黃曉婷 楊坤 毛海寬 呂輝

摘 要：針對汽車動力總成懸置系統(tǒng)參數(shù)同時存在不確定性和相關(guān)性的復(fù)雜情形，提出了一種汽車動力總成懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的不確定性分析方法。首先，基于多維平行六面體模型對具有不確定性和相關(guān)性的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行描述;其次，結(jié)合正則化、泰勒級數(shù)展開和中心差分法等方法，計算懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的不確定性響應(yīng);再次，給出方法的具體分析步驟;最后，以蒙特卡洛法作為參考方法進(jìn)行對比驗證。結(jié)果表明，懸置系統(tǒng)不確定性參數(shù)的相關(guān)性對系統(tǒng)固有特性響應(yīng)有一定影響。所提方法在求解系統(tǒng)不確定性響應(yīng)方面表現(xiàn)出較高的計算精度和計算效率，可為汽車動力總成懸置系統(tǒng)固有特性的計算、評估和優(yōu)化設(shè)計提供參考。

關(guān)鍵詞：機(jī)械動力學(xué)與振動;動力總成懸置系統(tǒng);多維平行六面體模型;固有特性;不確定性;相關(guān)性

中圖分類號：TN958.98?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx04001

收稿日期：2021-03-30;修回日期：2021-04-23;責(zé)任編輯：馮 民

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51975217， 51605167）;廣東省自然科學(xué)基金（2020A1515010352）

第一作者簡介：黃曉婷（1988—），女，廣東廣州人，講師，碩士，主要從事汽車NVH分析與控制方面的研究。

通訊作者：呂 輝副教授。E-mail：melvhui@scut.edu.cn

黃曉婷，楊坤，毛海寬，等.一種考慮參數(shù)不確定性和相關(guān)性的懸置系統(tǒng)固有特性分析方法[J].河北科技大學(xué)學(xué)報，2021，42（4）：319-326.HUANG Xiaoting，YANG Kun，MAO Haikuan， et al.A method for inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems by considering parametric uncertainty and correlation[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：319-326.

A method for inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems by considering parametric uncertainty and correlation

HUANG Xiaoting1，YANG Kun2，MAO Haikuan2，LYU Hui 2

（1.Guangzhou College，South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510800，China;2.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510641，China）

Abstract：In order to deal with the complex situation that parametric uncertainty and correlation coexist in the automotive powertrain mounting system （PMS），an uncertainty analysis method for calculating the natural frequency and decoupling rate of PMS was proposed.In the proposed method，the multi-dimensional parallelepiped model was firstly constructed to describe the PMS parameters with uncertainty and correlation.Then，the uncertain responses of the natural frequency and decoupling rate were calculated by integrating the regulation technique，Taylor series expansion and central difference method.Next，the analysis procedure of the proposed method was presented.Finally，the Monte Carlo method was used as a reference method for comparison and verification.The numerical analysis results show that the correlation of uncertain parameters of PMS has a certain influence on the inherent characteristics of the system.The method presents acceptable computational accuracy and higher computational efficiency in solving the uncertain response of PMS，which provides important reference for the calculation，evaluation and optimization design of the inherent characteristics of automotive PMS.

Keywords：

mechanical dynamics and vibration;powertrain mounting system;multidimensional parallelepiped model;inherent characteristics;uncertainty;correlation

工程實際中，受生產(chǎn)加工、測量誤差、磨損、疲勞老化和復(fù)雜工況等主客觀因素的影響，汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，包括動力總成懸置系統(tǒng)（powertrain mounting system，PMS）[1-4]，往往存在眾多不確定性因素。系統(tǒng)振動特性的復(fù)雜性與存在于系統(tǒng)的不確定性因素密切相關(guān)。因此，在PMS固有特性的分析和優(yōu)化設(shè)計過程中，很有必要考慮系統(tǒng)不確定性因素的影響。

