韓鍵美

（永城職業(yè)學(xué)院，河南 永城 476600）

1 引言

柔性機(jī)械臂具有能耗低、響應(yīng)快、負(fù)載-自重比高、效率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，但是其在工作過(guò)程中容易產(chǎn)生振動(dòng)，不僅降低了定位精度，而且影響機(jī)械臂的使用壽命［1］，因此研究機(jī)械臂工作過(guò)過(guò)程中的抑振問(wèn)題意義明顯。

柔性機(jī)械臂振動(dòng)控制方法包括被動(dòng)控制和主動(dòng)控制兩大類(lèi)。被動(dòng)控制方法是在彈性振動(dòng)產(chǎn)生后使用阻尼方式抑制振動(dòng)，阻尼結(jié)構(gòu)包括彈性阻尼材料、分流阻尼回路等，此類(lèi)方法缺點(diǎn)是適用性和魯棒性差，且增加阻尼材料后也增加了動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜度［2］。當(dāng)前振動(dòng)控制的研究熱點(diǎn)是主動(dòng)控制方法，主動(dòng)控制方法是通過(guò)設(shè)計(jì)控制器，主動(dòng)地減小彈性振動(dòng)。文獻(xiàn)［3］使用其一攝動(dòng)法將柔性機(jī)械臂分為快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)，波那個(gè)分別設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制；文獻(xiàn)［4］設(shè)計(jì)了自適應(yīng)魯邦滑?？刂破?，使用傳感器和致動(dòng)器實(shí)現(xiàn)了柔性機(jī)械臂抑振；文獻(xiàn)［5］將輸入整形和模糊控制器結(jié)合提出了混合模糊控制器，實(shí)現(xiàn)了柔性機(jī)械臂軌跡軌跡跟蹤和振動(dòng)抑制；文獻(xiàn)［6］使用頻域辨識(shí)和極點(diǎn)配置實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)控制。

本文以柔性機(jī)械臂抑振軌跡規(guī)劃和跟蹤控制為研究課題。在抑振軌跡規(guī)劃方面，提出了自適應(yīng)遺傳算法用于軌跡規(guī)劃；在軌跡跟蹤方面，提出了全階終端滑?？刂破?，達(dá)到了抑制柔性機(jī)械臂殘余振動(dòng)的目的。

2 柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

2.1 柔性機(jī)械臂系統(tǒng)

以單連桿柔性機(jī)械臂為例，設(shè)定柔性機(jī)械臂工作在水平面內(nèi)，如圖1所示。圖中：Oxy—機(jī)械臂坐標(biāo)系；Ox—軸與機(jī)械臂根部軸線相切；Oy軸與Ox軸垂直。Ox0y0—固定坐標(biāo)系，與初始時(shí)刻的Oxy坐標(biāo)系重合；w(x，t)—t時(shí)刻與原點(diǎn)距離為x處（點(diǎn)P）的彈性位移；ψ(x，t)—t時(shí)刻點(diǎn)P的角位移；θ—機(jī)械臂角位移；JL—關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；τ—驅(qū)動(dòng)力矩。

圖1 柔性機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1 Flexible Manipulator System

為了簡(jiǎn)化柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，作出以下假設(shè)：（1）機(jī)械臂臂長(zhǎng)遠(yuǎn)大于橫截面尺寸，即只考慮彎曲變形而忽略剪切變形；（2）將末端負(fù)載視為質(zhì)點(diǎn)。

2.2 柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)彈性理論和假設(shè)模態(tài)法［7］，t時(shí)刻P點(diǎn)彈性位移w(x，t)為：

式中：n—保留模態(tài)數(shù)；?i(x)—第i階模態(tài)振型函數(shù)；qi(t)—第i階模態(tài)坐標(biāo)。根據(jù)邊界條件可以求得式（1）表達(dá)式。

本文使用拉格朗日方程建立柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程，首先求解機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)能包括關(guān)節(jié)處轉(zhuǎn)軸動(dòng)能、連桿動(dòng)能和負(fù)載動(dòng)能三部分組成。關(guān)節(jié)處轉(zhuǎn)軸動(dòng)能T1為：

式中：JL—關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

記P點(diǎn)坐標(biāo)為(px，py)，則P點(diǎn)位置和速度為：

則機(jī)械臂連桿動(dòng)能T2為：

式中：lL—連桿長(zhǎng)度；ρL—連桿材料密度；AL—連桿橫截面積。

負(fù)載動(dòng)能T3為：

式中：vL—機(jī)械臂末端速度；mg—負(fù)載質(zhì)量。

由以上推導(dǎo)可得機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)能T為：

由于柔性機(jī)械臂工作在水平面內(nèi)，因此不考慮重力勢(shì)能而只需考慮彈性勢(shì)能，即勢(shì)能為：

式中：IL—機(jī)械臂橫截面的慣性矩；EL—機(jī)械臂彈性模量，Ki為：

結(jié)合式（5）、式（6），根據(jù)拉格朗日方程得到柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)矩陣方程為：

