陜西省西安市第八十九中學(xué) (710003) 彭文靜

函數(shù)零點(diǎn)是連接函數(shù)與方程兩大問(wèn)題的橋梁，是高考復(fù)習(xí)的熱點(diǎn)問(wèn)題，該知識(shí)往往滲透于綜合題中，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力要求高.函數(shù)y=f(x)為零的自變量x的值即為函數(shù)的零點(diǎn)，即方程f(x)=0的根，也即y=f(x)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).其等價(jià)關(guān)系如圖：

函數(shù)零點(diǎn)的多角度分析過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，筆者以一道函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題為例從四個(gè)方面進(jìn)行剖析.

1、題目呈現(xiàn)

題目當(dāng)x∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)=xlnx+(1-k)x+k有唯一零點(diǎn)，求距離k最近的整數(shù).

2、具體解法

視角1：直接切入找零點(diǎn)，分類討論需謹(jǐn)慎

點(diǎn)評(píng)：該解法中依據(jù)k-2與0的大小關(guān)系，將參數(shù)k分兩種情況討論.其中在情形②中，f′(x)=lnx-k+2=0在(1,+∞)有且只有一個(gè)解，該方程為超越方程，則要“虛設(shè)”零點(diǎn)，設(shè)而不求，然后由函數(shù)f(x0)單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，憑號(hào)定論零點(diǎn)存在區(qū)間，這是解決該問(wèn)題的核心思想，最后就是利用二分法進(jìn)一步縮小根的存在區(qū)間，以此確定k的整數(shù)值.

視角2：函數(shù)角度求交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合顯直觀

圖1

點(diǎn)評(píng)：該方法清晰明快，避免了參數(shù)的分類討論，但找準(zhǔn)兩個(gè)基本函數(shù)是關(guān)鍵，一般以能畫出兩個(gè)函數(shù)圖像為原則，如本題中的下凸函數(shù)圖像和直線.

視角3：完全分參探性質(zhì)，研究最值是關(guān)鍵

圖2

圖3

視角4：“降維”變形巧構(gòu)造，等價(jià)轉(zhuǎn)化是本質(zhì)

函數(shù)零點(diǎn)是連接函數(shù)與方程兩大思想問(wèn)題的橋梁，而已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)唯一求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型之一，其本質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的應(yīng)用，涉及到的具體思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與劃歸思想.本題從四個(gè)不同視角分析零點(diǎn)唯一性問(wèn)題，解題方法迥異.其中，解法1直接切入普遍常規(guī)，學(xué)生易于著手，但解答完整還需較強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)功底及邏輯思維能力，其中找準(zhǔn)分類討論的切入點(diǎn)和解決超越方程的“隱零點(diǎn)”是兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；解法4進(jìn)行等價(jià)變形后直接分析新函數(shù)的性質(zhì)，本質(zhì)與解法1相同，但比解法1簡(jiǎn)單原因是沒(méi)有超越方程的出現(xiàn)，便于解決問(wèn)題.解法2分離參數(shù)操作簡(jiǎn)單，備受學(xué)生青睞，直接求分參后新函數(shù)的值域或最值即可，但缺點(diǎn)在于新函數(shù)的最值可能無(wú)法求得，需要借助于“洛必達(dá)法則”，亦或是新函數(shù)解析式過(guò)于復(fù)雜，無(wú)法進(jìn)行下去等等；解法3數(shù)形結(jié)合比較直觀，唯一零點(diǎn)找臨界可用切線法，但需要有較強(qiáng)的圖形分析能力.

由函數(shù)零點(diǎn)的唯一性進(jìn)而可以拓展到求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，其基本解決途徑如上，在做題過(guò)程中，對(duì)該四種解法的綜合評(píng)估、確定最優(yōu)解法的過(guò)程其實(shí)也是提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑.只要用心思考、靈活轉(zhuǎn)換，抓住導(dǎo)數(shù)性質(zhì)這一有力工具，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題將不再是難題.