杜景南，黃德春，程 文

(1.河海大學(xué)商學(xué)院，江蘇南京 211100； 2.中國華融資產(chǎn)管理股份有限公司，北京 100033)

一、引 言

基于預(yù)防性努力的投資決策是規(guī)避金融風(fēng)險的重要行為，Ehrlich等的開創(chuàng)性工作提出個體的自我預(yù)防性投資決策問題，他們從自我保險問題中分離出預(yù)防性投資問題并對其進行經(jīng)濟學(xué)分析[1]。預(yù)防性投資降低壞的事件結(jié)果或財富損失事件發(fā)生的概率，同時也提高好的事件結(jié)果發(fā)生的概率，而且預(yù)防性投資減少所有發(fā)生的損失結(jié)果的大小。預(yù)防性投資的經(jīng)濟模型考慮的是減少壞的事件發(fā)生概率所獲得的收益與減少所有事件結(jié)果效用的成本之間的權(quán)衡。在風(fēng)險決策理論中，預(yù)防性投資是風(fēng)險管理的基本策略之一。Courbage等分析背景風(fēng)險的各種配置策略，并且在兩期模型里對個體的預(yù)防活動建立數(shù)學(xué)模型，論證個體的最優(yōu)預(yù)防行為與背景風(fēng)險的特性和效用函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)[2]。Menegatti討論背景風(fēng)險和自我保護努力投資之間的聯(lián)系，并且論證如果個體的風(fēng)險偏好是謹(jǐn)慎的，那么在引入具有可加性的背景風(fēng)險時會增大個體自我保護努力投資[3]。田國強等對當(dāng)前高階風(fēng)險厭惡理論的前沿發(fā)展、實驗證據(jù)以及相關(guān)應(yīng)用進行了梳理和評述[4]。在一維效用模型里，Eeckhoudt 等提出關(guān)于個體支出預(yù)防費用以減小損失風(fēng)險發(fā)生的概率的兩期模型，并且導(dǎo)出獨立的背景風(fēng)險的引入或惡化將會使他增加其預(yù)防性投資的個體風(fēng)險偏好條件[5]。田有功等驗證了更加風(fēng)險厭惡的個體總是投資更多的預(yù)防性努力活動[6]?；贘indapon等的建模方法[7]，Chuang 等分析個體付出努力增加好的風(fēng)險分布的概率的情況，他們的研究結(jié)果表明：當(dāng)個體努力的成本是非貨幣時，他做出更多的努力投資；當(dāng)個體的努力成本是貨幣時，將會產(chǎn)生更多的努力投資行為[8](1)筆者采用經(jīng)濟學(xué)中期望效用理論反映決策者的風(fēng)險偏好特征。。

此次研究目的是在二維風(fēng)險模型里，分析個體的二維風(fēng)險厭惡和相關(guān)性風(fēng)險厭惡行為對個體的最優(yōu)預(yù)防決策的影響。首先，值得注意的是學(xué)者前期的工作是在具有一個參數(shù)的效用函數(shù)的框架里進行的。然而，因經(jīng)濟環(huán)境的多維度性，即個體面臨幾種來源的風(fēng)險并且他的效用依賴于幾種指標(biāo)如財富變量和背景變量。在二維效用模型里，筆者分析個體的二維混合風(fēng)險厭惡行為對其努力投資決策的影響。其次，大多數(shù)學(xué)者已經(jīng)注意到背景風(fēng)險在個體的努力投資決策問題的研究中的作用，但是他們通常將財富風(fēng)險和背景風(fēng)險視為相互獨立的關(guān)系。筆者將相關(guān)性風(fēng)險厭惡行為引入到對個體的努力投資決策的研究中。再次，筆者觀察到經(jīng)濟系統(tǒng)的變化通常包含一些變量的同時不確定性因素。最后，使用具有風(fēng)險相關(guān)性結(jié)構(gòu)的4-狀態(tài)抽獎模型，筆者討論個體的相關(guān)性背景風(fēng)險厭惡行為對其努力投資決策的影響。

二、風(fēng)險相關(guān)性和混合風(fēng)險厭惡

首先給出風(fēng)險相關(guān)性結(jié)構(gòu)和相關(guān)性厭惡(correlation aversion)的概念，并推導(dǎo)關(guān)于決策者的風(fēng)險偏好的初步結(jié)論。

