何桂添 呂慧君 唐國吉

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;微積分;教材

一、緒論

牛頓和萊布尼茨在三百年前奠定了微積分學(xué)的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)分析與代數(shù)構(gòu)成了枝繁葉茂的現(xiàn)代數(shù)學(xué)之樹的根基，使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)與非數(shù)學(xué)領(lǐng)域一直生機(jī)勃勃。《數(shù)學(xué)分析》課程是一門面向數(shù)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課，數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新思想，新應(yīng)用都源于這堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析的重要性不言而喻。在20世紀(jì)60年代后，我國開始自己編寫了一些數(shù)學(xué)分析的教材，這些教材基本上是蘇聯(lián)教材的簡化、修改。經(jīng)過多年的教材改革，目前國內(nèi)出版了許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)分析教材。其中華東師大數(shù)學(xué)系主編的《數(shù)學(xué)分析》是各高校使用比較多的分析教材。

在美國微積分是最大的一門課，美國共有5785所大學(xué)，總計(jì)約1600萬學(xué)生，這些學(xué)生當(dāng)中約有50萬人在大學(xué)第一學(xué)年要學(xué)習(xí)微積分，其中40萬人來自四年制的大學(xué)。數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科的學(xué)生都要學(xué)習(xí)微積分。本文擬通過國外使用最廣泛的數(shù)學(xué)分析或微積分教材進(jìn)行分析，概括國外數(shù)學(xué)分析或微積分教材的特點(diǎn)，并與我國教材作對比研究，探討國外數(shù)學(xué)分析教材中值得我們學(xué)習(xí)和借鑒的地方。國內(nèi)很多高校都要自己主編的《數(shù)學(xué)分析》教材，由于篇幅限制，本文主要選取華東師大數(shù)學(xué)系主編的《數(shù)學(xué)分析》教材以及復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《數(shù)學(xué)分析》教材為主要參照對比教材。國外教材主要選擇幾個經(jīng)典分析教材或微積分教材作為參照對比教材。如Canuto與Tabacco教授編寫的英文版《數(shù)學(xué)分析》，Stewart編寫的《微積分》以及俄羅斯數(shù)學(xué)家卓里奇編著的《數(shù)學(xué)分析》都可以當(dāng)作微積分教材的圭臬。本文通過各個《數(shù)學(xué)分析》教材的對比分析，給出教材的特點(diǎn)，方便教師教學(xué)或?qū)W生自學(xué)在選取教材時做出合理的選擇。

為方便敘述以及教材的直觀對比，我們通過表1給出中外《數(shù)學(xué)分析》教材章節(jié)內(nèi)容的安排。此外表2給出中外《數(shù)學(xué)分析》教材的一些指標(biāo)，包含教材的頁碼數(shù)，插圖數(shù)，例題數(shù)以及習(xí)題數(shù)。表2的教材的指標(biāo)僅供參考，讀者不必因?yàn)镾tewart編寫的《微積分》教材厚就以此為學(xué)習(xí)教材（由于中文表述與英文表述方式不同，教材的頁碼數(shù)并不能說明教材優(yōu)劣之分），各個教材有各自的特點(diǎn)，各個教材的使用方法也不同。

二、中外《數(shù)學(xué)分析》教材編排比較

（一）與初等數(shù)學(xué)知識銜接的處理

表1是選取的五本《數(shù)學(xué)分析》的各章節(jié)內(nèi)容安排。從表1可以看出，各教材的第1章基本上都考慮了初等數(shù)學(xué)知識的銜接，介紹了函數(shù)的基本概念以及實(shí)數(shù)的一些簡單的基本性質(zhì)。例如介紹了函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的概念以及幾個特殊的函數(shù)。華東師大編的《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊）在第一章還介紹了有界函數(shù)與無界函數(shù)的概念，集合的確界原理，另外在本章第4節(jié)增加了由三角函數(shù)的兩角和（差）公式推導(dǎo)和差化積公式與積化和差和差化積公式以保證大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接。復(fù)旦大學(xué)編寫的《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊）在第一章就講解了隱函數(shù)的概念。數(shù)學(xué)分析I用了兩章來處理與初等數(shù)學(xué)知識的銜接。數(shù)學(xué)分析（I）第一章介紹了集合的基本概念以及常見的幾個集合，數(shù)學(xué)的基本邏輯概念與邏輯關(guān)系，數(shù)量詞的問題，實(shí)數(shù)的序關(guān)系問題，區(qū)間的概念，分?jǐn)?shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念。數(shù)學(xué)分析I第二章則主要介紹了映射與函數(shù)的概念，包括單射、滿射，逆函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及初等函數(shù)的概念。微積分的第0章之前有一個針對初等數(shù)學(xué)知識的診斷測試。微積分的第0章對微積分進(jìn)行了簡單的綜述并列舉了面積、切線、級數(shù)的和等微積分的問題。第1章才與其他教材類似進(jìn)行函數(shù)的概念介紹，不過微積分的第1章的特色在于數(shù)學(xué)模型與建模思想的介紹。數(shù)學(xué)分析（第一卷）的第一章介紹了一些通用的數(shù)學(xué)概念與記號，本章的特色在于介紹了集合的勢與基數(shù)以及公理化集合論。第二章除了介紹實(shí)數(shù)集的公理系統(tǒng)和一些一般性質(zhì)，還用了比較多的篇幅講解實(shí)數(shù)的完備性。