3 最優(yōu)抑振軌跡規(guī)劃

3.1 最優(yōu)抑振軌跡規(guī)劃模型

將式（8）中的剛性運(yùn)動(dòng)和柔性運(yùn)動(dòng)進(jìn)行區(qū)分，為：

式中：下標(biāo)r—?jiǎng)傂赃\(yùn)動(dòng)；f—柔性運(yùn)動(dòng)。由上式可得：

式中：W—總振動(dòng)量；r1、r2—調(diào)節(jié)系數(shù)；tb—機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)終止時(shí)刻。

根據(jù)機(jī)械臂起始位置、終止位置等基本條件，使用五次多項(xiàng)式規(guī)劃一條基準(zhǔn)軌跡。將工作時(shí)間劃分為n等份，時(shí)間節(jié)點(diǎn)依次次多項(xiàng)式規(guī)劃的θi為基準(zhǔn)角位移θBi，以角位移浮動(dòng)值ΔθCi為優(yōu)化對(duì)象，從而得到各時(shí)間節(jié)點(diǎn)優(yōu)化的角位移，而后使用五次多項(xiàng)式樣條曲線依次規(guī)劃之間的運(yùn)動(dòng)軌跡，將軌跡曲線代入到式（10）中得到動(dòng)力學(xué)相應(yīng)，將其代入到式（11）中計(jì)算適應(yīng)度值，依據(jù)適應(yīng)度值評(píng)價(jià)軌跡優(yōu)劣程度。

3.2 智能求解方法

遺傳算法是模擬生物遺傳和自然選擇過(guò)程而提出的，包括編碼、初始種群生成、遺傳操作等。初始種群的生成、交叉變異概率對(duì)算法尋優(yōu)性能影響較大［8］，本文從此三個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)。

（1）染色體編碼。使用實(shí)數(shù)編碼方式，對(duì)n個(gè)角位移浮動(dòng)值ΔθCi(i=1，2，…，n)進(jìn)行編碼。

（2）初始種群生成。在傳統(tǒng)遺傳算法中，初始種群的隨機(jī)產(chǎn)生方法導(dǎo)致初始種群適應(yīng)度不高，本文提出以均勻方式產(chǎn)生初始種群，方法為：將角位移浮動(dòng)值取值空間等分成z個(gè)空間，在每個(gè)空間中均勻產(chǎn)生p個(gè)n維染色體，將此z×p個(gè)染色體依據(jù)適應(yīng)度排序，選擇前N個(gè)個(gè)體作為初始種群。初始種群的均勻生成方法，保證了染色體的分散性，有利于算法的全局搜索。

（3）自適應(yīng)交叉操作。交叉操作是染色體進(jìn)化的主要方式，對(duì)于提高種群多樣性意義重大。本文提出以種群多樣性為依據(jù)，自適應(yīng)調(diào)整交叉概率。種群多樣性好時(shí)使用小的交叉概率，保持種群多樣性和穩(wěn)定；種群多樣性差時(shí)使用大的交叉概率，提高種群多樣性。使用適應(yīng)度方差和分布熵作為種群多樣性的度量。種群規(guī)模記為N，第i個(gè)染色體的適應(yīng)度記為fi，平均適應(yīng)度記為，則第j代種群適應(yīng)度方差Gj為：

分布熵計(jì)算方法為：依照前文將取值空間等分為z個(gè)子空間，第i個(gè)子空間的個(gè)體數(shù)量記為Ai，則第j代種群的分布熵Hj為：

其中，pi=AiN。

適應(yīng)度方差和種群分布熵較大時(shí)說(shuō)明種群分布均勻，進(jìn)化能力較強(qiáng)。交叉概率隨種群多樣性自適應(yīng)變化方法為：

（4）自適應(yīng)變異操作。變異操作是染色體進(jìn)化的重要方式，對(duì)于較優(yōu)染色體，變異操作可以破壞優(yōu)質(zhì)染色體，因此應(yīng)使用較小的變異概率；對(duì)于較差染色體，變異操作可以使其變異為優(yōu)質(zhì)染色體，應(yīng)使用較大的變異概率。根據(jù)以上分析，第i個(gè)個(gè)體變異概率pmi隨適應(yīng)度自適應(yīng)變化方法為：

