廣州市教育研究院(510030) 陳鎮(zhèn)民

一、引言

數(shù)列知識(shí)是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.數(shù)列問(wèn)題以其多變的形式和靈活的解題方法倍受高考命題者的青睞,是高考命題的“熱點(diǎn)”.其中迭代法,累加法,待定系數(shù)法和數(shù)學(xué)歸納法是求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法.高考中數(shù)列問(wèn)題已逐步轉(zhuǎn)向多元化,其命題形式多樣,解題思路靈活.下面結(jié)合2021年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷數(shù)學(xué)第17 題數(shù)列模型特點(diǎn),探索出這類問(wèn)題求解的一般方法并進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?同時(shí)談?wù)剬?duì)我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示.

二、題目與解答賞析

題目(2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第17 題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=

(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求{an}前20 項(xiàng)的和.

(一)第(1)問(wèn)解答賞析

本試題第(1)問(wèn)的求解任務(wù)有兩項(xiàng): 首先是在已知條件下,對(duì)新定義的數(shù)列bn=a2n,要求先寫出b1,b2的值(即特殊項(xiàng));然后再求解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式(即一般式).求解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式一般有兩種處理方法: 一是采用演繹推理方法;二是采用歸納—猜想—證明(數(shù)學(xué)歸納法)的方法.

解法1(演繹推理法): 由題設(shè)得b1=a2=a1+1 = 2,b2=a4=a3+1=(a2+2)+1=5.a2n+2=a2n+1+1=(a2n+2)+1=a2n+3.因?yàn)閎n=a2n,所以bn+1=bn+3,即{bn}是以b1= 2 為首項(xiàng), 公差為3 的等差數(shù)列.所以bn=2+3(n-1)=3n-1.

解法2(演繹推理法): 由題設(shè)得b1=a2=a1+1 = 2,b2=a4=a3+ 1 = (a2+2)+ 1 = 5.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2=an+1+ 1 = (an+2)+ 1 =an+ 3, 所以an=

解法3(歸納—猜想—證明)由題設(shè)得b1=a2=a1+1 = 2,b2=a4=a3+1 = (a2+2)+1 = 2+3 = 5,b3=a6=a5+ 1 = (a4+2)+ 1 = 5 + 3 = 8.猜測(cè)bn=2+3(n-1)=3n-1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明: ①當(dāng)n= 1 時(shí),b1= 2 =3×1-1, 顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k ∈N*)時(shí)成立,即bk= 3k-1.則當(dāng)n=k+1 時(shí),bk+1=a2k+2=a2k+1+1=(a2k+2)+1=a2k+3=bk+3=3(k+1)-1成立.所以bn=3n-1.

(二)第(2)問(wèn)解答賞析

本試題第(2)問(wèn)是求數(shù)列{an}的前20 項(xiàng)的和,一般有兩種處理方法: 一是采用演繹推理的方法研究數(shù)列{an}的通項(xiàng)的特點(diǎn)然后再求和(解法1～解法3);二是采用完全歸納的方法把數(shù)列{an}的前20 項(xiàng)都求出來(lái)再求和(解法4).

解法1由(1)知a2n=3n-1,a2n-1=a2n-1=3n-2.所以{an}的前20 項(xiàng)和為

解法2由(1)知a2n=3n-1,a2n-1=a2n-1=3n-2.設(shè){an}的前20 項(xiàng)和為S20,

解法3由(1)知a2n=3n-1,a2n-1=a2n-1=3n-2,則a2n-1+a2n=6n-3.設(shè){an}的前20 項(xiàng)和為S20,

解法4a1=1,a3=4,a5=7,a7=10,a9=13,a11=16,a13= 19,a15= 22,a17= 25,a19= 28,a2= 2,a4=5,a6= 8,a8= 11,a10= 14,a12= 17,a14= 20,a16=23,a18=26,a20=29.設(shè){an}的前20 項(xiàng)和為S20,

三、解題的新視角

對(duì)于本題所提供的數(shù)列遞推模型,我們不禁要問(wèn): 能否把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式求解出來(lái)? 若能,本題的兩個(gè)設(shè)問(wèn)就可以一并解決.筆者提供一個(gè)解題的新視角,供讀者參考.

