福建省閩清縣第一中學(xué) (350800) 林 婷 林青松

數(shù)學(xué)課堂是由“預(yù)設(shè)”和“生成”兩個(gè)部分組成的.“預(yù)設(shè)”是教師根據(jù)學(xué)情和教學(xué)目標(biāo)有目的、有計(jì)劃地對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容所進(jìn)行的精心設(shè)計(jì)；“生成”是課堂預(yù)設(shè)的升華，使課堂教學(xué)“順學(xué)而導(dǎo)”，是教學(xué)生命力與真正價(jià)值所在.數(shù)學(xué)教學(xué)過程具有復(fù)雜多變性，需要教師具有敏銳的課程意識(shí)、足夠的教學(xué)智慧，寓有形的預(yù)設(shè)于無形的、動(dòng)態(tài)的課堂教學(xué)中，營(yíng)造出有利于學(xué)生發(fā)展的原生態(tài)課堂，為核心素養(yǎng)的落實(shí)找到出口與支點(diǎn)，從而完成數(shù)學(xué)教育立德樹人的目標(biāo).

1 運(yùn)用“問題導(dǎo)學(xué)”，在探究中生成

教材是嚴(yán)肅的、權(quán)威的，但并非“至圣”的金科玉律，如果照本宣科，就算再高明的教師，也是不可能把課上得很精彩.因此，教師應(yīng)潛心鉆研教材，在研究教材的基礎(chǔ)上遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，將教學(xué)內(nèi)容“問題化”，提出既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又具有探究?jī)r(jià)值的“問題”，通過師生之間對(duì)“問題”的互動(dòng)建構(gòu)與合作交流，提升學(xué)生的“問題”意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，從而促進(jìn)課堂生成.

案例1 人教A版必修第一冊(cè)“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”教學(xué)片斷(引導(dǎo)學(xué)生探究零點(diǎn)存在性定理)

問題1 函數(shù)f(x)=x5+2x-1存在零點(diǎn)嗎？如果存在，是多少？

師：數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)家們希望能像求解低次方程那樣去解高次方程，但經(jīng)過長(zhǎng)期的探索，都沒有得到解決.1824年，挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾(N.H.Abel，1802—1829)成功地證明了五次及以上的方程沒有根式解.那么，我們能否利用別的方法判斷函數(shù)有否零點(diǎn)呢？

生1：可利用函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷函數(shù)的零點(diǎn)．

圖1

問題2 圖1為某地區(qū)從0時(shí)到12時(shí)的溫度變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請(qǐng)用兩種不同的曲線將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象.在這段時(shí)間內(nèi)，是否一定有某時(shí)刻的溫度是0℃？為什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)“兩種方法”，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情.他們大膽嘗試、操作.—種、兩種、三種……，課堂出現(xiàn)了“未曾預(yù)約”的生成，其中包括在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有單一零點(diǎn)的函數(shù)圖象(單調(diào)或不單調(diào)的)，也有多個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)圖象.教師對(duì)學(xué)生的各種畫法進(jìn)行展示(限于篇幅，文中只給出圖2(1)、圖2(2)兩種連接方法).

圖2(1) 圖2(2)

問題3 若0時(shí)的溫度與12時(shí)的溫度都在零上(下)，是否一定有溫度為0℃的時(shí)刻？

問題4 對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)必存在零點(diǎn)嗎？

學(xué)生議論起來，一部分學(xué)生認(rèn)為“存在零點(diǎn)”，另一部分則回答“不一定”.

師：請(qǐng)大家舉例說明.

問題5 對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定有零點(diǎn)？

(教師運(yùn)用“問題導(dǎo)學(xué)”，讓學(xué)生經(jīng)過火熱的思考，水到渠成地獲得了函數(shù)零點(diǎn)存在定理.)

問題6 請(qǐng)舉例回答如下問題：

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)>0，則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)嗎？

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是否只有一個(gè)零點(diǎn)？

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，還需滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)？

(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn).是否必有f(a)·f(b)<0？

教師從“溫度曲線”這一生活常識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生直觀感受某個(gè)時(shí)間段上溫度的變化，“區(qū)間”、“連續(xù)不斷”、“異號(hào)”等要素一應(yīng)俱全，為學(xué)生提供了探究性學(xué)習(xí)的好素材.通過設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的“問題”引導(dǎo)學(xué)生探究，使學(xué)習(xí)過程成為在教師引領(lǐng)下“再創(chuàng)造”的過程，真正實(shí)現(xiàn)了“教教材”到“用教材教”.課堂靈動(dòng)充溢，順理成章地歸納、抽象、概括出問題的本質(zhì)屬性，生成了“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”，提升了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 善待錯(cuò)誤資源，在辨析中生成

教師在課堂教學(xué)中“有意”或“無意”的“錯(cuò)誤”，學(xué)生認(rèn)知過程中的偏差或失誤，我們稱之為教學(xué)中的“錯(cuò)誤資源”.由于學(xué)生的知識(shí)水平、思維方式等方面都存在著差異，課堂生成難免存在一定的偏頗與缺陷.教師應(yīng)樹立正確的“錯(cuò)誤”觀，并有效利用學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、討論，促使學(xué)生通過比較、分析、反思，不斷深化知識(shí)學(xué)習(xí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”.

