浙江省安吉縣孝豐高級中學 (313300) 王 森

一、問題提出

美國數(shù)學家哈爾摩斯說過：“問題是數(shù)學的心臟．”《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年)也將“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”作為總的課程目標．因此，唯有源源不斷地提出有意義的問題才能保持數(shù)學經(jīng)久不衰的生命力．

數(shù)學課堂通常分為“概念課”、“習題課”、“復習課”等課型.習題課是高中數(shù)學教學中非常重要的課型，也是一線教師非常重視的教學環(huán)節(jié)．很多教師甚至認為習題課重于一切，把概念定理課都上成了習題課．然而，目前習題課普遍存在的一個問題是課堂上反復刷題，提高了學生解題的熟練度，但缺少提升學生思維能力的舉措．因此，在平時的數(shù)學習題課上，培養(yǎng)學生問題提出的習慣以及提升學生問題提出的能力就顯得極為重要．

然而一些教師對于問題提出還存在困擾，例如什么是問題提出？什么是問題提出教學？問題提出和提出問題有何本質區(qū)別？劉燦文曾指出：數(shù)學問題的提出有兩個主體，即教師與學生．教師以“問題”為載體，去激發(fā)學生積極思考、主動鉆研，教師舉一，學生反三，或提出自己的疑問，或創(chuàng)造新的關聯(lián)問題．在舉一反三的過程中，學生的積極性被激發(fā)，思維能力得到提升．哪怕學生在此過程中摔得很疼，但只要學生是主動思考、積極探索的，從學生長遠發(fā)展來看，這個過程依然很有意義[1]．

那么，如何培養(yǎng)學生提出問題的習慣，如何提升學生提出問題的能力？張輝榮等曾提出：問題提出教學知識是教師關于問題提出教學所必須知道的知識，同樣涉及到“教什么”、“教誰”、“怎么教”三個方面的內容[2]．筆者根據(jù)自己習題課課堂經(jīng)驗從問題提出的學生認知、問題提出的情境創(chuàng)設、問題提出的教學方法、問題提出的教學評價四個方面來談談問題提出教學在高中數(shù)學習題課中的實踐研究．

二、問題提出教學的案例分析

1.問題提出的學生認知

問題提出的學生認知指向的是教師關于“教誰”的知識．教學是共舞的藝術，教師和學生都是問題提出教學活動最直接的參與者．有效教學要基于學生的思維，因此，教師進行問題提出教學活動需事先了解學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，學生會不會提出問題，學生會提出什么樣的問題，所提出的問題是否有數(shù)學價值等．教師對學生問題提出知識的了解是教師問題提出教學活動開展的基本要求，能夠幫助教師在問題提出教學活動中，根據(jù)學生學習特點，設置符合學生認知發(fā)展的問題情境，預測學生所能提出的問題．

案例1“點差法”習題課

點評：學生在學習圓錐曲線后解決圓錐曲線的問題時，他們的認識：設而不求，韋達定理．教師在設置點差法這節(jié)習題課時，給出如上兩個引例，就要預設到學生的認識，可能提出設而不求解題方法．因此，教師需要了解學生的現(xiàn)有學習水平、思維特點，在了解的基礎上進行問題提出教學，即要將教學的重點由教師的“教”轉向學生的學，學生對問題的認知是教師進行問題提出教學做到心中有數(shù)的有效保障．

2.問題提出的情境創(chuàng)設

在課堂教學中，要引導學生提出高質量的數(shù)學問題，離不開教師對數(shù)學情境的精心創(chuàng)設．為此，教師必須具有豐富的問題提出情境知識，才能創(chuàng)設一個以問題驅動的課堂教學環(huán)境，讓學生感受到提出問題的必要性，并通過問題提出活動，增長數(shù)學知識，發(fā)展數(shù)學思維．

案例2“基本不等式”習題課

問題2 甲、乙、丙、丁四位同學分別給出了他們的各自的解法，哪位同學的解法正確？為什么？

究竟哪位同學解法正確？錯的同學，錯在哪？這四位同學的解法引發(fā)了學生的認知沖突.教師引導學生比較、思考、討論，在此基礎上，同學們還能想到什么問題？[3]

生1提出問題3 利用基本不等式求最值有什么條件？以上四種解法符合定理的使用條件嗎？如果不符合，你能通過轉化求解嗎？

生2提出問題4 我們在使用基本不等式應該注意些什么條件？

點評：在學習基本不等式習題課時，教師并沒有起始就給出基本不等式的三個條件：一正、二定、三相等，而是根據(jù)學生學習目標和學習內容的特定需要，把基本不等式中的的數(shù)學關系由已知變化為需要思考和探索的未知關系，并置于學生相關的現(xiàn)實背景中．這樣學生更容易理解基本不等式，并學會利用基本不等式解決實際問題．因此，在教學中，教師可選取多種情境表征方式，多樣化的表征方式可吸引學生積極主動提出問題，讓問題提出教學以更加豐富生動的形式展開，讓課堂煥發(fā)新的活力．