基于不確定性分析技術(shù)的PMS研究不斷深入?；陔S機(jī)模型，SIRAFI等[5]討論了系統(tǒng)懸置剛度的不確定性對PMS固有特性的影響;WU等[6]基于扭矩軸解耦理論對PMS進(jìn)行了6-sigma優(yōu)化，其中懸置剛度和位置參數(shù)被視為隨機(jī)變量?；趨^(qū)間模型，XIE等[7]使用Chebyshev區(qū)間分析方法計算了PMS固有特性的區(qū)間界限;CAI等[8]結(jié)合Chebyshev多項式與頂點法，對PMS固有特性進(jìn)行了有效分析和優(yōu)化。

然而，上述隨機(jī)和區(qū)間模型均將系統(tǒng)不確定性參數(shù)視為獨立變量，沒有考慮參數(shù)相關(guān)性的影響。對于汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中不確定性參數(shù)之間存在相關(guān)性的情形[9]，這2種模型均無法進(jìn)行有效處理。對于此類情形，可采用多維橢球凸模型和多維平行六面體模型進(jìn)行處理。呂輝等[10]基于多橢球凸模型處理懸置剛度的不確定性和相關(guān)性，對PMS固有特性進(jìn)行了有效分析。PMS中同一懸置的三向剛度參數(shù)之間往往具有相關(guān)性，而不同懸置之間的剛度參數(shù)卻相互獨立。因此，基于多橢球凸模型的不確定性分析需建立多個橢球模型，這會在一定程度上給數(shù)值建模分析帶來不便。

多維平行六面體模型（multidimensional parallelepiped model，MPM）可同時考慮參數(shù)不確定性和相關(guān)性共存的情形[11]。呂輝等[12]引入MPM處理系統(tǒng)懸置剛度，采用蒙特卡洛法提出了一種PMS不確定性分析方法。為獲得精確的響應(yīng)結(jié)果，該方法需要進(jìn)行大量蒙特卡洛法抽樣操作[13]，計算效率偏低。本文在前期工作基礎(chǔ)上，為在保證計算精度的同時有效提高計算效率，基于MPM提出了一種將正則化技術(shù)、泰勒級數(shù)展開和中心差分法相結(jié)合的PMS不確定性分析方法，并給出了算例分析結(jié)果。

1 PMS固有特性計算

圖1給出了某車型的PMS動力學(xué)6自由度模型[14-15]。

系統(tǒng)自由振動的動力學(xué)微分方程為

Mq¨+Kq=0，（1）

式中：M和K分別為PMS的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;q為動力總成質(zhì)心的6自由度位移向量。

求解式（1），可得PMS的固有頻率fj，以及對應(yīng)的振型φj=[φ1j，φ2j，…，φ6j]T，j=1，2，…，6。

當(dāng)PMS以第j階固有頻率振動時，第k個方向所占的能量百分比[16]為

EDk，j=φkj∑6l=1MklφljφTjMφj，（2）

式中φkj表示φj的第k個分量。

第j階模態(tài)的解耦率定義為

dj=maxED1，j，ED2，j，…，ED6，j，（3）

當(dāng)解耦率為100%時，系統(tǒng)作第j階振動的能量全部集中在某個方向上，該階振動完全解耦。

2 MPM分析

對于實際工程中具有多組不確定性參數(shù)的情形，組與組之間的參數(shù)相互獨立，而組內(nèi)參數(shù)存在相關(guān)性。此類情形可采用多維平行六面體模型[11]描述參數(shù)的不確定域。設(shè)系統(tǒng)存在n個有界不確定性參數(shù)X=X1，…，Xt，…，XnT，Xt的不確定范圍為Xt∈XCt-XWt，XCt+XWt t=1，2，…，n。其中，XCt和XWt分別為Xt的中心值和區(qū)間半徑。