案例2高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊(cè)“基本不等式的應(yīng)用”教學(xué)片斷

對(duì)于上述錯(cuò)解，若不加以詳細(xì)分析就將其束之高閣，必然會(huì)挫傷學(xué)生的自信心.因此教師因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從失敗走向成功.

解決了以上問題之后,教師圍繞問題特征引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究.

多好的生成性資源啊！在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)善于利用“錯(cuò)誤資源”，探尋錯(cuò)誤背后所隱含的教育價(jià)值，使之成為新的教學(xué)契機(jī).通過互動(dòng)交流，深度探究，促使學(xué)生在正確與錯(cuò)誤的矛盾中碰撞，引發(fā)知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的良性反應(yīng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn)，并從中審視與體驗(yàn)，幫助學(xué)生建構(gòu)起正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在“錯(cuò)誤—發(fā)現(xiàn)—探究—?dú)w真”的良性循環(huán)中提升思維品質(zhì)，涵育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3 引導(dǎo)反思評(píng)價(jià)，在感悟中生成

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程既需要有一個(gè)對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握、加工與理解的認(rèn)識(shí)過程，也需要有一個(gè)對(duì)該過程進(jìn)行積極的監(jiān)控、調(diào)節(jié)的反思過程.引導(dǎo)學(xué)生解后反思，對(duì)自己的思維過程進(jìn)行再驗(yàn)證、再認(rèn)識(shí)，在不斷地提出問題又不斷地解決問題的過程中，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而迸發(fā)思維的靈性，為演繹高效課堂、培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力創(chuàng)設(shè)良機(jī).

(這是我校高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元考試的一道填空題，題目不難，但錯(cuò)的很多.)

講評(píng)課上，教師請(qǐng)一位答錯(cuò)的學(xué)生說說如何得出結(jié)果.

生1：由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，因此f(0)=0，得lga=0，故a=1.

為了讓學(xué)生從根本上認(rèn)識(shí)錯(cuò)因，改正錯(cuò)誤，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：

反思1 求出a的值后，我們還應(yīng)該考慮什么？

“這結(jié)果與已知條件矛盾！”學(xué)生一臉疑惑：“利用f(0)=0怎么會(huì)出錯(cuò)呢？”

教師不動(dòng)聲色，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思：

反思2f(0)=0對(duì)所有奇函數(shù)都成立嗎？若不是，請(qǐng)舉出反例.

學(xué)生通過反思，體會(huì)到：由于函數(shù)f(x)中含有參數(shù)a，因此無法確定其定義域是否包含0.在未確定函數(shù)定義域是否含有0時(shí)，不能盲目應(yīng)用f(0)=0求參數(shù)的值.

反思4 滿足什么條件的函數(shù)才是奇函數(shù)呢？

反思5 本題對(duì)今后解決這一類問題有什么啟發(fā)呢？

生3：(1)解決函數(shù)問題應(yīng)該優(yōu)先考慮定義域，在a沒有確定的情況下，無法確定x=0是否在定義域內(nèi)；(2)判斷函數(shù)的奇偶性用定義求解最可靠.

師：非常好！由以上解法我們還可以得到一個(gè)啟示：對(duì)于等式恒成立問題，可以運(yùn)用待定系數(shù)法求解參變量的值.

案例3中，教師利用學(xué)生的錯(cuò)解作為反面教材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，通過相互交流，深層思考.師生在互動(dòng)對(duì)話中經(jīng)歷了從錯(cuò)誤走向正確認(rèn)識(shí)的過程，不僅加深了學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，而且能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)成為一種有目標(biāo)有策略的主動(dòng)行為，不斷地發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，生成新的問題的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，推動(dòng)學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)不斷走向深度學(xué)習(xí).

總之，只有合理、恰當(dāng)?shù)靥幚砗妙A(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，科學(xué)而藝術(shù)地把握動(dòng)態(tài)生成資源，使之成為學(xué)生掌握知識(shí)、培養(yǎng)情感、提升能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，才能打造出基于學(xué)生主體的孕育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué).