摘 要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要幫助學(xué)生學(xué)會利用八種分類方法計算面積重合問題.在“數(shù)學(xué)模型→繪出圖形→文字描述→符號表達(dá)”抽象化的一系列過程中，提高學(xué)生順向、逆向相互轉(zhuǎn)化的思維能力，讓學(xué)生立足于基礎(chǔ)知識，加強知識間橫向與縱向、內(nèi)在與外在、具象與抽象之間的聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：分類計算;圖形運動

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）11-0002-02

作者簡介：侯坤明（1980.4-），男，江蘇省灌云人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

幾何圖形的運動變化問題一直以來都是中考命題專家青睞的熱點，這一類題目在編寫時都不同程度上體現(xiàn)出基本圖形、基本概念來源于現(xiàn)實生活，將現(xiàn)實生活中的一些問題抽象化得到.這類題型注重培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察、操作、想象、討論、交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生在吸收知識的同時更能夠領(lǐng)悟其中蘊含的基本數(shù)學(xué)思想，并通過適度的提煉和總結(jié)，使之能對認(rèn)識能力、理解能力和應(yīng)用能力起到指導(dǎo)作用，更好的理解數(shù)學(xué)實質(zhì)，初步獲得數(shù)學(xué)思維能力.

筆者在給學(xué)生講解蘇教版八年級下學(xué)期第95頁的第22題時，受到了一些啟發(fā).原題如下：

如圖1，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉(zhuǎn)，在這個過程中，這兩個正方形重合部分的面積會發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論.

我們將上題中的兩個正方形都變?yōu)椋?/p>

邊長為6的相同正方形，按如圖2所示方式放置，右邊正方形EFGH是水平放置的，其中∠BCF=45°，C是EF的中點（左邊正方形的右邊頂點與右邊正方形的邊所在的中點重合），同時令左邊正方形水平向右按每秒鐘一個單位長度平移，右邊正方形EFGH固定不動.請你嘗試解決以下問題：

（1）在運動過程中BC與FG的夾角等于度;

（2）當(dāng)t=2時，求正方形ABCD余下的面積;

（3）請你計算從左邊正方形ABCD開始進(jìn)入直至完全穿過并離開右邊正方形EFGH時，兩正方形重合部分的面積s與運動時間t（初始狀態(tài)時t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系，并求出對應(yīng)的t的取值范圍.

（4）在（3）的情況下有無重合面積的最大值，若有請求出來;若沒有，請說明理由.

解 （1）45°（135°）;（2）32;

（3）（?。┓治觯菏紫瘸尸F(xiàn)移動變化過程中的關(guān)鍵位置的系列圖，然后根據(jù)重合部分形成的多邊形的邊數(shù)劃分為八種不同的情況.每一種情況分別分為兩個狀態(tài)圖，即進(jìn)行狀態(tài)和結(jié)束時的臨界狀態(tài)，并分別計算此種情況下它們重合部分的面積與運動時間t（初始狀態(tài)時t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系.

從第一種情形到第八種情形的解答全部過程，明確的反映出了從正方形ABCD開始進(jìn)入直至完全穿過并離開正方形EFGH時，兩正方形重合部分的面積與運動時間t（初始狀態(tài)時t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系.從上述圖形的運動過程可以看出，重疊部分的圖形經(jīng)歷了三角形→五邊形→七邊形→八邊形→七邊形→五邊形→三角形這一循環(huán)往復(fù)過程，但重合部分的面積表達(dá)式卻截然不同，其中原因是時間t的取值變化之后，重合部分的面積求法就大相徑庭，不能用前面相同圖形的面積隨意代替后面的.在計算每一種情況下圖形的面積時，需要把不規(guī)則的圖形切割成規(guī)則的圖形，計算雖然困難，但只要抓住正方形的邊長a、對角線2a始終保持不變以及運動時間t，靈活應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)思想等知識，就能較快的計算出重合部分的面積.

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