設(shè)二維von Neumann-Morgenstern效用函數(shù)u(x,y)，(x,y)∈[a,b]×[c,d]表示決策者的風(fēng)險偏好。假定對任意的非負(fù)整數(shù)k1和k2，函數(shù)u(x,y)的所有偏導(dǎo)數(shù)u(k1,k2)(x,y)= ?k1+k2u(x,y)/?xk1?yk2存在并且是連續(xù)的。給定兩個相互獨立的隨機變量X∈[a,b]和Y∈[c,d]，存在如下定理：

定理1下列的陳述是等價的：

(a)對獨立的風(fēng)險X和Y，不等式Eu(X,Y)≤Eu(X,EY)成立；

(b)對?(x,y),u(0,2)(x,y)≤0。

定理1表明決策者對Y≤0是風(fēng)險厭惡的，當(dāng)且僅當(dāng)二維效用函數(shù)u在它的第二個屬性上是凹的，即u(0,2)≤0。

當(dāng)這兩種風(fēng)險是依賴的和局部時，筆者首先獲得如下定理：

定理2對于局部的風(fēng)險X和Y，并且Cov(X,Y)≥0，如果u(0,2)(x,y)≤0和u(1,1)(x,y)≤0，?(x,y), 那么不等式Eu(X,Y)≤Eu(X,EY)成立。

(1)

由Taylor近似(1)可得

(2)

這里，Var(·)和Cov((·，·)分別是方差和協(xié)方差算子。由近似式(2)，可得出對于Cov(X,Y)≥0的局部風(fēng)險X和Y，如果u(0,2)≤0和u(1,1)≤0，那么Eu(X,Y)≤Eu(X,EY)。

Eeckhoudt等將u(1,1)≤0解釋為決策者是“相關(guān)性厭惡”的充要條件，指y越大則可以減輕對x降低的不利的影響[9]。定理2表明，當(dāng)兩種局部的風(fēng)險是正相關(guān)時，如果決策者在y上是風(fēng)險厭惡的(u(0,2)≤0)和相關(guān)性厭惡的(u(1,1)≤0)，那么他對Y是風(fēng)險厭惡的。

對于兩種依賴的局部風(fēng)險的情況，筆者得出如下定理：

定理3對于Cov(X,Y)≥0的依賴的局部風(fēng)險X和Y，如果u(0,2)(x,y)≤0，u(2,0)(x,y)≤0和u(1,1)(x,y)≤0，?(x,y), 那么不等式Eu(X,Y)≤u(EX,EY)成立。

證明：由在定理2的證明中效用函數(shù)u(x,y)的Taylor近似(1)可得：

上式推出對于Cov(X,Y)≥0的局部風(fēng)險X和Y，如滿足u(0,2)≤u(2,0)≤0和u(1,1)≤0，那么Eu(X,Y)≤u(EX,EY)。

定理3表明，對于具有正相關(guān)性的兩種局部風(fēng)險，如果決策者在x上是風(fēng)險厭惡的u(2,0)≤0，在y上是風(fēng)險厭惡的u(0,2)≤0以及相關(guān)性厭惡的u(1,1)≤0，那么他對(X,Y)是風(fēng)險厭惡的。

考慮對具有更強相關(guān)性的任何兩種風(fēng)險的風(fēng)險厭惡的情況。設(shè)F(x,y)表示X和Y的聯(lián)合分布，F(xiàn)X(x)和FY(y)分別表示它們的邊際分布。Lehmann[10]定義下列的變量隨機依賴的概念：

定義1 如果F(x,y)≥FX(x)FY(y)，?x,y，那么二維風(fēng)險(X,Y)是正象限依賴的，記為PQD(X,Y)。

定理4下列的表達是等價的：

(a)對于PQD(X,Y)，不等式Eu(X,Y)≤u(EX,EY)成立；

(b)對?(x,y),u(0,2)(x,y)≤0,u(2,0)(x,y)≤0和u(1,1)(x,y)≤0。

定理4揭示對于POD(X，Y)，決策者對(X，Y)是風(fēng)險厭惡的當(dāng)且僅當(dāng)他在x上是風(fēng)險厭惡的(u(2,0)≤0)，在y上是風(fēng)險厭惡的(u(0,2)≤0)以及是相關(guān)性厭惡的(u(1,1)≤0)。Li(2011)指出對于(POD)風(fēng)險，效用函數(shù)負(fù)的混合導(dǎo)數(shù)是控制相關(guān)性影響的必要條件。