（二）教材內(nèi)容的編排比較

（1）對于實(shí)數(shù)的完備性處理?！稊?shù)學(xué)分析》（上冊）（華東師大版）放在第七章講解，不過華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》在第2章就已經(jīng)先證明了例題“任何數(shù)列都存在單調(diào)子列”，并得出了“致密性定理”，如此閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全部性質(zhì)都可以在第4章得到證明，這樣盡管實(shí)數(shù)的完備性放在第7章講解也不太會影響第4章的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。數(shù)學(xué)分析（上冊）（華東師大版）這樣編排的好處在于把抽象的實(shí)數(shù)的完備性的難度與抽象性進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?，?dāng)學(xué)生已經(jīng)有了一些分析的知識，特別是對于基礎(chǔ)中等偏下的學(xué)生可能這樣更容易接受完備性。《數(shù)學(xué)分析》（上冊）（復(fù)旦大學(xué)版）則將確界原理、實(shí)數(shù)的完備定理以及閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明放在第3章講解。從內(nèi)容體系上看，內(nèi)容比較緊湊，在第2章將完連續(xù)函數(shù)的概念與閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，就需要證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，因此《數(shù)學(xué)分析》（上冊）（復(fù)旦大學(xué)版）將確界原理、實(shí)數(shù)的完備定理放在第3章講解也是挺合適的。《數(shù)學(xué)分析》（I、Ⅱ）并沒有花專門的章節(jié)來講解實(shí)數(shù)的完備性，不過在《數(shù)學(xué)分析》（I）第4章證明零點(diǎn)定理的時候穿插了閉區(qū)間套定理的介紹，并將零點(diǎn)定理通過閉區(qū)間套定理來證明。像《數(shù)學(xué)分析》（I）將實(shí)數(shù)完備性打散在各個章節(jié)介紹并使用的優(yōu)點(diǎn)是可以將抽象和復(fù)雜問題簡化教學(xué)，缺點(diǎn)是不便于知識點(diǎn)提煉。微積分嚴(yán)謹(jǐn)性比其余四本《數(shù)學(xué)分析教材》稍遜一些，比較接近國內(nèi)《高等數(shù)學(xué)》教材，并沒有講解實(shí)數(shù)完備性的系列定理。數(shù)學(xué)分析（第一卷）在第2章就講解了實(shí)數(shù)完備性定理，后續(xù)章節(jié)接著在講解極限與函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。數(shù)學(xué)分析（第一卷）基本上是按照數(shù)學(xué)知識邏輯的先后順序安排各章節(jié)內(nèi)容。

（2）對于級數(shù)安排的處理。《數(shù)學(xué)分析》（華東師大版）是將數(shù)項(xiàng)級數(shù)放在下冊第12章講解，后續(xù)13章至15章接著講解函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，冪級數(shù)以及傅里葉級數(shù)?！稊?shù)學(xué)分析》（復(fù)旦大學(xué)版）則在第9-11章分別講解數(shù)項(xiàng)級數(shù)，反常積分以及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，這樣做的目的是一些反常積分的性質(zhì)與定理的證明可以通過數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性來證明?！稊?shù)學(xué)分析》（I）第5章第4節(jié)將完數(shù)列的進(jìn)一步的一些性質(zhì)后接著第5章第5節(jié)介紹正項(xiàng)級數(shù)的概念以及一些諸如比較判別法等一些常見性質(zhì)。當(dāng)然系統(tǒng)介紹級數(shù)的內(nèi)容又在《數(shù)學(xué)分析》（Ⅱ）的第1-3章講解數(shù)項(xiàng)級數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)以及傅里葉級數(shù)的內(nèi)容。微積分則在第11章講解無限數(shù)列和級數(shù)，是在反常積分之后講解。數(shù)學(xué)分析（第一卷）在第3章講完數(shù)列的極限，緊接著在第3章第4節(jié)將數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)以及判別法，而后在數(shù)學(xué)分析（第二卷）的第16章講解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。數(shù)學(xué)分析（第一卷）這樣安排數(shù)項(xiàng)級數(shù)主要是因?yàn)閿?shù)項(xiàng)級數(shù)與數(shù)列聯(lián)系比較緊密。