對于任意2個不確定性參數(shù)，Xt和Xlt，l=1，2，…，n，

其不確定域可用平行四邊形域包絡(luò)，如圖2所示。

定義Xt和Xl的相關(guān)系數(shù)為

ρXtXl=b-ab+a。（4）

當(dāng)a=b時，即ρXtXl=0，Xt和Xl相互獨立;當(dāng)a=0或b=0時，即ρXtXl=1，Xt和Xl呈線性正相關(guān)。

由n個不確定性參數(shù)構(gòu)成的多維平行六面體的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

ρ-1T-1R-1X-XC≤e，（5）

式中：e=1，1，…，1T;R=diagXW1，XW2，…，XWn;T=diagw1，…，wt，…，wn，wt=1∑nl=1ρt，l;ρ為相關(guān)系數(shù)矩陣。

在獲得不確定性參數(shù)樣本數(shù)據(jù)后，可根據(jù)以上數(shù)學(xué)表達(dá)式建立MPM模型。在式（5）中，當(dāng)相關(guān)系數(shù)矩陣ρ的所有元素取值為0時，對應(yīng)的MPM可描述所有參數(shù)相互獨立的情形，如圖3 a）所示;當(dāng)ρ部分元素為0時，相應(yīng)的MPM可描述參數(shù)相關(guān)性和獨立性共存的情形，如圖3 b）所示;當(dāng)ρ的元素均不為0時，對應(yīng)的MPM可用于描述所有參數(shù)兩兩相關(guān)的情形，如圖3 c）所示。

3 PMS固有特性的不確定性分析

分別以fjX和EjX表示PMS的固有頻率和解耦率（j=1，2，…，6）。為便于分析，以下過程用YjX表示fjX或EjX。

蒙特卡洛法是一種應(yīng)用廣泛的不確定性分析技術(shù)。文獻(xiàn)[12]給出了基于蒙特卡洛法和MPM求解YjX不確定邊界的主要步驟，這里不再贅述。為提高計算效率，本文提出MPM攝動分析方法。

首先，通過正則化技術(shù)將平行六面體模型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間模型，如圖4所示。

設(shè)ζ=ρ-1T-1R-1X-XC，Ω*=ζζ≤e，其中，ζ=ζ1，…，ζt…，ζnT，ζt∈0，1（t=1，2，…，n）。響應(yīng)YjX被變換為Y*jζ，ζ∈Ω*。

通過正則化處理，相關(guān)性參數(shù)X的不確定域Ω被投射到以原點為中心且半邊長度為1的標(biāo)準(zhǔn)立方體中，形成變換參數(shù)ζ的空間域（Ω*）。在Ω*中，區(qū)間變量ζ相互獨立。因此，通過正則化變換后的MPM，可采用目前成熟的區(qū)間模型處理方法進(jìn)行處理。