三、努力的非貨幣成本模型

根據(jù)Chuang等[8]的基本模型，筆者在多個風(fēng)險的框架下對決策者的努力投資決策問題建模?？紤]兩種來源的風(fēng)險指標(biāo)：一種是內(nèi)生的財富或收入的隨機性風(fēng)險，稱之為金融風(fēng)險；另一種是外生的背景變量的風(fēng)險，即非金融風(fēng)險或背景風(fēng)險。

首先分析決策者具有非貨幣努力成本的情形。設(shè)θ(e)表示努力e的成本函數(shù)(效用度量)，并且θ(0)=0，θ′(e)≥0和θ″(e)≥0。決策者選擇努力水平e，為了最大化他的期望效用：

(3)

最大化問題(3)相應(yīng)的FOC(一階條件)是

(4)

(5)

(6)

當(dāng)兩種風(fēng)險是相互獨立時，由Courbage等研究在獨立風(fēng)險的情況下預(yù)防性儲蓄的方法[2]，獲得下列命題：

證明：關(guān)于初始背景變量指標(biāo)的不確定的影響，由(5)和優(yōu)化問題的凹性可得

關(guān)于最終背景變量指標(biāo)的不確定的影響，由(6)和目標(biāo)問題的凹性可得

命題1的解釋是顯而易見的。當(dāng)財富風(fēng)險和背景風(fēng)險是相互獨立時，對于背景變量風(fēng)險厭惡(u(0,2)≤0)的決策者，引入初始(目標(biāo))背景變量指標(biāo)的不確定性會增大(減小)決策者努力的邊際收益而不改變他的邊際成本。因此這樣的決策者將會付出更多(更少)的努力投資。

當(dāng)兩種風(fēng)險不是相互依賴的并是局部的風(fēng)險，根據(jù)在兩種局部的風(fēng)險的情況下Menegatti[3]研究預(yù)防性儲蓄問題的方法，筆者獲得命題如下：

(7)

(8)

當(dāng)兩種風(fēng)險是依賴的和局部的，與Menegatti[3]的預(yù)防性儲蓄的分析類似，筆者得到下面的命題：

證明：對于初始目標(biāo)的兩種變量指標(biāo)的不確定的聯(lián)合影響，由(7)和優(yōu)化問題的凹性可得：

對于最終目標(biāo)的兩種變量的不確定的聯(lián)合影響，由(8)和優(yōu)化問題的凹性可得：

和命題3相比，在命題4中的偏好條件對于保證初始(目標(biāo))的兩種PQD不確定性在決策者的努力上的正(負(fù))影響是必要和充分的。Li[11]論證PQD是一種比正相關(guān)性更強的隨機依賴關(guān)系。因此，在相同的偏好條件下，對于兩種局部風(fēng)險，正相關(guān)性保證更多或更少努力是足夠的，但是對于任意的兩種風(fēng)險，必須限定更強的風(fēng)險依賴結(jié)構(gòu)PQD。

四、努力的貨幣成本模型

繼續(xù)考慮轉(zhuǎn)向決策者的努力成本是貨幣的情形。決策者成本函數(shù)表示為c(e)，并且c(0)=0，c′(e)≥0和c″(e)≥0。那么，決策者的最大化目標(biāo)變?yōu)椋?/p>

(9)

優(yōu)化函數(shù)(9)的FOC是：

(10)

(11)

(12)

命題5假設(shè)努力的成本是貨幣的。對于獨立的兩種風(fēng)險，

(13)

為了簡化，定義一個二維函數(shù)：

當(dāng)u(0,2)≤0和u(1,2)≥0時, 可得出：

(14)

(15)

定義二維效用函數(shù)：

有：u(0,2)≤0和u(1,2)≥0?g(0,2)(x,y)≤0

(16)

對于兩種依賴的局部的風(fēng)險，獲得下列的命題：

命題6假設(shè)努力的成本是貨幣的。

當(dāng)u(1,1)≤0和u(2,1)≥0, 有

(17)

有

u(1,1)≤0和u(2,1)≥0?g(1,1)(x,y)≤0 (18)