（3）對于定積分與不定積分的先后安排順序的處理。對于不同教材，定積分與不定積分的先后安排順序不一樣。當(dāng)然從系統(tǒng)微積分史來看，當(dāng)然定積分先于不定積分出現(xiàn)。拋開微積分史，定積分與不定積分的先后安排各有各的特點(diǎn)。微積分在第5章中則將定積分先于不定積分安排講解。表1中的其余教材都是先講解不定積分再講解定積分，這樣安排的優(yōu)點(diǎn)是可以降低定積分概念的陌生感與抽象感，再由牛頓一萊布尼茨公式可以降低定積分計(jì)算。

（4）對于重積分、曲線積分以及曲面積分的安排。《數(shù)學(xué)分析》（華東師大版）先安排含參量積分，接著第20章與第21章分別講授曲線積分與重積分（包括三重積分），其中第21章第3節(jié)講授格林公式。第22章講解曲面積分包括高斯公式與斯托克斯公式?！稊?shù)學(xué)分析》（復(fù)旦大學(xué)版）在第19章第一節(jié)統(tǒng)一介紹二重積分、三重積分，第一型曲線、曲面積分的定義，接著第20章介紹二重積分與三重積分的計(jì)算，第21章介紹曲線積分與曲面積分的計(jì)算，而在第22章介紹各種積分之間的聯(lián)系（包括格林公式、高斯公式和斯托克斯公式）。《數(shù)學(xué)分析》（Ⅱ）是先講解重積分接著講解曲線與曲面積分，《數(shù)學(xué)分析》（Ⅱ）在第8章講授了二重積分、三重積分以及向量值函數(shù)的積分以及多重反常積分，接著在第9章講曲線積分與曲面積分以及通量積分，并在第9章的第5節(jié)講授格林公式、高斯公式和斯托克斯公式?！段⒎e分》是在第15章講授二重積分與三重積分，并在第16章講授線積分、面積分以及向量場積分，并在這一章講授格林公式、高斯公式和斯托克斯公式?！稊?shù)學(xué)分析》（第二卷）則在第11章講解重積分，在第12章講授中的曲面和微分形式，有了曲面的概念基礎(chǔ)后，在第13章講授曲線積分與曲面積分。

（5）對于向量函數(shù)與向量函數(shù)微積分的處理?！稊?shù)學(xué)分析》（華東師大版）在下冊第23章以選講的形式講授向量函數(shù)微分學(xué)?！稊?shù)學(xué)分析》（復(fù)旦大學(xué)版則在下冊以附錄的形式呈現(xiàn)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！稊?shù)學(xué)分析》（Ⅱ）在第6章講授向量值函數(shù)的微分學(xué)。微積分在第13章講授向量函數(shù)，而在第16章講授向量微積分以及場論的初步知識。數(shù)學(xué)分析（第二卷）在第14章講授向量分析的微分運(yùn)算與場論的積分公式。

三、中外《數(shù)學(xué)分析》教材特點(diǎn)

（一）華東師大版《數(shù)學(xué)分析》

全書邏輯嚴(yán)密，章節(jié)內(nèi)容安排符合中等水平學(xué)生等大部分學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通俗易懂?！稊?shù)學(xué)分析》第五版保持前四版的風(fēng)格，內(nèi)容選取適當(dāng)，深入淺出，易教易學(xué)，可讀性強(qiáng)的特點(diǎn)。隨著數(shù)字時代的到來，第五版相對前四版補(bǔ)充了豐富的數(shù)字資源，比如附上了各章的綜合自測題。本書的最大特點(diǎn)是具有豐富例題與習(xí)題，各節(jié)習(xí)題設(shè)置了基本習(xí)題和提高習(xí)題，每章最后還設(shè)置了總練習(xí)題和各章的自測題。此外本書附上了微積分學(xué)簡史（第五版以數(shù)字資源出現(xiàn)，第四版以附錄呈現(xiàn)）。課本最后附錄中除了給出積分表，還給出了實(shí)數(shù)理論（這也彌補(bǔ)了實(shí)數(shù)完備性安排在第七章的靠后性，同時附錄中的實(shí)數(shù)理論是第七章實(shí)數(shù)完備性的有益補(bǔ)充）。本書對于后續(xù)課程會出現(xiàn)或者證明比較煩瑣的內(nèi)容作為選講內(nèi)容出現(xiàn)（例如定積分的近似計(jì)算，可積性理論補(bǔ)敘）。