對Y*jζ在中心點處用一階泰勒展開，即

f*jζ=f*jζC+∑nt=1f*jζCζtζt-ζCt。（6）

由于ζC=0，0，…，0T為ζ空間的原點，因此Y*jζ可表示為

Y*jζ=Y*j0+∑nt=1Y*j0ζtζt 。（7）

偏導(dǎo)函數(shù)Y*j0ζt可通過以下關(guān)于參數(shù)X的式子求得：

Y*j0ζt=∑nd=1Y*jXXdXdζtζ=0。（8）

由于PMS中不確定性參數(shù)Xt與變換參數(shù)ζ均為一次多項式的關(guān)系，即Xdζt為常數(shù)。因此，Y*j0ζq還可表示為

Y*j0ζt=∑nd=1YjXCXdXdζt。（9）

利用中心差分法[17-18]，偏導(dǎo)數(shù)YjXCXd可表示為

YjXCXd=YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXd，（10）

其中δXd是一個微小增量，δXd=0，…，δXd，…，0T。

將式（10）代入式（8），得

Y*j0ζt=∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt。（11）

考慮到ζt∈0，1，響應(yīng)函數(shù)Y*jζ的邊界范圍可分別表示為

Y-*jζ=Y*j0+∑nq=1Y*j0ζt=Y*j0+∑nt=1

∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt，（12）

Y-*jζ=Y*j0-∑nq=1Y*j0ζt=Y*j0-∑nt=1

∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt。（13）

式中Y-*jζ和Y-*jζ分別為響應(yīng)的上邊界和下邊界。

綜合以上分析，可得MPM攝動分析法的一般步驟如下。

1）對于系統(tǒng)中n個不確定性參數(shù)X，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分析得到各個參數(shù)的邊界和中心值。通過建立兩兩參數(shù)的平行四邊形域的方式，得到參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)。

2）根據(jù)MPM的相關(guān)系數(shù)矩陣以及數(shù)學(xué)解析式，基于參數(shù)邊界、中心值以及相關(guān)系數(shù)，建立該樣本數(shù)據(jù)下的MPM。

3）通過正則化，將具有相關(guān)性的不確定變量X變換為獨立區(qū)間變量ζ，將響應(yīng)函數(shù)Yj（X）從多維六面體空間變換到多維標(biāo)準(zhǔn)立方體空間，變換后的響應(yīng)函數(shù)為Y*j（ζ）。

4）在中心值處對Y*j（ζ）一階泰勒展開，由式（12）和式（13）得到Y(jié)*j（ζ）的上下邊界，即為Yj（X）在原空間中的上下邊界。

4 算例分析

4.1 PMS模型

以某4點橫置PMS為例[12]，如圖5所示。表1給出了各懸置的初始靜剛度。

4.2 基于MPM的頻率及解耦率計算

選擇懸置點剛度作為研究對象，考慮同一懸置點三向剛度參數(shù)的相關(guān)性，且不同懸置的剛度參數(shù)相互獨立，對4個懸置的剛度可建立一個12維度的MPM。表1所示為各剛度的區(qū)間中點值，假設(shè)剛度參數(shù)的不確定度為±5%。為便于分析，令各懸置點的三向剛度的相關(guān)系數(shù)相同，分別研究懸置剛度參數(shù)的相關(guān)系數(shù)為0，0.2，0.4，0.6，0.8和0.9共6種不確定情形，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時，MPM退化為純區(qū)間模型，各參數(shù)相互獨立。

考慮2個主要方向（Bounce和Pitch方向）的固有特性配置[19-20]，以下分析計算只給出2個主要方向的響應(yīng)結(jié)果。圖6、圖7分別給出了不同相關(guān)系數(shù)下懸置系統(tǒng)Bounce和Pitch方向固有頻率和解耦率的上下界數(shù)值。以下將純區(qū)間情形（相關(guān)系數(shù)為0）計算得到的結(jié)果與其他不同相關(guān)系數(shù)情形計算出的結(jié)果之差的絕對值，稱為偏差。

由圖6和圖7可知：

1）當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0，即各變量相互獨立（退化為純區(qū)間情形）時，系統(tǒng)頻率及解耦率的變化范圍最大。

2）對于固有頻率，考慮參數(shù)相關(guān)性后，其變化范圍縮窄，但相關(guān)系數(shù)的進(jìn)一步增大對頻率范圍的影響不大。①在Bounce方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響頻率的下界，與無相關(guān)性的結(jié)果比較，當(dāng)參數(shù)存在相關(guān)性時，下界頻率的數(shù)值增大，出現(xiàn)了約0.9 Hz的偏差。②在Pitch方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響頻率的上界，與無相關(guān)性的結(jié)果比較，存在約1.4 Hz的偏差。

3）對于解耦率，考慮參數(shù)相關(guān)性后，其變化范圍逐漸縮窄。①在Bounce方向，參數(shù)相關(guān)性同時影響解耦率的上下界，其偏差隨相關(guān)系數(shù)的增大而增加。與無相關(guān)性的結(jié)果比較，上界的偏差范圍為5%～13%，下界的偏差范圍為 9%～19%;②在Pitch方向，參數(shù)相關(guān)性主要影響解耦率的下界，與無相關(guān)性的結(jié)果比較，偏差范圍為13%～17%。

