張春華

摘 要：筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)已近三十年，在近些年對(duì)全國(guó)各地高考題函數(shù)類(lèi)題的研究中發(fā)現(xiàn)，利用同構(gòu)式函數(shù)思想解決較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常被用到.所謂同構(gòu)函數(shù)即左右形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量，取左或者取右去構(gòu)造函數(shù).盡管函數(shù)問(wèn)題千變?nèi)f化，但每種問(wèn)題都可以歸屬于某種類(lèi)型，掌握每種類(lèi)型問(wèn)題的解決方法，從而應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：同構(gòu)函數(shù);雙變量;指對(duì)混合

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0042-02

如何去構(gòu)造一個(gè)同構(gòu)函數(shù)，常用的同構(gòu)函數(shù)形式又有哪些？本文試圖通過(guò)以雙變量和指對(duì)混合兩類(lèi)問(wèn)題的分析，探索如何構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，以提高學(xué)生解題能力，掌握高考數(shù)學(xué)中解決函數(shù)壓軸題的一種途徑.

一、雙變量地位等同問(wèn)題

2020年的高考可以看出，新高考注重了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，尤其是創(chuàng)新思維.這種題型一般含有兩個(gè)變量，通過(guò)變形整理可將兩個(gè)變量分別移到不等式或等式兩側(cè)，構(gòu)造出同一個(gè)函數(shù)取兩個(gè)不同變量時(shí)的函數(shù)值大小問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.這種雙變量問(wèn)題在高考題中頻繁出現(xiàn)，下面舉例分析.

例1 （2020全國(guó)高考二卷理科數(shù)學(xué)11題）若2x-2y<3-x-3-y，則（）.

A.ln（y-x+1）>0 B.ln（y-x+1）<0

C.lnx-y>0D.lnx-y<0

解析 將不等式移項(xiàng)變形為2x-2y<3-x-3-y，構(gòu)造函數(shù)f（t）=2t-3-t，由其為單調(diào)遞增函數(shù)知x<y，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤;∵x-y與1的大小不確定，故C、D無(wú)法確定，所以選A.

例2 （2020全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（）.

A.a>2b B.a<2b

C.a>b2D.a<b2

解析 條件等式兩邊結(jié)構(gòu)類(lèi)似，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+log2x，則f（x）為增函數(shù)，由選項(xiàng)可知只需要比較f（a）和f（2b），f（a）和f（b2）大小即可.

利用f（a）=2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，可得f（a）-f（2b）=log212<0

而f（a）-f（b2）=22b-2b2-log2b，b取不同值結(jié)果不同，因此選B.

例3 （2010高考遼寧卷理科數(shù)學(xué)21題）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a<-1，如果對(duì)任意x1，x2∈（0，+SymboleB@），|f（x1）-f（x2）≥4|x1-x2|，求a的取值范圍.

解析 （1）略;

（2）所證不等式f（x1）-f（x2）≥4x1-x2含絕對(duì)值，所以由（1）問(wèn)可知，當(dāng)a≤-2時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，故只需要知道x1，x2的大小即可去掉絕對(duì)值.不妨設(shè)x2>x1，所證不等式去掉絕對(duì)值后為f（x2）-f（x1）≥4x2-4x1，

即f（x2）-4x2≥f（x1）-4x1，發(fā)現(xiàn)不等式兩側(cè)為關(guān)于x1，x2的同構(gòu)式，故可以將同構(gòu)式構(gòu)造成函數(shù)g（x）=f（x）+4x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）+4x單調(diào)遞減求參數(shù)a的范圍問(wèn)題.

二、指對(duì)混合問(wèn)題

在解決指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的混合不等式恒成立求參數(shù)范圍或證明指對(duì)不等式時(shí)，如果使用參變分離、隱零點(diǎn)代換等方法，都避免不了復(fù)雜計(jì)算，有時(shí)效果也不一定好，而使用同構(gòu)法會(huì)達(dá)到意想不到的效果.

