高艷

【摘要】含參數(shù)函數(shù)的單調性是高考的高頻考點，而分類討論多貫穿在研究函數(shù)的單調性的解答題中。如2019年全國Ⅲ卷第20題，2017年全國Ⅰ卷第21題都考查了利用分類討論研究函數(shù)的單調性。確定參數(shù)的分類討論的標準是解決問題的關鍵。本文主要從函數(shù)的導數(shù)為一次型函數(shù)或二次型函數(shù)的系數(shù)為參數(shù)或者導數(shù)的零點是否在定義域或給定區(qū)間進行分類討論。

【關鍵詞 】 分類討論 ?參數(shù) ?單調性

一、基礎知識

1.利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)單調區(qū)間的步驟。利用導數(shù)已知函數(shù)單調區(qū)間的

大致步驟可應用到求含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間。即（1）確定定義域，（2）求出導數(shù)，（3）令（或），解出相應的的范圍，（4）當時，在相應區(qū)間上是增加的，當時，在相應區(qū)間上是減少的。

2.求含參數(shù)函數(shù)單調區(qū)間的實質是解含參不等式，而定義域有限制時有時會化簡含參不等式的求解。

3.求單調區(qū)間首先確定定義域，并根據定義域將導數(shù)不等式中恒正恒負的項處理掉，從而簡化討論的不等式。

（1）分類時機：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式，其解集為，中間并沒有進行分類討論。思考：為什么？因為無論參數(shù)為何值，均是將移到不等號右側出結果，所以不需要分類討論，再例如解不等式，第一步移項得，但第二步不等式兩邊開方時發(fā)現(xiàn)的不同取值會導致不同結果。顯然是負數(shù)時，不等式恒成立。而是正數(shù)時，需要求對應方程的根，進而寫出解集，分類討論由此開始。簡而言之，當參數(shù)的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機。

（2）分界點的確定：要想找好分界點，首先要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色是被開方數(shù)，故能否開方是進行下一步的關鍵，那自然想到按的符號進行分類。

（3）當參數(shù)扮演多個角色時，則其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進一步的分類。

二、分類討論研究含參數(shù)函數(shù)的單調性的歸類

（一）依據一次型函數(shù)的系數(shù)分類討論

方法點津 如果導函數(shù)解析式中的二次三項式中一次項系數(shù)含有參數(shù)，則需要討論圖像的對稱軸的位置和方程的根是否在定義域內。

三、總結

通過前面的研究，可以歸納出求含參數(shù)的函數(shù)的單調區(qū)間的基本步驟如下

1.先求函數(shù)的定義域;

2.求導函數(shù)（化為乘除分解式，便于討論正負）;

3.確定分類標準，正確進行合理分類;

4.對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果。先討論只有一種單調區(qū)間的情況（導數(shù)同號的），再討論有增有減的情況（導數(shù)有正有負，以其零點分界），注意函數(shù)的斷點;

5.進行歸納總結，綜合得出結論。

參考文獻

[1].關于含參數(shù)單調性問題導數(shù)解法的研究[J].陳小祥.中學數(shù)學月刊2014（04）

[2].利用導數(shù)求解含參數(shù)函數(shù)單調性問題的策略[J].嚴厚飛.高考2018（35）

[3]. 分類討論“界點”的確定[J].杜志建. 試題調研2019（08）