3.問題提出的教學方法

在問題提出的教與學中，學生是否能提出問題，離不開教師的教學組織和教學引導．因此，教師在問題提出教學中方法的運用尤為重要．教師的問題提出教學方法知識包含兩層含義：一是關于教學組織的知識，涉及課堂組織模式；二是關于教學引導的知識，包括教師促進課堂交流和指導學生提出問題的知識，有效促進學生提出問題，尤其是教師要注意給學生一個思考的方向，使學生形成提出數(shù)學問題的一個模式．

祝玉蘭等曾提出有關問題提出的教學方法的6大策略：因果策略、比較策略、擴大策略、極限策略、變化策略以及逆反策略[4]．筆者從擴大策略、變化策略分析下習題課中問題提出的教學方法研究．

3.1 擴大策略

特殊情況或現(xiàn)象中總結出的規(guī)律，推廣到更大范圍或一般情況還能成立嗎？這個規(guī)律是具有普遍性還是只適合于某些特殊情況？怎樣改動才可以應用到另外的情況？

案例3“圓錐曲線”習題課

師：生4解答的非常不錯，本題點A,B分別為橢圓的左右頂點，如果點A,B位置發(fā)生變化，會怎么樣呢？

師：我們發(fā)現(xiàn)點A,B只要關于橢圓的中心對稱，則結論不發(fā)生變化，那么在此基礎上，同學們還能提出什么問題嗎？

同學討論，最后得到kPA·kPB=e2-1(e為橢圓的離心率)．

師：非常好，同學們還能提出什么問題嗎？

同學猜想，并證明得到：kPA·kPB=e2-1(e為雙曲線的離心率)．

點評：通過圓錐曲線這節(jié)習題課的研究，讓同學們經(jīng)歷由特殊到一般，由舊的知識規(guī)律，通過問題的提出，逐漸發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律，從而達到思維的發(fā)散，能力的提升．

3.2 變化策略

還有沒有其它的結論？如果條件改變，結果會怎樣？

案例4“橢圓中參數(shù)取值范圍一般解法”習題課

師：以坐標為切入點，向量問題轉化為坐標問題，利用消元法，得到關于參數(shù)m的二次函數(shù)最值問題，是解決本題的切入點，上述方法是通行通法嗎？若改變條件，三種解法還適用嗎？你能提出相關的問題嗎？

點評：解析幾何中參數(shù)的取值范圍，是歷年高考的熱點．這類問題一般難度較大，原因是一方面這部分內容包含的容量大，涉及的知識面廣，綜合性強，靈活度高；另一方面，解決這類題目的方法多種多樣，技巧靈活多變．只要挖掘題目內含的本質關系，合理運用題目中相關量之間的關系．克服恐懼情緒，排除心理障礙，深刻揭示出這類題的本質，弄清思路，依據(jù)提設條件，合理建立關于參數(shù)的函數(shù)關系或不等關系(不等式或不等式組)，化多參數(shù)問題為單參數(shù)問題，就可確定參數(shù)的取值范圍．

4.問題提出的教學評價

問題提出教學評價是改進教學、提供及時反饋的有效手段．問題提出教學評價首先包括對學生提出問題能力評估的知識．問題提出教學不止步于學生提出問題，而是意在促進學生的數(shù)學學習，因此在學生提出問題后，教師需進行及時反饋評價，讓學生知道自己提出的問題怎樣，為學生下一次問題提出積累有效經(jīng)驗．

案例5基本不等式習題課

師：基本不等等號成立的條件是什么？

生15：三相等．

師：具體點．

師：此時x等于多少？

生15：x=2，哦我知道錯了．

師：同學們想想，此時基本不等式還成立嗎？怎么處理呢？

生16：采用對勾函數(shù)解決．

師：非常好！同學們還能提出相應的問題嗎？

…………

點評：該案例中教師不僅是簡單地對學生提出問題的價值性進行肯定，還對其提出的問題類型進行了歸納總結．教師對學生提出的問題進行本質內容的評價反饋，加深學生對問題提出的理解，引發(fā)學生對問題的思考，激活學生思維．

三、問題提出教學的反思

1.問題提出教學能夠促進學生對數(shù)學的理解

數(shù)學理解是對數(shù)學知識的本質、結構及與其相關知識間聯(lián)系的一種深刻把握，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)中的重要內容．問題是通往數(shù)學理解的重要途徑，以問題推動課堂教學，引領學生展開思維，能有效促進學生對數(shù)學的理解．

2.問題提出教學能夠改進學生解決數(shù)學的能力

問題教學課堂上，教師以“問題”為載體，去激發(fā)學生積極思考、主動鉆研，教師舉一，學生反三，或提出自己的疑問，或創(chuàng)造新的關聯(lián)問題．在舉一反三的過程中，學生的積極性被激發(fā)，思維能力得到提升．

3.問題提出教學能夠改進學生學習數(shù)學的態(tài)度

問題提出教學過程中，由于問題提出具有開放性、不確定性、自主性、多樣性等特點，改變原來習題課的刷題，增加熟悉度的特點，讓每一位學生通過問題的自主性、多樣性的積極參與到課堂中去，去感受數(shù)學，去理解數(shù)學，去熱愛數(shù)學．