以蒙特卡洛法作為參考方法，分析MPM攝動法的計算精度，以蒙特卡洛法與MPM攝動法的計算結(jié)果之差的絕對值作為計算誤差，如表2和表3所示。

1）對于PMS固有頻率，MPM攝動法在不同相關(guān)系數(shù)下求得的固有頻率均約等于無相關(guān)性時的數(shù)值。不考慮相關(guān)性時兩方法誤差最小，2個方向上下界誤差均約為0.02 Hz。考慮相關(guān)性后，由于固有頻率隨相關(guān)系數(shù)增大的影響較小，因而2個方向上的計算誤差隨相關(guān)系數(shù)變化不大，上下界誤差均約為0.05 Hz。

2）對于PMS解耦率，Bounce和Pitch方向表現(xiàn)出較大差異。①對于Bounce方向，參數(shù)無相關(guān)性時計算誤差最大，上界誤差約3.2%，占參考值的3.8%，下界約1.5%，占參考值的2.8%;而誤差隨著相關(guān)系數(shù)增大算法誤差有所下降，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0.9時，上下界誤差降至約0.6%。②對于Pitch方向，MPM攝動法的上界誤差隨相關(guān)系數(shù)的增加稍有減小的趨勢，由1.7%降至約1.2%;而下界誤差稍有增大，由0.6%增至約1.0%。

上述分析均在同一計算機(jī)上進(jìn)行求解，對于某一相關(guān)系數(shù)情形下的求解，蒙特卡洛法的計算用時約為6 910.7 s，而MPM攝動法用時僅為2.4 s。因此MPM攝動法具有較高的計算效率。

5 結(jié) 語

本文針對蒙特卡洛法計算效率較低的問題，提出了一種基于正則化技術(shù)、泰勒級數(shù)展開和中心差分法的MPM攝動法，處理考慮參數(shù)不確定性和相關(guān)性的汽車動力總成懸置系統(tǒng)固有特性分析問題。分析結(jié)果表明，所提出的方法能有效處理懸置系統(tǒng)不確定性參數(shù)相關(guān)性和獨立性共存的情形;在不同的相關(guān)系數(shù)下，與蒙特卡洛法相比，MPM攝動法的計算誤差在可接受范圍內(nèi)，且具有較高的計算精度，同時運算時間大幅縮減。

本研究不足之處在于當(dāng)參數(shù)不確定性很大時，攝動法可能存在一定的局限性。但總體而言，本文方法可為汽車動力總成懸置系統(tǒng)固有特性的計算和評估提供重要參考，后續(xù)將對其運用于系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計開展進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)/References：

[1] 時培成，陳無畏，高立新.基于蒙特卡羅法的動力總成懸置系統(tǒng)穩(wěn)健性設(shè)計[J].汽車工程，2010，32（8）：707-711.

SHI Peicheng，CHEN Wuwei，GAO Lixin.Robustness design of powertrain mount system based on Monte Carlo method[J].Automotive Engineering，2010，32（8）：707-711.

[2] 包鍵，成艾國，何智成，等.區(qū)間響應(yīng)面懸置固有頻率匹配研究[J].噪聲與振動控制，2011，31（2）：21-24.

BAO Jian，CHENG Aiguo，HE Zhicheng，et al.Study on natural frequency match in mounting system using interval response method[J].Noise and Vibration Control，2011，31（2）：21-24.

[3] WU J，SHANGGUAN W B.Robust optimization design method for powertrain mounting systems based on six sigma quality control criteria[J].International Journal of Automotive Technology，2010，11（5）：651-658.

[4] WU J X.Optimization method for powertrain mounting systems with uncertain parameters[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Pard D：Journal of Automobile Engineering，2012，226（2）：147-157.