Eeckhoudt等解釋u2,1≥0為決策者是背景變量混合謹(jǐn)慎的必要和充分條件，其意味著更高的背景變量取值水平將減輕財富風(fēng)險的不利影響[13]。Au(x,y)[(2,1)/(1,1)]=-u(2,1)/u(1,1)是背景變量混合謹(jǐn)慎的強度測度。對于初始的兩種正相關(guān)的局部風(fēng)險，混合謹(jǐn)慎測度Au(x,y)[(1,2)/(0,2)]≤K1和Au(x,y)[(2,1)/(1,1)]≤K1推出具有在命題6(a)中的偏好的決策者將會做出更多的努力投資。對于最終的兩種具有正相關(guān)性的局部風(fēng)險，具有在命題6(b)中的偏好的決策者會做出更少的努力投資。由于風(fēng)險之間的依賴性，故在命題6中需要更多的風(fēng)險偏好限定條件。

(19)

(20)

對于兩種相關(guān)的局部風(fēng)險，筆者有如下的命題：

命題7假設(shè)努力的成本是貨幣的。

當(dāng)u(2,0)≤0和u(3,0)≥0, 我們有

(22)

(23)

有u(2,0)≤0和u(3,0)≥0?g(2,0)(x,y)≤0

(24)

Au(x,y)[(3,0)/(2,0)]=-u(3,0)/u(2,0)是財富變量謹(jǐn)慎的強度測度。命題7的解釋如下。在初始的正相關(guān)的兩種局部風(fēng)險下，對于具有在命題7(a)中的風(fēng)險偏好的決策者，混合謹(jǐn)慎測度Au(x,y)[(1,2)/(0,2)]≤K1和謹(jǐn)慎測度Au(x,y)[(2,1)/(1,1)]≤K1分別直接控制這兩種風(fēng)險在決策者的努力投資決策上正的影響，混合謹(jǐn)慎測度Au(x,y)[(2,1)/(1,1)]≤K1導(dǎo)出這兩種不確定的相互影響會重疊加強這些影響。因此，決策者總是做出更大的努力投資。在最終目標(biāo)的兩種正相關(guān)局部風(fēng)險下，u(0,2)≤0，u(2,0)≤0和u(1,1)≤0引起決策者的邊際收益減小，然而u(1,2)≥0，u(2,1)≥0和u(3,0)≥0引起他的邊際成本增大。因此，決策者將做出更小的努力投資。

繼續(xù)分析更強的PQD風(fēng)險對決策者的努力投資行為的影響并得出如下命題：

命題8假設(shè)努力的成本是貨幣的。

和命題7相比，易知對于兩種PQD風(fēng)險的情況，在命題8中決策者的偏好條件對于保證他的更大(小)的努力投資行為是充分的。

五、結(jié) 論

筆者研究在二維效用模型里在財富風(fēng)險和背景風(fēng)險下決策者的努力行為決策問題。在存在其他風(fēng)險時，筆者給出了保證背景變量的不確定性在決策者的努力上正或負(fù)的影響的偏好條件。在財富變量和背景變量兩種不確定性的同時共存的環(huán)境下，筆者討論當(dāng)這兩種風(fēng)險是局部的或正象限依賴時，兩種變量的不確定對決策者的努力行為的聯(lián)合效應(yīng)。筆者給出在相關(guān)性背景風(fēng)險的環(huán)境下理性的決策者的最優(yōu)努力投資行為的混合風(fēng)險偏好條件。筆者研究在不確定性下影響決策者最優(yōu)努力投資的不同風(fēng)險的來源，并且發(fā)現(xiàn)兩種風(fēng)險之間的依賴結(jié)構(gòu)在他的努力決策中扮演著重要的角色。筆者的工作將Chuang等[8，14]提出的決策者的努力決策模型擴展到二維風(fēng)險的框架，研究結(jié)果表明，當(dāng)混合風(fēng)險加劇或其相關(guān)性增大時，風(fēng)險厭惡的決策者會做出更多的預(yù)防性努力投資規(guī)避混合風(fēng)險。筆者對二維不確定性下最優(yōu)努力決策問題提出一些新的見解,進一步完善了風(fēng)險厭惡理論的分析內(nèi)容，在一定程度上解釋了傳統(tǒng)風(fēng)險厭惡理論無法解釋的一些經(jīng)濟現(xiàn)實、金融行為和現(xiàn)象，為防范化解重大金融風(fēng)險提供了理論支撐。