廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 馬紅芳 李勇剛

在教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題: 很多同一個(gè)本質(zhì)的問(wèn)題改變了問(wèn)題的呈現(xiàn)形式,學(xué)生就會(huì)覺(jué)得很困難,不會(huì)處理.如何解決這個(gè)問(wèn)題? 筆者在教學(xué)中嘗試通過(guò)變式教學(xué)去解決.首先引導(dǎo)學(xué)生掌握解決這類(lèi)問(wèn)題源問(wèn)題的處理方法,然后通過(guò)變式,一方面讓學(xué)生看到同樣一個(gè)知識(shí)背景的不同呈現(xiàn)形式,學(xué)會(huì)透過(guò)不同的形式看到所研究問(wèn)題的本質(zhì);另一方面通過(guò)變式層層深入,讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有更深刻全面的認(rèn)識(shí),以期達(dá)到更好的教學(xué)效果.

本文首先是給出用切線(xiàn)解決直線(xiàn)和曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)距離最小值問(wèn)題的一個(gè)最基本的原型,通過(guò)一題多變,讓學(xué)生看到很多看起來(lái)不同形式的問(wèn)題,通過(guò)文字語(yǔ)言,圖形語(yǔ)言以及數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化,可以化歸為熟知的源問(wèn)題.

例1已知點(diǎn)P在函數(shù)f(x)= ex的圖像上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在直線(xiàn)y=x上運(yùn)動(dòng),求|PQ|的最小值.

解析對(duì)函數(shù)f(x)= ex的圖像上的給定點(diǎn)P,點(diǎn)P與直線(xiàn)y=x上點(diǎn)的距離的最小值即點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x的距離,故|PQ|的最小值即點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x的最小距離.根據(jù)函數(shù)f(x)= ex的圖像可知,把直線(xiàn)y=x平移到與函數(shù)f(x)= ex的圖像相切時(shí),切點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的距離即是函數(shù)f(x)=ex的圖像上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的最小距離.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(a,ea), 則該處切線(xiàn)的 斜 率f′(a)=f′(x)|x=a=ex|x=a= ea= 1, 所以a= 0, 故切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1), 所以|PQ|mⅰn=

變式1已知點(diǎn)P在函數(shù)y=ex的圖像上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在函數(shù)y= lnx的圖像上運(yùn)動(dòng),求|PQ|的最小值.

圖1

分析注意到函數(shù)y= ex與函數(shù)y= lnx互為反函數(shù),故它們的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),故|PQ|的最小值即是函數(shù)y=ex的圖像上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=x最小距離的2 倍.

變式2已知點(diǎn)P在函數(shù)y=x2+1(x≥0)的圖像上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在函數(shù)y=的圖像上運(yùn)動(dòng),求|PQ|的最小值.

分析函數(shù)y=x2+1(x≥0)與函數(shù)互為反函數(shù),故它們的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),所以|PQ|的最小值即是函數(shù)y=x2+1(x≥0)的圖像上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=x最小距離的2 倍.

變式3直線(xiàn)y=a與函數(shù)y=x2-lnx的圖像和直線(xiàn)y=x-2 分別交于點(diǎn)P,Q,求|PQ|的最小值.

圖2

分析先畫(huà)出函數(shù)y=x2-lnx的圖像, 以及直線(xiàn)y=x-2,y=a,則若要|PQ|小,則P點(diǎn)應(yīng)取直線(xiàn)y=a與y=x2-lnx的圖像右邊的交點(diǎn), 注意到y(tǒng)=a和直線(xiàn)y=x-2 總成45°角,|PQ|是水平距離,|PQ|和P到直線(xiàn)y=x-2 距離之比始終為定值故求|PQ|的最小值可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x2-lnx的圖像上的點(diǎn)和直線(xiàn)y=x-2上點(diǎn)距離的最小值,解決方法與例1 方法完全相同.

變式4已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足= 1,其中e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求(a-c)2+(b-d)2的最小值.

分析= 1 即b=a-2ea,d= 2-c,故點(diǎn)P(a,b)是函數(shù)y=x-2ex圖像上一點(diǎn),點(diǎn)Q(c,d)是函數(shù)y=2-x圖像上一點(diǎn).因?yàn)?a-c)2+(b-d)2=|PQ|2,故問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是求函數(shù)y=x-2ex圖像上一點(diǎn)與直線(xiàn)y=2-x上一點(diǎn)距離的最小值,與例1 方法完全相同.

