林秋明

一、豐富直觀表征，促進(jìn)有效建模

如何契合學(xué)生認(rèn)知水平，借助生活原型搭建幾何直觀，運(yùn)用多種圖形表征以正確描述和分析問題，有效建立數(shù)學(xué)模型，是值得教師不斷思考的問題。

例如，人教版四下“乘法分配律”的教學(xué)，教師創(chuàng)設(shè)買表演服的情境：學(xué)校武術(shù)隊(duì)購(gòu)買新的表演服，每件上衣55元，每條長(zhǎng)褲40元，買了8套，一共需要多少元？通過引導(dǎo)學(xué)生小組合作進(jìn)行畫圖分析，很快獲得多種直觀表征（圖1）。

在不同的直觀表征中，教師通過遞進(jìn)式的問題串激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考：（1）你能說說示意圖表示什么意思嗎？（2）解決這道題可以有幾種算法？又可以寫成一個(gè)什么樣的等式呢？ （3）你能用自己的話說一說這個(gè)等式的意思嗎？（4）除了用數(shù)字的方法，我們還可以怎么表示這個(gè)等式？（用符號(hào)或字母表示）（5）哪個(gè)等式表述起來更順口？（字母式）這些問題很好地溝通了不同表征之間的內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生在層層遞進(jìn)推理中完成乘法分配律這一模型的建構(gòu)。

二、變換構(gòu)圖方式，提高解題能力

當(dāng)學(xué)生借助直觀表征解題遭遇瓶頸時(shí)，教師要善于把握幾何直觀的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行解決問題分析策略的指導(dǎo)，讓學(xué)生在對(duì)比辨析中發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系。通過變換構(gòu)圖方式，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，啟迪解題思路，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。

例如，人教版六上“圓”這一單元中關(guān)于扇形面積的一道習(xí)題（圖2），要求圖中陰影部分的面積，也就是求三個(gè)扇形面積之和。剛接觸這種問題，學(xué)生往往沒有頭緒，很難把它與之前學(xué)過的三角形內(nèi)角和的探究過程聯(lián)系到一起。這時(shí)，教師可拋出問題：“這三個(gè)扇形有什么特點(diǎn)？你有什么想法？”引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：大三角形是一個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)底角都是45°，即三個(gè)扇形的圓心角分別是90°、45°、45°，圓心角之和正好是180°，而180°的角是一個(gè)平角。由于三個(gè)扇形的半徑也相等，因此正好可以拼成一個(gè)半圓。通過變換構(gòu)圖，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“求半徑是5厘米的半圓（圖3）面積”，問題就可以迎刃而解。

三、依托數(shù)形結(jié)合，加深知識(shí)理解

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其實(shí)質(zhì)在于通過數(shù)和形的對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)換，使抽象的數(shù)學(xué)描述與直觀的幾何圖形巧妙地結(jié)合在一起。

如教學(xué)1+2+3+4+…+n，由于“在n趨于正無窮時(shí)，其和沒有極限，題值為無窮大”這知識(shí)點(diǎn)對(duì)于小學(xué)生來說十分深?yuàn)W，理解起來比較困難。因此，筆者通過化繁為簡(jiǎn)，借助邊長(zhǎng)是1的小正方形開始研究前四個(gè)數(shù)相加情況。先擺放從1到4的小正方形個(gè)數(shù)讓學(xué)生觀察，然后將其置于邊長(zhǎng)是4的大正方形中，借助圖形，學(xué)生不難看出求從1到4的和，其實(shí)是可以轉(zhuǎn)化為求這疊加圖形的面積。為了便于進(jìn)一步觀察，筆者有意識(shí)地添加上一條對(duì)角線（圖4），引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察對(duì)角線的斜下方和斜上方兩個(gè)陰影部分的面積。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：斜下方是一個(gè)大三角形，面積正好是整個(gè)大正方形面積的一半，即×4×4;斜上方則是4個(gè)小正方形面積的一半，即×4，因此得出：1+2+3+4=×4×4+×4=×4×（4+1）。結(jié)果出來后，筆者沒有就此打住，而是繼續(xù)出示1+2+3+4+5+6與1+2+3+4+5+6+7+8+9的圖例（圖略），引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩幅圖中對(duì)角線的斜下方和斜上方兩個(gè)陰影部分的面積各是怎么計(jì)算的。利用知識(shí)遷移，學(xué)生順利寫出了答案。筆者最后追問：“如果不看圖，繼續(xù)寫更多連續(xù)自然數(shù)的和，你能知道結(jié)果等于多少嗎？你能說說它的圖是什么樣的嗎？”通過對(duì)多組數(shù)列的探究，學(xué)生自然就能得出1+2+3+…+n=n（n+1）這個(gè)較為抽象的結(jié)論了。

四、巧借信息技術(shù)，助推思維發(fā)展

教師可適時(shí)借助信息技術(shù)模擬問題情境，化抽象語句為直觀可視的幾何動(dòng)畫，幫助學(xué)生打開思路，優(yōu)化課堂教學(xué)。

如人教版五下“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”的教學(xué)，教師除了可以利用圖形來表示具體的分?jǐn)?shù)之外，還可借助數(shù)軸來研究分?jǐn)?shù)，依托信息技術(shù)，使圖形所表示的分?jǐn)?shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間建立起聯(lián)系。教學(xué)中，教師可將若干個(gè)相同的圓都平均分成4份，每份用分?jǐn)?shù)表示都是，每添加這樣的1份，分子相應(yīng)加1，而分母不變;這樣的1份、2份、3份、4份……用分?jǐn)?shù)表示分別是? ……這些都能在數(shù)軸上找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（圖5）。在這一一對(duì)應(yīng)中，學(xué)生獲得明晰的表象信息，從而進(jìn)一步理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義，感受分?jǐn)?shù)的連續(xù)性以及分子、分母之間的內(nèi)在關(guān)系，為深入學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識(shí)做了很好的鋪墊。

又如，在教學(xué)“長(zhǎng)方體的體積”時(shí)，有這樣一道習(xí)題：從一個(gè)長(zhǎng)32 cm的大長(zhǎng)方體上，切下一個(gè)長(zhǎng)8 cm、體積120 cm■3的小長(zhǎng)方體，求原來大長(zhǎng)方體的體積。可以利用幾何直觀形象呈現(xiàn)問題（圖6），有了圖示，學(xué)生不僅厘清了解題思路，還找到了不同的解題方法。

通過觀察，學(xué)生不難看出切割前后長(zhǎng)方體的側(cè)面積保持不變，從而懂得解題關(guān)鍵是先求出這個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積，然后再用側(cè)面積乘對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)就能求出原長(zhǎng)方體的體積了。當(dāng)教師繼續(xù)借助多媒體技術(shù)對(duì)示意圖進(jìn)行進(jìn)一步的動(dòng)態(tài)切割（圖7），學(xué)生茅塞頓開：原來整個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與切下長(zhǎng)方體的長(zhǎng)成倍數(shù)關(guān)系。由此可知這兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積也成倍數(shù)關(guān)系，于是就有了第三種解法，即：120×4=480（cm3）。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學(xué)屏北分校）