梅穎穎

摘? 要：以建構(gòu)主義為核心，采用基于問題驅(qū)動的“啟發(fā)式 + 探究式”教學(xué)方法，建構(gòu)對球的體積和表面積新知識的深刻認(rèn)知. 精心設(shè)置問題鏈及分組探究活動，引導(dǎo)學(xué)生進行主動的思考探究，幫助學(xué)生實現(xiàn)從生活實例到數(shù)學(xué)抽象、從感性認(rèn)識到理性思考的過渡，形成“生活實例觀察—數(shù)據(jù)分析—實驗探究—理論證明—公式應(yīng)用”的學(xué)習(xí)閉環(huán). 基于此，通過本節(jié)課進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：建構(gòu)主義;分組探究;問題鏈;數(shù)據(jù)分析

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課的授課內(nèi)容是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)2（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）“球的體積和表面積”，它是在學(xué)生已經(jīng)掌握了柱體、錐體、臺體等基本幾何體的體積和表面積的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)另一種基本幾何體——球體的體積和表面積，為后續(xù)立體幾何的進一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用. 球體是一種高度對稱的基本空間幾何體，也是進一步研究空間組合體結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)，本節(jié)課內(nèi)容為學(xué)生提供了求解空間幾何體體積和表面積的思想方法，用一課時的時間完成.

二、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生具備一定的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和觀察分析、抽象概括及簡單的歸納推理能力. 同時，學(xué)生在日常生活中已經(jīng)對球體有了一定認(rèn)知，這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ). 在教材中，通過對柱體、錐體、臺體等幾何體的體積和表面積問題的探究和學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)擁有了一定的空間想象能力，但因本節(jié)課內(nèi)容晦澀抽象，對學(xué)生的空間想象能力要求較高，故采用多媒體輔助教學(xué)，在PPT課件中融入生活實例、制作多個動態(tài)動畫，盡可能形象、直觀地展示，幫助學(xué)生理解本節(jié)課的內(nèi)容.

三、教學(xué)策略分析

本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，對讓學(xué)生體會單元核心思想方法具有重要作用. 教師在教學(xué)過程中堅持“厚基礎(chǔ)、精實踐、重應(yīng)用”的教學(xué)方針，合理安排教學(xué)內(nèi)容，貫徹“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，為學(xué)生創(chuàng)造循序漸進發(fā)現(xiàn)和解決問題的條件，通過小組合作探究，幫助學(xué)生深刻理解球的體積和表面積問題. 具體體現(xiàn)在：小組合作探究的學(xué)習(xí)模式貫穿始終，教師在課堂教學(xué)中鼓勵學(xué)生獨立思考、敢于質(zhì)疑，通過小組合作、交流分享，提升學(xué)生的合作探究意識，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 強調(diào)一切以學(xué)生為中心，以提升學(xué)生的認(rèn)知水平、提高學(xué)生的實踐能力為目標(biāo)，實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識由被動接受向主動學(xué)習(xí)、主動探究和主動發(fā)現(xiàn)的轉(zhuǎn)變，教師傳授知識由灌輸向設(shè)計、引導(dǎo)、協(xié)助學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，課堂形式由傳統(tǒng)模式向課前延伸、向課后拓展轉(zhuǎn)變.

如圖1所示，在教學(xué)方法上，教師以建構(gòu)主義為核心，采用基于問題驅(qū)動的“啟發(fā)式 + 探究式”的教學(xué)方法，依托學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的柱體和錐體的相關(guān)知識，建構(gòu)形成球的體積和表面積等新的知識. 通過設(shè)置問題鏈及分組探究活動，引導(dǎo)學(xué)生進行主動的思考探究，幫助學(xué)生實現(xiàn)從生活實例到數(shù)學(xué)抽象、從感性認(rèn)識到理性思考的過渡. 本節(jié)課的教學(xué)主線是“生活實例—實驗探究—理論證明—公式應(yīng)用”的學(xué)習(xí)閉環(huán).

四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)本課時的內(nèi)容特點和教學(xué)要求，結(jié)合學(xué)生學(xué)情，確定了以下教學(xué)目標(biāo).

（1）在推導(dǎo)球的體積公式的過程中，能用祖暅原理說明球的體積公式的正確性，能說明祖暅原理中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，能用球的體積公式解決問題.

（2）在推導(dǎo)球的表面積公式的過程中，體會劉徽割圓術(shù)的思想，能用球的表面積公式解決問題.

（3）在探究和推導(dǎo)球的體積和表面積公式的過程中，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

五、教具準(zhǔn)備

多媒體課件，半球、圓柱、圓錐道具（教師自制），橙子，幾何圖霸軟件，屏幕GIF錄制軟件.