注這題是用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)點(diǎn)在曲線(xiàn)上、點(diǎn)在直線(xiàn)上、以及兩點(diǎn)間的距離.

變式5若不等式(x-a)2+(x-lna)2＞m對(duì)任意的x ∈R,a ＞0 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析(x-a)2+(x-lna)2的幾何意義是點(diǎn)(x,x)和點(diǎn)(a,lna)距離的平方, 點(diǎn)(x,x)在直線(xiàn)y=x上運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)(a,lna)在曲線(xiàn)y=lnx上運(yùn)動(dòng),所以(x-a)2+(x-lna)2也表示直線(xiàn)y=x上的點(diǎn)和曲線(xiàn)y= lnx上的點(diǎn)的距離的平方,而(x-a)2+(x-lna)2＞m對(duì)任意的x ∈R,a ＞0恒成立,即[(x-a)2+(x-lna)2]mⅰn＞m,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求y=x上的點(diǎn)和曲線(xiàn)y=lnx上的點(diǎn)的距離的最小值.

變式6已知函數(shù)f(x)=(x-a)2+(lnx2-2a)2,其中x ＞0,a ∈R,若存在x0,使得f(x0)≤成立,求實(shí)數(shù)a的值.

分析(x-a)2+(lnx2-2a)2的幾何意義是點(diǎn)(x,lnx2)和點(diǎn)(a,2a)距離的平方, 這題和上題的區(qū)別在于: 題目要求a的值, 說(shuō)明點(diǎn)(a,2a)應(yīng)該是個(gè)定點(diǎn), 但這個(gè)定點(diǎn)在直線(xiàn)y= 2x上, 點(diǎn)(x,lnx2)(x ＞0)在曲線(xiàn)y= 2 lnx(x ＞0)上運(yùn)動(dòng), 所以(x-a)2+(lnx2-2a)2表示直線(xiàn)y= 2x上的定點(diǎn)(a,2a)和曲線(xiàn)y=2 lnx上的點(diǎn)的距離的平方.

圖3

存在x0＞0,使得f(x0)≤成立,即

用例1 一樣的方法,我們可以求出直線(xiàn)y= 2x上的點(diǎn)與曲線(xiàn)y=2 lnx上的點(diǎn)的距離的平方的最小值剛好是所以

因 此[(x-a)2+(lnx2-2a)2]mⅰn=當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)(x,lnx2)取如圖所示的A點(diǎn), 點(diǎn)(a,2a)為D(D為 過(guò)切點(diǎn)A作直線(xiàn)y= 2x垂線(xiàn)的垂足)點(diǎn)時(shí), (x-a)2+于是只要求出A點(diǎn)坐標(biāo),利用kAD ×2 =-1 即可求出a的值.

利用切線(xiàn)求最小距離問(wèn)題的最本源的問(wèn)題是已知一條定直線(xiàn)和一個(gè)定曲線(xiàn),求直線(xiàn)和曲線(xiàn)上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值.其方法是通過(guò)將直線(xiàn)平移,移到和曲線(xiàn)相切,切點(diǎn)到原來(lái)直線(xiàn)的距離即是直線(xiàn)上點(diǎn)和曲線(xiàn)上點(diǎn)的最小距離.這個(gè)問(wèn)題的解決方法同學(xué)們是很容易掌握的,但是有些問(wèn)題本質(zhì)是用這個(gè)方法去解決,只是改變了題目條件或者所求目標(biāo)的呈現(xiàn)形式,很多同學(xué)就不會(huì)處理.筆者認(rèn)為產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)重要原因,一就是對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠透徹,二是學(xué)生不善于把這些看起來(lái)陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)點(diǎn).從源問(wèn)題出發(fā),多角度多層次地變式,一方面讓學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)和方法有更深入的認(rèn)識(shí),另一方面也想引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中要善于進(jìn)行文字語(yǔ)言,圖形語(yǔ)言,數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化,從而能快速的把所見(jiàn)到的問(wèn)題與熟悉的問(wèn)題相鏈接,用熟悉的方法去解決.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移運(yùn)用能力,提高思維品質(zhì).這樣一種教學(xué)方法若要發(fā)揮出良好的效果,需要學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中打好扎實(shí)的基本功,教師教學(xué)的過(guò)程中要堅(jiān)持滲透轉(zhuǎn)化化歸的思想.通過(guò)不斷積累,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解也會(huì)逐漸清晰,從而走出困惑.