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一道高考壓軸題引發(fā)的圓錐曲線定點問題探究

2021-09-10 18:09:42胡貴平
關(guān)鍵詞:圓錐曲線性質(zhì)

胡貴平

摘 要:圓錐曲線中的定點問題是高考常見考點,本文主要研究了過橢圓上一點作張角為直角所對的弦過定點問題,由于兩條直線垂直,所以常用兩條直線的斜率乘積等于-1來進(jìn)行量化,文章主要從高考題入手對這一問題進(jìn)行了研究,得出了圓錐曲線定點的一組性質(zhì).

關(guān)鍵詞:圓錐曲線;定點問題;性質(zhì)

中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0057-04

解析幾何中證明直線過定點,一般是選擇參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換,通過推理、計算,找出參數(shù)之間的關(guān)系,并消去部分參數(shù),將直線方程化為點斜式方程,從而得到直線所過的定點.當(dāng)定點具備一定的限制條件時,可先探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).

一、試題呈現(xiàn)

(2020年新高考數(shù)學(xué)全國1山東卷第22題)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,且過點A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得DQ為定值.

本題綜合考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素,考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),圓錐曲線中的定點定值問題.

二、試題解析

解法一 (1)由題意,可得ca=32,4a2+1b2=1,a2=b2+c2.解得a2=6,b2=c2=3,故橢圓方程為x26+y23=1.

(2)設(shè)點Mx1,y1,Nx2,y2.因為AM⊥AN,所以

AM·AN=0,即x1-2x2-2+y1-1y2-1=0①

當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+m,如圖1.

代入橢圓方程消去y并整理,得

1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0,

x1+x2=-4km1+2k2,

x1x2=2m2-61+2k2②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,

代入①整理,可得

k2+1x1x2+km-k-2x1+x2+m-12+4=0

將②代入,

k2+12m2-61+2k2+km-k-2-4km1+2k2+m-12+4=0,

整理化簡得2k+3m+12k+m-1=0,

因為A(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,

所以2k+3m+1=0,k≠1,于是MN的方程為y=kx-23-13,

所以直線過定點直線過定點E23,-13.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時,可得Nx1,-y1,如圖2.

代入x1-2x2-2+y1-1y2-1=0,得x1-22+1-y22=0.

結(jié)合x216+y213=1,解得x1=2(舍),x1=23,此時直線MN過點E23,-13.

由于AE為定值,且△ADE為直角三角形,AE為斜邊,

所以AE中點Q滿足DQ為定值(AE長度的一半122-232+1+132=423).

由于A2,1,E23,-13,故由中點坐標(biāo)公式可得Q43,13.

故存在點Q43,13,使得DQ為定值.

反思 韋達(dá)定理來處理,計算量大,容易出錯. 其實計算還可以用點乘雙根法優(yōu)化,由AM⊥AN,得x1-2x2-2+y1-1y2-1=0.即x1-2x2-2+kx1+m-1kx2+m-1=0,亦即x1-2x2-2+k2x1-1-mkx2-1-mk=0.通過聯(lián)立直線MN方程與橢圓方程得1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0,因為點x1,x2是方程1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0的兩個根,所以1+2k2x2+4kmx+2m2-6=1+2k2(x1-x)(x2-x).

令x=2,得1+2k24+8km+2m2-6=1+2k2(x1-2)(x2-2).令x=1-mk,得1+2k2(1-m)2k2+4m(1-m)+2m2-6=1+2k2(x1-1-mk)(x2-1-mk).所以x1-2x2-2+y1-1y2-1=4+8km+2m2-61+2k2+k2(1-m)2k2+4m(1-m)+2m2-61+2k2=0.即3m2+8k-2m+4k2-1=0,因式分解的2k+3m+12k+m-1=0.

解法二 (2)把橢圓平移到以A為坐標(biāo)原點,此時橢圓方程為(x+2)26+(y+1)23=1.

設(shè)點Mx1,y1,Nx2,y2.因為AM⊥AN,所以AM·AN=0,即x1x2+y1y2=0①

當(dāng)直線MN的斜率存在時,不妨設(shè)方程為y=nx+m,代入橢圓方程消去y有(x+2)26+(nx+m+1)23=1,整理,得1+2n2x2+4(1+mn+n)x+2(m2+2m)=0,所以x1+x2=-4(1+mn+n)2n2+1,x1x2=2m2+4m2n2+1.

y1y2=(nx1+m)(nx2+m)=n2x1x2+mn(x1+x2)+m2=n2·2m2+4m2n2+1-mn·4(1+mn+n)2n2+1+m2=m2-4mn2n2+1.代入①得x1x2+y1y2=2m2+4m2n2+1+m2-4mn2n2+1=0,即m=4n-43.