（5）選擇操作。以個(gè)體適應(yīng)度為選擇依據(jù)，每個(gè)個(gè)體被選概率為，式中f(i)為個(gè)體i的適應(yīng)度值為所有個(gè)體適應(yīng)度之和。這種選擇方式既保證了優(yōu)秀個(gè)體被選可能性較大，也保證了任意個(gè)體被選可能性，保持了種群多樣性。

4 軌跡跟蹤控制

滑模控制具有較強(qiáng)的魯棒性和較快的跟蹤速度，本文將其應(yīng)用于柔性機(jī)械臂軌跡跟蹤。但是滑?？刂拼嬖诙墩駟?wèn)題［9］，本文設(shè)計(jì)了全階終端滑?？刂破鳎粌H可以抑制抖振問(wèn)題，而且避免了終端滑模控制的奇異點(diǎn)問(wèn)題。

4.1 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中跟蹤控制器

以式（9）為基礎(chǔ)，令：

則由式（9）可得：

定義軌跡跟蹤誤差并對(duì)其求導(dǎo)為：

式中：θ為機(jī)械臂實(shí)時(shí)角位移，θd為期望角位移。

為使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0，定義全階終端滑模面為：

其中，要求c1>0，c2>0，且保證的根在負(fù)平面內(nèi)。a2∈(0，1)，a1=a2(2-a2)。

為了削弱滑?？刂破鞔嬖诘亩墩駟?wèn)題，本文使用一階濾波器設(shè)計(jì)控制律，為：

其中，η>0、T0>0均為常數(shù)，Tu≤-2η。由于控制律中不存在分?jǐn)?shù)次冪項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，因此避免了奇異點(diǎn)問(wèn)題。

下面只需要證明全階終端滑模面具有穩(wěn)定性，且在式（20）控制律作用下可使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑膜面，并沿滑模面收斂至零點(diǎn)。

（1）全階終端滑模面穩(wěn)定性證明。將式（18）與式（20）代入到式（19），整理得：

對(duì)式（22）進(jìn)行求解，得：

根據(jù)式（23）（24）可知：

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

對(duì)式（26）求導(dǎo)，并將式（24）（25）代入，得：

由式（26）（27）可知，全階終端滑模面具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。

（2）系統(tǒng)任意狀態(tài)有限時(shí)間內(nèi)收斂至滑模面證明。記系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)s(0)到達(dá)滑模面所需時(shí)間為t r，即s(t r)=0。由式（27）可知：

不妨設(shè)s>0，則s?≤-ηe-T0t，對(duì)兩邊進(jìn)行積分，則：

同樣地，當(dāng)s<0時(shí)依然能夠得到式（29）給出的結(jié)論，式（29）表示跟蹤誤差e1、e2可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

（3）系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面內(nèi)有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)誤差原點(diǎn)。系統(tǒng)狀態(tài)在t r時(shí)刻到達(dá)滑模面（e1(t r)≠0），記跟蹤誤差在t s時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至零點(diǎn)（e1(t s)=0）。此階段系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上運(yùn)動(dòng)，即s=0，則根據(jù)式（19），有：

式（30）所示誤差系統(tǒng)，滿足以下條件時(shí)：（1）c1>0，c2>0，且保 證p2+c2p+c1=0的 根 在 負(fù) 平 面 內(nèi)；（2）a2∈(0，1)，a1=a2(2-a2)，系統(tǒng)誤差可在有限時(shí)間內(nèi)收斂為零。此證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)［10］。

4.2 旋轉(zhuǎn)結(jié)束后跟蹤控制器

機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，對(duì)機(jī)械臂末端軌跡進(jìn)行控制，消除機(jī)械臂末端的殘余振動(dòng)，使機(jī)械臂末端盡快停止在期望位置。根據(jù)圖1所示柔性機(jī)械臂模型，柔性機(jī)械臂末端角位移ψ(l L，t)與關(guān)節(jié)角位移θ關(guān)系為：

由于彈性形變量較小，因此arctg(w(l L，t)l L)=w(l L，t)l L，則：

對(duì)上式求二階導(dǎo)數(shù)，得：

柔性機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)結(jié)束后控制目標(biāo)為消除末端殘余振動(dòng)，使機(jī)械臂末端角位移ψ(l L，t)盡快跟蹤期望角位移ψd=θ(t b)，因此定義旋轉(zhuǎn)結(jié)束后跟蹤誤差為：

對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，得到：

定義全階終端滑模面為：

其中，a3、a4、c3、c4的取值方式與a1、a2、c1、c2完全一致。對(duì)于此終端滑模面，設(shè)計(jì)控制律為：

式中τeq與τes定義方法為：

其中，T0′、T u′、η′與式（22）中T0、T u、η的取值方式完全一致。由4.1節(jié)證明過(guò)程可知，系統(tǒng)狀態(tài)可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，并沿滑模面運(yùn)動(dòng)使系統(tǒng)誤差為0。

