黃桂福

（仙游第一中學(xué)，福建 仙游 351200）

美的追求不僅是藝術(shù)家的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)家努力方向。數(shù)學(xué)中許多概念、公式、定理都充滿(mǎn)了各種各樣的美，有對(duì)稱(chēng)美、辯證美、統(tǒng)一美、結(jié)構(gòu)美、簡(jiǎn)潔美等等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分挖掘蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中數(shù)學(xué)美的因素，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)知活動(dòng)，激起學(xué)生對(duì)美的追求，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者以全國(guó)卷近些年高考試題為例，就設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)美認(rèn)知活動(dòng)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)展開(kāi)論述。

一、設(shè)計(jì)“對(duì)稱(chēng)美”認(rèn)知活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)

對(duì)稱(chēng)美在數(shù)學(xué)中廣泛存在，如幾何圖形中的軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)，代數(shù)中對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式、共軛復(fù)數(shù)等。教學(xué)中，對(duì)這些數(shù)學(xué)幾何和代數(shù)知識(shí)適時(shí)引導(dǎo)，可讓學(xué)生充分感知感受蘊(yùn)含其中的對(duì)稱(chēng)美。

例1（2013 年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16 題）

若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2 對(duì)稱(chēng)，則f(x)的最大值是______。

上述求解方法不僅繁瑣，而且變形技巧太高，大多考生都無(wú)法順利解答。

其實(shí)，若能基于數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)潔美的角度，則問(wèn)題可輕松獲解，且?guī)缀鯚o(wú)運(yùn)算量。為此，可做如下設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1：你能否從f(x)的關(guān)系式中獲取有益的信息？

問(wèn)題2：你能否基于對(duì)稱(chēng)性得到函數(shù)f(x)的關(guān)系式？

問(wèn)題3：你能否基于簡(jiǎn)潔性對(duì)f(x)的最值作簡(jiǎn)化求解？

通過(guò)問(wèn)題1，引領(lǐng)學(xué)生“從圖形與圖形關(guān)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，即由函數(shù)f(x)的解析式可輕松抽象出f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)1，-1；

通過(guò)問(wèn)題2，引領(lǐng)學(xué)生“借助位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律”，即由f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2 對(duì)稱(chēng)，而f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)1 和-1，故f(x)另有兩個(gè)零點(diǎn)-3和-5，從而得f(x)=-(x -1)(x+1)(x+3)(x+5)；

通過(guò)問(wèn)題3，引領(lǐng)學(xué)生“利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題”，明了若將f(x)的圖象右移兩個(gè)單位，其最大值不會(huì)改變，于是可將求f(x)的最大值轉(zhuǎn)化為求h(x)=-(x -3)(x -1)(x+1)(x+3) 的最大值，這樣整個(gè)解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明晰。

至此，直接配方即得h(x)=-(x2-5)2+16，故f(x)的最大值為16。

在上述活動(dòng)中，學(xué)生既經(jīng)歷了“從圖形與圖形關(guān)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而“借助位置關(guān)系，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題”的對(duì)稱(chēng)美的認(rèn)知過(guò)程，又從中使得數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得發(fā)展。

二、設(shè)計(jì)“辯證美”認(rèn)知活動(dòng)，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)中許多巧妙的證法，其思路往往借助各種辯證關(guān)系。因而，教學(xué)中設(shè)計(jì)“辯證美”認(rèn)知活動(dòng)，教會(huì)學(xué)生用辯證的眼光去觀察、分析、解決問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)邏輯推理論證中的辯證性與辯證美，可很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

例2（2010 年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科11 題）

解析：本題直接求解難度較大，若利用數(shù)學(xué)的辯證美和奇異美，則問(wèn)題瞬間獲解，不亦樂(lè)乎。

為此，筆者進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1：變量a、b、c 的變化有規(guī)律嗎？

問(wèn)題2：這個(gè)變化是否具有一般性特征？

問(wèn)題3：基于這個(gè)特征能否對(duì)問(wèn)題作簡(jiǎn)化求解？

問(wèn)題1 引領(lǐng)學(xué)生“從變化中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，明了a,b,c 都是變量，且b、c 隨著a 的變化而變化；問(wèn)題2 引領(lǐng)學(xué)生“借助位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題”，明了a 的變化具有一般性特征，即不論a 取何值，abc 的取值范圍不變；問(wèn)題3 引領(lǐng)學(xué)生“探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法”，明了若將a 特殊化，則可找出對(duì)應(yīng)的b、c，驗(yàn)證選項(xiàng)即求解。