六、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課以主動建構(gòu)為核心，依托學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握的相關(guān)知識，建構(gòu)對球的體積和表面積的深刻認(rèn)識，教學(xué)方法采用基于問題驅(qū)動的“啟發(fā)式 + 探究式”教學(xué)方法. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)特點，設(shè)計課堂教學(xué)環(huán)節(jié)如圖2所示.

1. 創(chuàng)設(shè)情境

（1）生活舉例.

列舉球的實例. 在生活中，存在著各式各樣的球，大到地球，小到微觀粒子，球無處不在.

（2）問題引入.

已知標(biāo)準(zhǔn)籃球的直徑為24.6厘米，則制作和使用籃球往往需要考慮以下兩個問題.

問題1：制作一個籃球至少需要多少皮革？

問題2：充滿一個籃球需要多少空氣？

【設(shè)計意圖】以學(xué)生最常見的籃球為對象，將籃球的制作和充氣轉(zhuǎn)化為球的表面積和體積計算問題，即將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 借助學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和認(rèn)知水平，自然生動地引出課題，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的生活化.

（3）課前探究任務(wù).

前兩節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)研究了柱體、錐體、臺體的體積和表面積. 上節(jié)課教師給每個小組布置了一個課前探究任務(wù)：大家觀察一下生活中一些常見的球形物體，如圖3所示，并想辦法測出它們的體積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

師生互動：采取小組分組匯報的方式進行，教師對其進行點評和總結(jié).

預(yù)設(shè)1：學(xué)生最容易想到的方法是排水法，排水法可以測出各類物體的體積.

預(yù)設(shè)2：部分小組可能會收集數(shù)據(jù)，并用一些軟件對數(shù)據(jù)進行分析，嘗試給出球的體積與半徑之間的函數(shù)關(guān)系式.

【設(shè)計意圖】從實際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性. 讓學(xué)生在開放的生活情境中自主探索、親身體驗、操作試驗、合作交流、積極思考，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有的知識和經(jīng)驗，收集、整理數(shù)據(jù)，學(xué)習(xí)和掌握數(shù)據(jù)分析的方法，從而提升數(shù)據(jù)分析的意識和能力.

問題3：球體是如何形成的？定義是什么？

利用幾何圖霸軟件制作演示動畫，如圖4所示，引導(dǎo)學(xué)生回顧球體的定義.

球體是一個半圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體. 球心決定球的位置，半徑?jīng)Q定球的大小. 我們可以看到，球體是對稱的，所以要想研究它的體積，只需要研究半球的體積即可.

問題4：球體是一個旋轉(zhuǎn)體，我們還學(xué)習(xí)過哪些旋轉(zhuǎn)體？

預(yù)設(shè)回答：圓柱、圓錐、圓臺.

【設(shè)計意圖】引出下一環(huán)節(jié)的實驗探究.

2. 實驗探究

現(xiàn)在每個小組都有三個幾何體——底面半徑和高都是R的圓柱，半徑為R的半球，底面半徑和高都是R的圓錐，如圖5所示.

問題5：大家觀察一下這三個幾何體，它們的體積之間有什么大小關(guān)系？誰的體積最大？誰的體積最?。?/p>

預(yù)設(shè)回答：V圓錐 < V半球 < V圓柱.

問題6：如果把圓柱的體積記為V，那么圓錐的體積是多少？顯然，半球的體積介于它們之間，猜一下，半球的體積有可能是多少？

預(yù)設(shè)回答：V半球 =[23πR3].（學(xué)生基本能夠猜出這個結(jié)論.）

探究內(nèi)容：各小組用實驗的方法驗證猜想是否正確.

探究方式：學(xué)生分組進行實驗探究，其中2 ～ 3個小組進行匯報、1個小組進行演示.

師：剛剛同學(xué)們分別用數(shù)據(jù)和實驗探究的方法得到了球的體積公式，大家看這兩個代數(shù)式，是否一樣？

預(yù)設(shè)回答：我們把π近似取為3.14，那么它們近似相等.

師：數(shù)據(jù)分析和實驗探究都有可能存在誤差，我們能不能從理論上經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理，來證明這個公式呢？

【設(shè)計意圖】在上一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，依托對材料的觀察，以及學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，不將公式生硬地灌輸給學(xué)生，通過設(shè)置探究問題，讓學(xué)生通過直觀感知和操作確認(rèn)，建構(gòu)對球的體積的認(rèn)知. 鼓勵學(xué)生猜想，讓學(xué)生掌握“猜想”的重要學(xué)習(xí)方法. 從猜想入手，先猜后證，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體驗數(shù)學(xué)的美.

3. 理論證明

（1）祖暅原理.

教師讓學(xué)生觀看介紹祖暅生平和主要成就的微視頻.