如何構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)呢？一般情況下含ex和lnx的函數(shù)，主要是統(tǒng)一化為左邊或化為右邊構(gòu)造同構(gòu)式.同構(gòu)式需要構(gòu)造這樣一個(gè)母函數(shù)，這個(gè)函數(shù)既能滿(mǎn)足指數(shù)與對(duì)數(shù)互化，又能滿(mǎn)足單調(diào)性和最值易求等特點(diǎn)，因此常見(jiàn)的同構(gòu)形式大多為y=xlnx，y=xex，或其同族函數(shù).經(jīng)過(guò)同構(gòu)變形，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以快速解決證明不等式、恒成立求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題.

構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)通常有三種基本模式：

（1）積型

aea≤blnb三種同構(gòu)方式

同左：aea≤（lnb）elnb…f（x）=xex同右：ealnea≤blnb…f（x）=xlnx取對(duì)：a+lna≤lnb+ln（lnb）…f（x）=x+lnx

（2）商型

eaa<blnb三種同構(gòu)方式

同左：eaa≤elnbnb…f（x）=exx同右：ealnea<blnb…f（x）=xlnx取對(duì)：a-lna<lnb-ln（lnb）…f（x）=x-lnx

（3）和差型

ea±a>b±lnb二種同構(gòu)方式

同左：ea±a>elnb±lnb…f（x）=ex±x同右：ea±lnea>b±lnb…f（x）=x±lnx

其中x=elnx=lnex在變形構(gòu)造同構(gòu)式中起著重要作用.

例4 （2018高考全國(guó)一卷文科數(shù)學(xué)21題）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1.

（1）設(shè)x=2是fx的極值點(diǎn)，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥0.

解析 （1）略;

（2）當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥exe-lnx-1，由于f（x）關(guān)于a是遞增的，所以只需將a縮小為1e，轉(zhuǎn)化為證明exe-lnx-1≥0即可，由exe-lnx-1≥0兩邊同乘ex構(gòu)造積得xex≥exlnex即xex≥elnexlnex.

令g（x）=xex，由g′（x）=ex（x+1）>0知g（x）為增函數(shù)，又易證x≥lnex=lnx+1，所以g（x）≥g（lnex），即xex≥elnexlnex成立，故當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥0.

例5 （2014高考新課標(biāo)一卷理科數(shù)學(xué)21題）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b;

（2）證明：f（x）>1.

解析 （1）a=1;b=2，詳細(xì)解答略.（2）本題如果直接求導(dǎo)，將非常復(fù)雜，不妨采用同構(gòu)函數(shù)的方法.

由（1）知，f（x）=exlnx+2ex-1x，要證f（x）>1，即證exlnx+2xex-1>1.把這個(gè)式子按照同構(gòu)方式兩邊同乘xe-x并移項(xiàng)得xlnx-xe-x>-2e，再進(jìn)一步對(duì)-2e進(jìn)行拆分，得同構(gòu)式xlnx+1e>-（-xe-x+1e），即xlnx+1e>-（e-xlne-x+1e）.

兩邊結(jié)構(gòu)相似但是右邊有負(fù)號(hào)，因此構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx+1e，再證明g（x）+g（e-x）>0.顯然

g（x）≥0，并且當(dāng)且僅當(dāng)x=1e時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)間（e-x）=0時(shí)x=1，取等條件明顯不一致，所以g（x）+g（e-x）>0，即f（x）>1.

綜上，通過(guò)雙變量和指對(duì)混合兩類(lèi)高考真題的分析，我們發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式思想對(duì)于解決這兩類(lèi)問(wèn)題有規(guī)律可循，而且平時(shí)各類(lèi)模擬試題中屢見(jiàn)不鮮，只要大膽嘗試，把握其中的規(guī)律，解決這類(lèi)問(wèn)題堪稱(chēng)秒殺！

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國(guó)林，冠桂宴.追蹤高考導(dǎo)數(shù)涉及的證明問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2016（12）：14-15.

[責(zé)任編輯：李 璟]