[5] SIRAFI M，CHANG Y P，QATU M S.Robustness of mount systems for idle NVH，Part I：Centre of gravity（CG） mounts[J].International Journal of Vehicle Noise and Vibration，2006，2（4）：317-333.

[6] WU J，LIU X D，SHAN Y C，et al.Robustness optimization of engine mounting system based on six sigma and torque roll axis decoupling method[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part D：Journal of Automobile Engineering，2019，233（4）：1047-1060.

[7] XIE Y，ZHANG W，F(xiàn)ENG X，et al.Powertrain Mounting System with Uncertainty Using Chebyshev Interval Method[M].[S.l.]：[s.n.]，2015.

[8] CAI B H，SHANGGUAN W B，LYU H.An efficient analysis and optimization method for powertrain mounting systems involving interval uncertainty[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part D：Journal of Automobile Engineering，2019，234（5）：1318-1329.

[9] NI B Y，JIANG C，HUANG Z L.Discussions on non-probabilistic convex modelling for uncertain problems[J].Applied Mathematical Modelling，2017，59：54-85.

[10]呂輝，楊坤，上官文斌，等.考慮不確定參數(shù)相關(guān)性的動力總成懸置系統(tǒng)固有特性分析[J].振動工程學(xué)報，2020，33（6）：1199-1207.

LYU Hui，YANG Kun，SHANGGUAN Wenbin，et al.Inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems considering the correlation of uncertain parameters[J].Journal of Vibration Engineering，2020，33（6）：1199-1207.

[11]NI B Y，JIANG C，HAN X.An improved multidimensional parallelepiped non-probabilistic model for structural uncertainty analysis[J].Applied Mathematical Modelling，2016，40（7/8）：4727-4745.

[12]呂輝，楊坤，尹輝，等.基于多維平行六面體模型的動力總成懸置系統(tǒng)固有特性分析[J].汽車工程，2020，42（4）：498-504.

LYU Hui，YANG Kun，YIN Hui，et al.Inherent characteristic analysis of powertrain mounting system based on multidimensional parallelepiped model[J].Automotive Engineering，2020，42（4）：498-504.

[13]WANG L，CAI Y R，LIU D L.Multiscale reliability-based topology optimization methodology for truss-like microstructures with unknown-but-bounded uncertainties[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2018，339：358-388.

[14]周冠南，蔣偉康，吳海軍.基于總傳遞力最小的發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計[J].振動與沖擊，2008（8）：56-58.

ZHOU Guanna，JIANG Weikang，WU Haijun.Optimal design of engine mount ststem by minimizing the total force transmission[J].Journal of Vibration and Shock，2008（8）：56-58.

[15]CAI B H，SHANGGUAN W B，LYU H，et al.Hybrid uncertainties-based analysis and optimization design of powertrain mounting systems[J].Science China Technological Sciences，2020，63（5）：838-850.

[16]WU J.A robust optimization for the frequency and decoupling ratio of a powertrain mounting system based on interval analysis[J].International Journal of Automotive Technology，2012，13（3）：409-422.

[17]QIU Z P，MA L H，WANG X J.Unified form for static displacement，dynamic response and natural frequency analysis based on convex models[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33（10）：3836-3847.

[18]LYU H，YANG K，HUANG X T，et al.Design optimization of hybrid uncertain structures with fuzzy-boundary interval variables[J].International Journal of Mechanics and Materials in Design，2021，17（1）：201-224.

[19]CAI B H，SHANGGUAN W B，LYU H.An efficient analysis and optimization method for the powertrain mounting system with hybrid random and interval uncertainties[J].Engineering Optimization，2019，52（9）：1522-1541.

[20]XIN F L，QIAN L J，DU H P，et al.Multi-objective robust optimization design for powertrain mount system of electric vehicles[J].Journal of Low Frequency Noise Vibration and Active Control，2017，36（3）：243-260.