由an+1=則

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=×(-1)n,其前n項(xiàng)和

從而bn=a2n== 3n -1,S20=×(1-1)=300.

說(shuō)明數(shù)列{(-1)n}是首項(xiàng)為-1,公比為-1 的等比數(shù)列.

四、試題的根源及拓展

鑒于文理不分卷,且第17 題是解答題的起點(diǎn)題,命題者充分考慮到讓不同水平的考生可以獲得不同的分?jǐn)?shù),因而設(shè)計(jì)了兩問(wèn),且第(1)問(wèn)先要求寫出兩個(gè)特殊項(xiàng)的值,然后再求通項(xiàng)公式,大大降低了試題的難度,讓大部分考生可以獲得一定的分?jǐn)?shù).命題者為了不落俗套,在已知條件中給出數(shù)列新的遞推模型an+1

該模型的本質(zhì)就是遞推關(guān)系an+1=an+×(-1)n,這就是該模型的根與源.受新視角所提供的解法的啟發(fā),我們可以把試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝卣寡由?

拓展1已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(p,q為常數(shù),p/=0,q /=0).

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由an+1=得an+1=an+×(-1)n, 即an+1-an=(-1)n.則

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

拓展2已知數(shù)列{an}滿足an+1=求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由an+1=得an+1=×(-1)n,即an+1-an=n+×(-1)n.

則

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=×(-1)n-1.

拓展3已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由題設(shè)得an+1= 2an+×(-1)n, 即an+1+×(-1)n],則數(shù)列{是以a1+為首項(xiàng),公比為2 的等比數(shù)列,所以an=×(-1)n.

進(jìn)一步地,對(duì)于遞推關(guān)系式為

an+1=(p為常數(shù),且p/=0),或者

an+1=(p,s,t都為不等于0 的常數(shù)),同樣可以求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,限于篇幅,留給讀者去研究.

五、教學(xué)的啟示

從閱卷結(jié)果可以看出, 大部分考生在第(1)問(wèn)求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)錯(cuò)誤類型多種多樣, 導(dǎo)致零分率較高, 主要錯(cuò)因有: 第一是審題不周, 錯(cuò)誤的求出b1=a2=a1+2 = 3,從而后面的求解都出錯(cuò); 第二是概念的理解不到位, 如由b3-b2=b2-b1=3 或者由2b2=b1+b3,就下結(jié)論: 數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;第三是沒有熟練掌握在求解數(shù)列問(wèn)題(特別是求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式)時(shí),可以適當(dāng)考慮用“歸納—猜想—證明”的方法來(lái)解決問(wèn)題.

針對(duì)評(píng)卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生答題存在的問(wèn)題,建議在教學(xué)中要注意做到以下幾點(diǎn).

1.加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué).在概念教學(xué)中,應(yīng)注意以下幾點(diǎn): 第一,提出概念的各種不同例子(正例)以促進(jìn)概括;第二,舉出不同的但和概念有關(guān)的例子(正例)幫助辨別;第三,提出不是概念的例子(反例)以促進(jìn)辨別和概括;第四,設(shè)計(jì)運(yùn)用概念解題情境, 提升對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的理解,形成概念系統(tǒng).

2.重視邏輯推理素養(yǎng)的達(dá)成.解題教學(xué)是邏輯推理素養(yǎng)達(dá)成的主要途徑之一,在教學(xué)中,要重視學(xué)生解題教學(xué)活動(dòng)的高參與度,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題活動(dòng)加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與系統(tǒng)掌握,提升邏輯推理能力.更重要的是教師要多讓學(xué)生想(思維參與),不是僅告知學(xué)生怎么解,而是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法,讓學(xué)生知道為什么要這樣解;不要以解題方法多為出發(fā)點(diǎn),而是要以為什么想到這個(gè)方法為落腳點(diǎn).