祖暅?zhǔn)俏覈麛?shù)學(xué)家祖沖之的兒子，他在5世紀(jì)末提出了祖暅原理，比西方國家提出類似結(jié)論早了一千多年，非常了不起！

祖暅原理的內(nèi)容是：冪勢即同，則積不容異. 也就是說：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，如果它們被任意一個平行于這兩個平面的平面所截，得到的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，如圖6所示（演示祖暅原理示意動畫）.

問題7：現(xiàn)在桌子上有一摞書，我們把它傾斜放置，在這個過程中，書的體積發(fā)生變化了嗎？為什么？

預(yù)設(shè)回答：這摞書的高度沒有發(fā)生變化;如果用平行于桌面的平面去截這兩摞書，得到的截面面積相等. 只要滿足了這兩點，這摞書的體積就不會改變.

（2）祖暅原理與球的體積.

由實驗探究發(fā)現(xiàn)，半徑為R的半球的體積等于底面半徑和高都為R的圓柱的體積減去底面半徑和高都為R的圓錐的體積.

問題8：如圖7所示，圖中左側(cè)為一個底面半徑和高都是R的圓柱中挖去一個同底等高的圓錐以后形成的幾何體，右側(cè)為一個半徑為R的半球，這兩個幾何體是否滿足祖暅原理呢？用過半球最高點且平行于半球底面的平面去截這兩個幾何體，得到截面面積分別是多少？

預(yù)設(shè)回答：S1 = πR2，S2 = 0，其中S1為平面截左側(cè)幾何體所形成的截面，S2為平面截半球所形成截面.

師：我們用過半球底面且平行于半球底面的平面去截這兩個幾何體，得到的截面面積分別是多少？

預(yù)設(shè)回答：S1 = 0，S2 = πR2，其中S1為平面截左側(cè)幾何體所形成的截面，S2為平面截半球所形成截面.

師：這兩個幾何體之間是否滿足祖暅原理呢？

預(yù)設(shè)回答：這兩個幾何體不滿足祖暅原理.

問題9：如何調(diào)整才有可能使上述兩個幾何體滿足祖暅原理呢？

預(yù)設(shè)回答：將圖7左側(cè)的幾何體倒置，如圖8所示，用平行于底面的平面截這兩個幾何體所得到的截面面積相等，才有可能滿足祖暅原理.

如圖9，利用幾何圖霸軟件制作動畫，圖中的兩個數(shù)值分別是平行于底面的平面截兩個幾何體所形成的截面的面積.

師：上下平移這個截面，同學(xué)們觀察這兩個數(shù)值有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)回答：這兩個數(shù)值始終相等，也就說明這兩個截面的面積始終相等.

（3）探究內(nèi)容.

師：從幾何制圖軟件制作的動畫中可以看出兩個幾何體的截面的面積始終相等. 下面同學(xué)們能否試著從理論上證明這兩個截面的面積確實是始終相等的？

探究方式：學(xué)生分組進行探究驗證，其中1個小組在黑板上板書、匯報.

結(jié)論匯報：由于截面的任意性，我們發(fā)現(xiàn)用任何一個平行于半球底面的平面去截這兩個幾何體，得到的截面面積始終相等. 這樣，我們就構(gòu)造出了一個幾何體，它和半球之間滿足祖暅原理，根據(jù)祖暅原理，確定它們的體積相等，也就是說半徑為R的半球的體積就等于底面半徑和高都是R的圓柱的體積減去同底等高的圓錐的體積. 這樣，我們就從理論上證明了剛剛通過實驗得到的球的體積公式.

【設(shè)計意圖】首先，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是一種心理認(rèn)知經(jīng)驗，在實驗探究環(huán)節(jié)鋪墊的基礎(chǔ)上，基于祖暅原理，對球的體積公式進行理論證明;其次，將幾何圖霸軟件及屏幕GIF錄制軟件結(jié)合使用，制作了多個動態(tài)演示圖，既滿足了學(xué)生直觀感知的需要，又保證了立體幾何圖形的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范;再次，通過介紹祖暅原理，強調(diào)祖暅原理的提出比西方國家類似結(jié)論的提出早一千多年，旨在增強學(xué)生的文化自信，為將來繼承和發(fā)展古人智慧和中華民族生生不息的探索精神奠定基礎(chǔ).

4. 合作探究

（1）劉徽割圓術(shù).

問題10：還有別的方法可以推導(dǎo)球的體積公式嗎？大家回想一下，在初中是怎么用劉徽割圓術(shù)來研究圓的面積問題的？

（2）學(xué)生活動：切橙子.

師：下面同學(xué)們類比劉徽割圓術(shù)，來分割球體. 現(xiàn)在每個小組都有一個橙子，可以將橙子近似看作球體. 大家試著切橙子，要求切完以后得到的各個部分，可以較為簡單地求出體積的近似值.

