.

例1 已知a>0,b>0,1a+2b=3,求ab的最大值.

分析 已知條件是和的形式,和為定值求積的最大值.觀察、發(fā)現(xiàn)直接運用基本不等式即可.

解 因為a>0,b>0,

所以1a+2b=3≥21a×2b即2ab≤32,所以1ab≤98,ab≥89

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=23,b=43 ,ab最小值為89.

二、倒數(shù)和

倒數(shù)和的形式如:a□+b△(a,b為正數(shù)).當(dāng)且僅當(dāng)□≠△時,就要對倒數(shù)和進行變形,或加m減m、或乘m除m等方法把□變?yōu)椤?,最終達到乘積為定值.

例2 已知x>12,求x+22x-1的最值.

分析 觀察、發(fā)現(xiàn)倒數(shù)和的兩項乘積不是定值,不能直接運用不等式,此時需要對倒數(shù)和進行變形,直到乘積為定值時運用基本不等式即可.

解 因為x>12,所以x-12>0.

將x+22x-1=x+1x-12=(x-12)+1x-12+12≥2+12.

當(dāng)且僅當(dāng)x=32時,x+22x-1的最小值為2+12.

例3 求函數(shù)y=x2+3x+5x+1(x≠-1)的值域.

分析 本題看似與不等式無關(guān),實則可以通過拆分變?yōu)榈箶?shù)和的形式,然后再運用基本不等式求解.

解 y=x2+3x+5x+1=(x+1)2+(x+1)+3x+1=(x+1)+3x+1+1

(1)當(dāng)x+1>0即x>-1時,y≥2(x+1)×3x+1+1即y≥1+23,當(dāng)且僅當(dāng)x=3-1時,等號成立;

(2)當(dāng)x+1<0即x<-1時,y≤-2(x+1)×3x+1+1即y≤1-23,當(dāng)且僅當(dāng)x=-3-1時,等號成立.

綜上所述,函數(shù)y=x2+3x+5x+1(x≠-1)的值域為-SymboleB@,1-23∪1+23,+SymboleB@.

三、整式和與分式和

整式和的形式如:a○+b▲(a,b為正數(shù)),分式和的形式如:c□+d△(c,d為正數(shù))﹒在涉及整式和與分式和的數(shù)學(xué)問題時常常已知一個定值求另一個最值. 當(dāng)且僅當(dāng)□+△不為定值時,就要對整式和變形,或加m減m、或乘m除m等把分母之和變?yōu)槎ㄖ?解決辦法:先設(shè),接著進行乘法運算,最后變?yōu)榈箶?shù)和的形式求最值.

例4 已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,求12a+3+1b+2的最小值.

分析 本題是整式和為定值求分式和的最值問題. 解決辦法:整式和乘以分式和﹒筆者觀察、發(fā)現(xiàn)分式中的兩分母之和與已知條件的定值不吻合,所以先將分式進行變形,后再將整式變形即可.

解 不妨設(shè)12a+3+1b+2=m,將12a+3+1b+1變?yōu)?2a+32+1b+1,

因為a+b=1所以(a+32)+(b+2)=92,

所以92m=(a+32)+(b+2)×12a+32+1b+2

92m=32+2a+32b+2×12(b+2)a+32≥32+2

所以m≥13+239﹒

當(dāng)且僅當(dāng)a=922-6,b=7-922時,12a+3+1b+2的最小值為13+239﹒

例5 已知a>0,b>0,a+3b=5ab,則3a+4b的最小值是().

A.245B. 285C. 5D. 6

分析 將題設(shè)條件化簡為分式和為定值的形式. 筆者發(fā)現(xiàn)原問題是分式和為定值求整式和為最值的數(shù)學(xué)問題. 解決辦法:整式和乘以分式和后用基本不等式即可.

解 將a+3b=5ab化簡3a+1b=5

不妨設(shè)3a+4b=m,且a>0,b>0,則有

5m=(3a+1b)(3a+4b)=13+12ba+3ab≥13+24ba·9ab

即5m≥25 解得m≥5,故選C﹒

四、整式和與整式和

已知整式和為定值求另一個整式和的最值.解決辦法:分離后找配對. 即配添分離,運用基本不等式即可將問題解決.

例6 已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,求a+b的最大值.

分析 觀察、發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件與目標(biāo)都是整式和,若是求和的最大值,則提取系數(shù)、找配對,想辦法找到和為定值,運用ab≤a2+b22或者ab≤(a+b2)2,若達不到定值,則需要先對題設(shè)目標(biāo)進行變形,運用基本不等式即可.

解 因為a>0,b>0且a+b=1

a=2·(a·22)≤2(a+122)

同理,b=2·(b·22)≤2(b+122)

所以a+b≤2(a+12+b+122)=2

所以a+b≤2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時,a+b的最大值為2.

例7 已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證a2c+b2a+c2b≥1

分析 本題題設(shè)條件、目標(biāo)都是和式、項數(shù)相同. 若是求和的最小值,則分離后找配對,添項補數(shù),想辦法找到積為定值;若達不到定值,則先變形,直到找到積為定值時才運用a2+b2≥2ab或者a+b≥2ab即可.

解 a>0,b>0,c>0

所以a2c+c≥2a,b2a+a≥2b,c2b+b≥2c

所以a2c+b2a+c2b+c+a+b=(a2c+c)+(b2a+a)+(c2b+b)≥2a+2b+2c

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時,等號成立

所以a2c+b2a+c2b≥1證畢.

參考文獻:

[1]蔡勇全.構(gòu)造“基本不等式”適用背景的六種變換[J].數(shù)理化解題研究,2019(01):56-59.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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