直線MN的方程為y=nx+4n-43,即y+43=n(x+43),故直線MN恒過定點-43,-43.利用坐標(biāo)平移到原坐標(biāo)系里,直線MN恒過定點23,-13.以下同解法一.

反思 通過圖象的平移變換,使得A2,1與原點重合,斜率的表達(dá)式變得簡潔,減少了部分運算量,其實計算還可以用齊次化法優(yōu)化,以A為坐標(biāo)原點,此時橢圓方程為(x+2)26+(y+1)23=1.展開就是x26+y23+2x3+2y3=0,直線MN方程為y=nx+m,變形就是nx+my=1,代入橢圓方程齊次化處理,得x26+y23+(2x3+2y3)y-nxm=0,兩邊同除以x2,得(13+23m)(yx)2+(23m-2n3m)(yx)+16-2n3m=0.所以y1x1·y2x2=16-2n3m13+23m=-1,即m=4n-43.

三、引申探究

對于橢圓上一點作張角為直角所對的弦是否都過定點呢?

性質(zhì)1過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點Px0,y0作兩條互相垂直的弦PM,PN,則直線MN恒過定點a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0.

證明 設(shè)點Mx1,y1,Nx2,y2.因為PM⊥PN,所以PM·PN=0,即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0.①

當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+m,

由y=kx+m,x2a2+y2b2=1.消去y并整理,得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2,x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理,

可得k2+1x1x2+km-x0-ky0x1+x2+x20+y20-2my0+m2=0.

將②代入,k2+1a2m2-a2b2a2k2+b2-km-x0-ky02a2mka2k2+b2+x02+y20-2my0+m2=0,

結(jié)合b2x20+a2y20=a2b2化簡整理,

得a2+b2m2-2a2kx0-b2y0m+(a2-b2)(k2x20-y20)=0,解這個關(guān)于m的方程,得m=-(a2-b2)(kx0+y0)a2+b2或m=y0-kx0.

當(dāng)m=y0-kx0時,y=kx+y0-kx0過點Px0,y0,不符合題意,所以直線MN的方程為y=kx-(a2-b2)(kx0+y0)a2+b2,即y+(a2-b2)y0a2+b2=k(x-(a2-b2)x0a2+b2),故直線MN恒過定點a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時,可得Nx1,-y1,

代入x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0,得x1-x02-y21+y20=0.

結(jié)合x21a2+y21b2=1,x20a2+y20b2=1消去y1,得(a2+b2)x21-2a2x0x1+(a2-b2)x20=0.

解得x1=x0舍,x1=a2-b2a2+b2x0,此時直線MN恒過定點a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0.

性質(zhì)2 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0,a≠b)上一點Px0,y0作兩條互相垂直的弦PM,PN,則直線MN恒過定點a2+b2a2-b2x0,a2+b2a2-b2y0.

性質(zhì)3 過拋物線y2=2px(p>0)上一點Px0,y0作兩條互相垂直的弦PM,PN,則直線MN恒過定點2p+x0,-y0.

過圓錐曲線上一點Px0,y0作90°的張角所對的弦必過定點.

對于橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),動弦過定點e22-e2x0,-e22-e2y0;

對于雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0,a≠b),動弦過定點e22-e2x0,e22-e2y0;

對于拋物線y2=2px(p>0),動弦過定點2p+x0,-y0.

過圓錐曲線上一點Px0,y0作兩條直線互相垂直加強到兩條直線斜率之積是定值,是否仍然有張角所對的弦必過定點?

性質(zhì)4 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點Px0,y0作兩條弦PM,PN,且滿足直線PM,PN的斜率之積是定值d(d≠b2a2),則直線MN恒過定點a2d+b2a2d-b2x0,-a2d+b2a2d-b2y0.

證明 設(shè)點Mx1,y1,Nx2,y2.因為kPM·kPN=d,所以y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=d.

即dx1-x0x2-x0-y1-y0y2-y0=0,①

當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+m,

由y=kx+m,x2a2+y2b2=1.消去y并整理,得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2,x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理,

可得d-k2x1x2-km+dx0-ky0x1+x2+dx20-y20+2my0-m2=0.

將②代入,d-k2a2m2-a2b2a2k2+b2+km+dx0-ky02a2mka2k2+b2+dx20-y20+2my0-m2=0,

結(jié)合b2x20+a2y20=a2b2化簡整理,

a2d-b2m2+2a2dkx0+b2y0m+(a2d+b2)(k2x20-y20)=0.解這個關(guān)于m的方程,得m=-(a2d+b2)(kx0+y0)a2d-b2或m=y0-kx0.