活動方式：學(xué)生分組進行活動，其中2 ～ 3個小組進行匯報.

預(yù)設(shè)方案1：學(xué)生先把球體分成兩個半球，然后用平行于半球底面的平面去分割半球，如圖10所示，把每個幾何體都近似地看作圓柱，用這些圓柱體的體積之和近似代替半球的體積.

預(yù)設(shè)點評：當(dāng)分割的份數(shù)n比較少時，這兩者的體積之間的差異還是比較大的. 如何縮小這種差異呢？（學(xué)生可以想到讓分割的份數(shù)n越來越大.）

師：我們一起思考，當(dāng)分割的份數(shù)n越來越多時，這些圓柱的體積之和是不是越來越接近半球的體積？

預(yù)設(shè)點評：當(dāng)n趨近于無窮大時，這兩者的體積相等，這里面涉及極限的思想. 我們總結(jié)剛剛的過程，先分割，然后取近似，再求和，最后取極限. 其實這就是微積分的思想方法，有興趣的同學(xué)可以查閱資料，嘗試用這種方法來推導(dǎo)球的體積公式.

預(yù)設(shè)方案2：學(xué)生用經(jīng)線和緯線把球的表面分成很多小的曲面，然后把每個曲面的頂點和球心連線，這樣就將球體近似地分成了很多個小的錐體，如圖11所示.

（3）探究內(nèi)容.

經(jīng)線和緯線將球面分割成n個曲面，這n個曲面的面積分別記為S1，S2，…，Sn，球的表面積S與S1， S2，…，Sn有什么關(guān)系？

n越大，分割得越細(xì)密，每個曲面的頂點和球心的連線構(gòu)成的幾何體越接近什么幾何體？其體積可以如何近似求解？列式表示出來.

球的體積V可以如何表示？試著推導(dǎo)出球的表面積公式.

探究方式：學(xué)生分組進行探究驗證，其中1個小組在黑板上板書、匯報.

【設(shè)計意圖】在學(xué)生已經(jīng)了解劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，本環(huán)節(jié)通過切橙子，讓學(xué)生初步感受到“先分割，然后取近似，再求和，最后取極限”的微積分的思想方法. 探究過程中仍然基于幾何圖霸軟件及屏幕GIF錄制軟件，制作了多個動態(tài)演示圖，直觀形象. 讓學(xué)生再次經(jīng)歷“提出問題—分析問題—解決問題”的形象探究過程，深刻感受球的表面積公式的形成過程.

5. 公式應(yīng)用

問題11：大家觀察球的體積和表面積公式，球的體積和表面積由哪個量決定？

球的體積和表面積都是以R為自變量的函數(shù).

（1）試著計算籃球的表面積和體積.

（2）如圖12，一個圓錐形的容器上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出容器嗎？（假設(shè)冰淇淋融化前后體積不變.）

【設(shè)計意圖】通過解決實際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識及能力.

6. 課堂小結(jié)

師：這節(jié)課主要研究了球的體積和表面積問題. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么體會和收獲？有哪位同學(xué)愿意分享？

師生活動：師生共同回顧、梳理、總結(jié).

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生嘗試進行知識小結(jié)，逐步提高學(xué)生自我獲取知識的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

預(yù)設(shè)結(jié)束語：今天這堂課，老師感到很享受，也很快樂！因為大家積極配合，睿智探索，熱情展示，留下了青春的靚麗和學(xué)習(xí)的精彩！2020年是不平凡的一年，作為中國人，老師深感中華民族一直都是一個智慧的民族，要對自己民族的文化充滿自信，更要通過我們的努力、傳承和創(chuàng)新，創(chuàng)造出更加卓越的成果.

7. 作業(yè)布置

（1）必做題：教材第29頁習(xí)題1.3 B組第1題.

（2）選做題：① 如圖13，把球放入一個正方體的有蓋紙盒中，已知正方體的棱長為a，球的最大半徑為多少？② 如圖14，正方體的各個頂點都在一個球的球面上，已知正方體的棱長為a，則球的半徑為多少？

（3）探究題：查閱資料，試著用微積分的方法推導(dǎo)球的體積公式. 你還能想到其他推導(dǎo)球的體積和表面積公式的方法嗎？

【設(shè)計意圖】作業(yè)分層布置，設(shè)計了必做題、選做題和探究題，因材施教，這樣既面向總體又考慮個體差異，能夠滿足不同學(xué)生發(fā)展的需要，最終實現(xiàn)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)水平在差異狀態(tài)下的共同發(fā)展. 同時，落實了將新課程倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 立德樹人與數(shù)學(xué)課程改革：暨“第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動”總結(jié)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（4）：7-12.