（二）復(fù)旦大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》

本書第四版與前三版相比，概念的表述與定理的論證更清晰，讀起來通順流暢。本書與華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》一樣有電子資源比如數(shù)學(xué)分析簡史。本書按照篇章安排章節(jié)內(nèi)容，例如第一篇極限論分為兩部分：第一部分極限初論（第一章變量和函數(shù)，第二章極限和連續(xù)），第二部分極限續(xù)論（第三章關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明）。本書有些概念使用更高觀點(diǎn)來敘述，例如關(guān)于黎曼可積的問題時引入零測集敘述。

（三）Canuto編寫的《數(shù)學(xué)分析》

《數(shù)學(xué)分析》（I、Ⅱ）是由Canuto與Tabacco教授在意大利高等教育體系的結(jié)構(gòu)和教學(xué)大綱下編寫的英文版《數(shù)學(xué)分析》教材。該教材符合歐洲課程規(guī)范，深受歐洲數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生和數(shù)學(xué)研究者的喜愛。估計(jì)歐洲的中學(xué)生水平接受《數(shù)學(xué)分析》還有一些困難，《數(shù)學(xué)分析》（I）前兩章比較細(xì)致地講授初等數(shù)學(xué)知識。全書介紹了一些工程、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)背景，同時從表2可知全書比較多例題與練習(xí)題（練習(xí)題都有比較詳細(xì)的解答）?！稊?shù)學(xué)分析》（I、Ⅱ）都有專門的章節(jié)講解微分方程。全書的定義、定理以及性質(zhì)的敘述嚴(yán)謹(jǐn)，論證嚴(yán)密。

（四）Stewart編寫的《微積分》

《微積分》已經(jīng)是第七版修訂，深受歐美高校的理工科教師與學(xué)生的青睞。全書比較厚實(shí)，具有豐富的例題、習(xí)題以及插圖，敘述由淺入深，通俗易懂。準(zhǔn)確來講本書比較接近國內(nèi)高校的《高等數(shù)學(xué)》教材，很多觀點(diǎn)的敘述可能要高于國內(nèi)的《高等數(shù)學(xué)》教教材，敘述的嚴(yán)謹(jǐn)性可能不如其余參考文獻(xiàn)的《數(shù)學(xué)分析》教材。本書的特點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：①全書與初等數(shù)學(xué)緊密連接，書本前面開始有初等數(shù)學(xué)診斷測試，后續(xù)各章節(jié)還會回顧與講述初等數(shù)學(xué)知識點(diǎn);②各知識點(diǎn)、概念、函數(shù)講述詳細(xì)，并盡可能配有豐富的插圖;③全書采用彩色印刷（可能考慮比較多概念與重要公式和插圖）;④各章節(jié)配有豐富的習(xí)題和附加題，附錄中只為奇數(shù)題號的習(xí)題給出解答;⑤全書具有數(shù)學(xué)建模思想，并給出許多工程、物理、生物等實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型并相關(guān)論述。

（五）卓里奇著的《數(shù)學(xué)分析》（第一卷、第二卷）

《數(shù)學(xué)分析》（第一卷、第二卷）是俄羅斯數(shù)學(xué)家卓里奇著的數(shù)學(xué)專業(yè)教材，中文版本由李植翻譯的。本教材已增補(bǔ)至第7版，作者加強(qiáng)了分析學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程之間的聯(lián)系。全書觀點(diǎn)較高（部分章節(jié)由實(shí)分析、復(fù)分析，拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行敘述），內(nèi)容豐富新穎，所選習(xí)題也具有特色。全書分兩卷出版，第一卷主要包括一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)以及多元函數(shù)微分學(xué)。在微分學(xué)中特別關(guān)注了微分在變量變化特征的局部描述中作為線性標(biāo)尺的作用，在敘述積分學(xué)時，盡量用直觀的材料描述黎曼積分。第二卷的頭兩章概括了與連續(xù)函數(shù)理論和微分學(xué)有關(guān)的結(jié)果，其敘述采用一般的不變形式，以便自然地與多元函數(shù)微分學(xué)相銜接。在介紹曲線積分與曲面積分時使用了微分形式語言，基于初等材料引入全部基本的幾何概念和解析結(jié)構(gòu)，然后由他們構(gòu)成一系列抽象定義。第15章總結(jié)了流形上的微分形式積分理論（國內(nèi)少許數(shù)學(xué)分析教材對流形上的微積分進(jìn)行介紹），也是對第11章至14章的理論敘述的系統(tǒng)性補(bǔ)充。

通過上面中外教材的分析，教師可以根據(jù)學(xué)生的情況選擇教材，學(xué)生也可以自身的需求選擇適合自己的教材。教師可結(jié)合教材培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力、解決實(shí)際問題能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才和應(yīng)用型人才的目的，將數(shù)學(xué)建模思想以及外國教材的優(yōu)點(diǎn)融入課堂教學(xué)，進(jìn)而達(dá)到提高課堂教學(xué)質(zhì)量。