安徽省蕪湖市第一中學(241000) 劉海濤

廣東省信宜市信宜中學(525300) 何浩成

直角坐標系與極坐標系是研究解析幾何問題的兩個基本的坐標系統(tǒng)[1],直角坐標系的橫、縱坐標實質(zhì)為用正交分量表示點的位置,極坐標系中的極徑與極角實質(zhì)為用長度與角度表示點的方位,兩者都將平面內(nèi)的點集與具有豐富幾何意義的有序數(shù)對建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.筆者實踐發(fā)現(xiàn),在解決一些直角坐標系下的二元最值問題時,若采用極坐標換元的方法,則可以將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于極角的三角函數(shù)問題,降低問題的難度,精簡解題的過程,達到事半功倍的效果.

1.條件式為(ax+b)(cy+d)=m 的二元最值問題

例1若正實數(shù)x,y滿足xy-2x-y=6,則xy的最小值為____.

解析由xy -2x-y= 6, 得(x-1)(y -2)= 8, 設(shè)x -1 =ρcosθ,y -2 =ρsⅰnθ(ρ ＞0, 0＜θ ＜則ρ2sⅰnθcosθ=8,即ρ=則有x=1,y=+2,所以

例2[2]設(shè)x,y ∈R, 且滿足4x+y+2xy+1 = 0,則x2+y2+x+4y的最小值為____.

解析由4x+y+2xy+1=0,得(2x+1)(y+2)=1,設(shè)2x+1 =ρcosθ,y+2 =ρsⅰnθ(ρ ＞0),則ρ2sⅰnθcosθ= 1,所以

小結(jié)一般地,若已知實數(shù)x,y滿足(ax+b)(cy+d)=m(a,b,c,d,m均為非零實數(shù)),求二元函數(shù)f(x,y)的最值,則設(shè)ax+b=ρcosθ,cy+d=ρsⅰnθ.

2.條件式為(ax+by)(cx+dy)=m 的二元最值問題

例3已知實數(shù)x,y滿足5x2-y2-4xy=5,則2x2+y2的最小值等于( )

解析由5x2-y2-4xy= 5,得(5x+y)(x-y)= 5,設(shè)5x+y=ρcosθ,x-y=ρsⅰnθ(ρ ＞0,0＜θ ＜),則ρ2sⅰnθcosθ=5,即ρ=則

所以

當且僅當9sⅰn2θ= cos2θ,即sⅰnθ=時等號成立,則2x2+y2的最小值為故答案選A.

例4已知正實數(shù)x,y滿足2x2+2y2+5xy= 1, 則x+y的最大值為____.

解析由2x2+2y2+5xy=1,得(2x+y)(x+2y)=1,設(shè)2x+y=ρcosθ,x+2y=ρsⅰnθ(ρ ＞0, 0＜θ ＜則ρ2sⅰnθcosθ= 1, 即ρ=所 以x+y=當且僅當sⅰnθ=cosθ,即θ=時等號成立,則x+y的最大值為

小結(jié)一般地,若已知實數(shù)x,y滿足(ax+by)(cx+dy)=m(a,b,c,d,m均為非零實數(shù), 且ad /=bc), 求二元函數(shù)f(x,y)的最值,則設(shè)ax+by=ρcosθ,cx+dy=ρsⅰnθ.

3.條件式為(ax+by)2+(cx+dy)2 =m 的二元最值問題

例5若正數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=9,則x+2y的最大值為____.

解法1(三角換元)由x2+y2+xy=9,得(x+=3 sⅰnθ(0＜θ ＜x= 3 cosθ-則x+2y= 3 cosθ+當且僅當θ=時等號成立,所以x+2y的最大值6.

解法2(極坐標換元)設(shè)x=ρcosθ,y=ρsⅰnθ(ρ ＞0, 0＜ θ ＜), 則ρ2+ρ2sⅰnθcosθ= 9, 即ρ=所以

當且僅當cosθ=0,即θ=時等號成立,所以x+2y的最大值為6.

例6[3]已知x,y ∈R,且滿足x2+4y2+2xy= 6,求x2+4y2的最值.

解 法1(三角換元)由x2+ 4y2+ 2xy= 6, 得則則

當θ=+kπ(k ∈Z)時x2+ 4y2取到最小值4, 當θ=+kπ(k ∈Z)時x2+4y2取到最大值12.

解法2(極坐標換元)設(shè)x=ρcosθ,y=ρsⅰnθ(ρ ＞0),則ρ2(4sⅰn2θ+2 sⅰnθcosθ+cos2θ)=6,所以

其中令t= 2 tanθ ∈R.因為所以x2+4y2∈[4,12],所以x2+4y2的最小值為4,最大值為12.

評注對于條件式為(ax+by)2+ (cx+dy)2=m(a,b,c,d,m均為非零實數(shù), 且ad /=bc)的二元問題, 雖然三角換元已可以將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,但是極坐標換元法可以發(fā)散解題思維,實現(xiàn)一題多解.

4.條件式為=1 的二元最值問題

例7已知正實數(shù)x,y滿足= 1, 求x+y的最小值.

解析設(shè)x+ 2 =ρcosθ,x+ 2y=ρsⅰnθ(ρ ＞0,

0＜θ ＜則所以

例8已知正實數(shù)x,y滿足= 1,求x+4y的最小值.

解析設(shè)x+2y=ρcosθ,y=ρsⅰnθ(ρ ＞0,0＜θ ＜則所以

小結(jié)一般地, 若已知實數(shù)x,y滿足= 1(a,b,c,d,m,n均為非零實數(shù), 且ad /=bc), 求二元函數(shù)f(x,y)的最值,則設(shè)ax+by=ρcosθ,cx+dy=ρsⅰnθ.

5.綜合問題

例9設(shè)正數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2=z,當取最大值時,求的最大值.

解析設(shè)x=ρcosθ,y=ρsⅰnθ(ρ ＞0,0＜θ ＜),則

本文介紹的通過極坐標換元,將二元方程條件下求二元最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于極角的三角函數(shù)題,為我們提供了一種新的求二元最值方法,但是同學們在日常學習中,要結(jié)合自身掌握程度和實際情況,選擇最佳的求解方法,不要一味追求某一種解法, 要學會從不同解法中汲取不同的數(shù)學思想,提高自身的數(shù)學核心素養(yǎng)[4].