當(dāng)m=y0-kx0時,y=kx+y0-kx0過點Px0,y0,不符合題意,所以直線MN的方程為y=kx-(a2d+b2)(kx0+y0)a2d-b2,即y+(a2d+b2)y0a2d-b2=k(x-(a2d+b2)x0a2d-b2),故直線MN恒過定點a2d+b2a2d-b2x0,-a2d+b2a2d-b2y0.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時,可得Nx1,-y1,

代入dx1-x0x2-x0-y1-y0y2-y0=0,得dx1-x02+y21-y20=0.

結(jié)合x21a2+y21b2=1,x20a2+y20b2=1消去y1,得(a2d-b2)x21-2a2dx0x1+(a2d+b2)x20=0.

解得x1=x0舍,x1=a2d+b2a2d-b2x0,此時直線MN恒過定點a2d+b2a2d-b2x0,-a2d+b2a2d-b2y0.

性質(zhì)5 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點Px0,y0作兩條弦PM,PN,且滿足直線PM,PN的斜率之積是定值d,則直線MN恒過定點a2d-b2a2d+b2x0,-a2d-b2a2d+b2y0.

性質(zhì)6 過拋物線y2=2px(p>0)上一點Px0,y0作兩條弦PM,PN,且滿足直線PM,PN的斜率之積是定值d,則直線MN恒過定點-2pd+x0,-y0.

過圓錐曲線上一點Px0,y0作兩條直線斜率之積是定值,拓展到兩條直線斜率之和是定值,是否仍然有張角所對的弦必過定點?

性質(zhì)7 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點Px0,y0作兩條弦PM,PN,且滿足直線PM,PN的斜率之和是定值λ(λ≠0),則直線MN恒過定點-2y0λ+x0,-2b2x0a2λ-y0.

證明 設(shè)點Mx1,y1,Nx2,y2.因為kPM+kPN=λ,所以y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=λ.即y1-y0x2-x0+y2-y0x1-x0-λx1-x0x2-x0=0①

當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+m,

由y=kx+m,x2a2+y2b2=1.消去y并整理,得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2,x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理,

可得2k-λx1x2+m-y0-λx0-kx0x1+x2-λx20+2x0y0-2mx0=0.

將②代入,2k-λa2m2-a2b2a2k2+b2-m-y0-λx0-kx02a2mka2k2+b2-λx20+2x0y0-2mx0=0.

結(jié)合b2x20+a2y20=a2b2化簡整理,

a2λm2+2ka2λ+b2x0-2ka2y0m-(b2+a2k2)(2x0y0-λx20)+(b2x20+a2y20)(2k-λ)=0因式分解,a2λm+ka2λ+2b2x0-(2k-λ)a2y0(m+kx0-y0)=0.

解這個關(guān)于m的方程,得m=-(ka2λ+2b2)x0+(2k-λ)a2y0a2λ或m=y0-kx0.

當(dāng)m=y0-kx0時,y=kx+y0-kx0過點Px0,y0,不符合題意,所以直線MN的方程為y=kx-(ka2λ+2b2)x0-(2k-λ)a2y0a2λ,即y+2b2x0a2λ+y0=k(x+2y0λ-x0),直線MN恒過定點-2y0λ+x0,-2b2x0a2λ-y0.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時,可得Nx1,-y1,

所以kPM+kPN=y1-y0x1-x0+-y1-y0x1-x0=-2y0x1-x0=λ.x1=-2y0λ+x0.

此時直線MN恒過定點-2y0λ+x0,-2b2x0a2λ-y0.

性質(zhì)8 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點Px0,y0作兩條弦PM,PN,且滿足直線PM,PN的斜率之和是定值λ(λ≠0),則直線MN恒過定點-2y0λ+x0,2b2x0a2λ-y0.

性質(zhì)9 過拋物線y2=2px(p>0)上一點Px0,y0作兩條弦PM,PN,且滿足直線PM,PN的斜率之和是定值λ(λ≠0),則直線MN恒過定點-2y0λ+x0,2pλ-y0.

圓錐曲線上一定點P與另外兩點M,N的斜率之和或斜率之積為定值時,在斜率存在時,可設(shè)MN的方程y=kx+m與圓錐曲線方程聯(lián)立,根據(jù)斜率之和或斜率之積建立起參數(shù)k,m之間的關(guān)系(若是關(guān)于k,m之間是一元二次方程,要特別注意因式分解),就可以得出直線過的定點,再在直線斜率不存在時單獨驗證.

參考文獻(xiàn):

[1]劉增利.高考五年真題[M].北京:開明出版社,2020(7).

[2]李金寬.圓錐曲線的定點弦性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通報,2020(12):32-33.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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