在上述活動(dòng)中，學(xué)生既經(jīng)歷了“從變化中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而“探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法”的“辯證美”的認(rèn)知過(guò)程，也在推理論證中獲得邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、設(shè)計(jì)“統(tǒng)一美”認(rèn)知活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)

統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)美的重要特征，如平面解析幾何中圓、橢圓、雙曲線、拋物線可統(tǒng)一在“到定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的集合”這一定義之中。教學(xué)中，可設(shè)計(jì)“統(tǒng)一美”認(rèn)知活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

例3（2018 年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第9 題）

解析：本題若直接求解，需將“函數(shù)g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn)”轉(zhuǎn)換為“方程f(x)+x+a=0，即f(x)=-x -a存在兩個(gè)實(shí)根”，所以“函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x -a 有兩個(gè)交點(diǎn)”。進(jìn)而作出函數(shù)y=f(x)與直線y=-x -a 的圖象以求解。

這樣做過(guò)程繁雜，計(jì)算量大。其實(shí)，若能基于統(tǒng)一美、和諧美對(duì)函數(shù)g(x)的性質(zhì)及圖形作統(tǒng)一感知，問(wèn)題可輕松獲解，運(yùn)算量也很小。

為此，教學(xué)中可設(shè)計(jì)為：

問(wèn)題1：整體感知g(x)的解析式，它具有什么性質(zhì)？

問(wèn)題2：整體感知g(x)的圖象，它的變化特征是什么嗎？

問(wèn)題3：能否基于函數(shù)性質(zhì)與圖形特征對(duì)問(wèn)題作簡(jiǎn)化求解？

問(wèn)題1 引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系”，明了函數(shù)f(x)=具有統(tǒng)一性質(zhì)：在(-∞,0)遞增，在(0,+∞)上也遞增；問(wèn)題2 引領(lǐng)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律”，明了g(x)圖象的變化特征：當(dāng)x →-∞時(shí)g(x) →-∞，x →0 時(shí)g(x) →-∞，x →+∞時(shí)g(x) →+∞；問(wèn)題3 引領(lǐng)學(xué)生“從條件和事實(shí)出發(fā)予以推理”，明了若g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn)，必須g(0)≥0，從而由g(0)=1+a≥0，即得a≥-1，故正確答案為C，簡(jiǎn)單快捷，不亦樂(lè)乎。

在上述活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系”，進(jìn)而“從條件和事實(shí)出發(fā)予以推理”的統(tǒng)一美的認(rèn)知過(guò)程，也從中獲得抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

四、設(shè)計(jì)“結(jié)構(gòu)美”認(rèn)知活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)美還表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一上，例如，數(shù)學(xué)式子結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)有序，數(shù)學(xué)元素的完備整齊等。教學(xué)中，應(yīng)設(shè)計(jì)“結(jié)構(gòu)美”認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生感知感受蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性與結(jié)構(gòu)美，可有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng)。

例4（2013 年高考全國(guó)卷Ⅰ文科16 題）

以上求解極為繁瑣，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，其實(shí)，若能基于直觀美、結(jié)構(gòu)美對(duì)函數(shù)g(x)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)作直觀感知，問(wèn)題可輕松獲解，運(yùn)算量也很小。

為此，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)“結(jié)構(gòu)美、直觀美”認(rèn)知活動(dòng)，這些活動(dòng)過(guò)程包括：

問(wèn)題1：你能識(shí)別出這個(gè)函數(shù)的模型和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？

問(wèn)題2：這個(gè)模型和結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和特征是什么？

問(wèn)題3：你是否可以借助這個(gè)性質(zhì)和特征將問(wèn)題簡(jiǎn)化求解？

通過(guò)問(wèn)題1，引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型”，明了這是形如y=a sin x+b cos x 的結(jié)構(gòu)模型；

在上述活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了“利用圖形描述問(wèn)題，建立形與數(shù)的聯(lián)系”的結(jié)構(gòu)美的認(rèn)知過(guò)程，以及從“從數(shù)學(xué)的視角分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型”，數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了很好的培養(yǎng)。

總之，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)通過(guò)具體的情境問(wèn)題，架設(shè)數(shù)學(xué)美的認(rèn)知橋梁，引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，進(jìn)而讓學(xué)生在不斷感知“數(shù)學(xué)美”的過(guò)程中得到數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。