5 仿真驗(yàn)證與分析

本節(jié)對(duì)兩部分內(nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證：一是對(duì)最優(yōu)抑振軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行驗(yàn)證，二是對(duì)軌跡跟蹤控制器的抑振效果進(jìn)行驗(yàn)證。

5.1 最優(yōu)抑振軌跡規(guī)劃

設(shè)定機(jī)械臂的初始角位移為0，目標(biāo)角位移為1.57rad。使用五次多項(xiàng)式規(guī)劃出基礎(chǔ)軌跡，然后將其等分為10段，分別使用自適應(yīng)遺傳算法和傳統(tǒng)遺傳算法對(duì)角位移浮動(dòng)值進(jìn)行尋優(yōu)，算法參數(shù)設(shè)置為：算法最大迭代次數(shù)iter=500，染色體個(gè)數(shù)N=30，需優(yōu)化的浮動(dòng)值數(shù)n=9，浮動(dòng)值上下限分別為π8，調(diào)節(jié)系數(shù)r1=0.01，r2=0.99。

分別使用五次多項(xiàng)式、基于傳統(tǒng)遺傳算法的抑振軌跡規(guī)劃、基于自適應(yīng)遺傳算法的抑振軌跡規(guī)劃等方法對(duì)柔性機(jī)械臂軌跡進(jìn)行規(guī)劃。使用五次多項(xiàng)式規(guī)劃時(shí)，以初始點(diǎn)和(t2,θ2)為規(guī)劃起點(diǎn)和終點(diǎn)，(t2,θ2)至(t,θ)的軌跡與前半部分曲線成點(diǎn)對(duì)稱。傳統(tǒng)蟻群算法與自適應(yīng)遺傳算法的搜索過(guò)程如圖2所示。

圖2 兩種遺傳算法的搜索過(guò)程Fig.2 Searching Process of the Two Genetic Algorithms

由圖2可以看出，自適應(yīng)遺傳算法在迭代至50次基本完成收斂，最終收斂值為4.1×10-5，傳統(tǒng)遺傳算法在迭代至210次時(shí)基本完成收斂，最終收斂值為4.7×10-4。由此可以看出，自適應(yīng)遺傳算法具有更快的收斂速度和更高的尋優(yōu)精度，這是因?yàn)榉N群交叉概率隨種群多樣性自適應(yīng)調(diào)整，將種群多樣性保持在較高水平，提高了算法搜索能力和收斂能力；另外，變異概率根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度確定，既維護(hù)了優(yōu)質(zhì)染色體，又提高了較差染色體變優(yōu)的概率。

傳統(tǒng)遺傳算法、自適應(yīng)遺傳算法、五次多項(xiàng)式等三種方法規(guī)劃的軌跡，如圖3所示。

圖3不同方法規(guī)劃的軌跡Fig.3 Manipulator Trajectory Planned by Different Method

圖3 給出三種軌跡的機(jī)械臂末端第一、二階振動(dòng)模態(tài)如圖4所示。

Fig.4不同軌跡的振動(dòng)量Fig.4 Vibration of Different Trajectory

由圖4（a）可以看出，使用自適應(yīng)遺傳算法規(guī)劃的最優(yōu)抑振軌跡，機(jī)械臂在1s時(shí)完成旋轉(zhuǎn)，完成旋轉(zhuǎn)后的一階模態(tài)殘余振動(dòng)極小，在0值附近輕微波動(dòng)，可以忽略不計(jì)；而使用傳統(tǒng)蟻群算法規(guī)劃的抑振軌跡和五次多項(xiàng)式軌跡在1s旋轉(zhuǎn)結(jié)束后的一階模態(tài)殘余振動(dòng)較大，振動(dòng)幅值最大時(shí)約為15mm，且在（4～50s時(shí)才逐漸穩(wěn)定，嚴(yán)重影響了機(jī)械臂的穩(wěn)定時(shí)間、工作效率和使用壽命。三種方法規(guī)劃軌跡的二階模態(tài)振動(dòng)量相差不大，在1s后均穩(wěn)定在0值附近。綜合一二階模特振動(dòng)量，基于自適應(yīng)遺傳算法規(guī)劃的機(jī)械臂軌跡具有最優(yōu)的抑振效果，在機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)結(jié)束后可盡快穩(wěn)定在目標(biāo)值附近，振動(dòng)量極小。

5.2 軌跡跟蹤控制器的抑振效果驗(yàn)證

以5.1節(jié)中自適應(yīng)遺傳算法規(guī)劃的最優(yōu)抑振軌跡為跟蹤對(duì)象，全階滑模控制器參數(shù)設(shè)置為：a1=3 17，a2=3 10，a3=7 13，a4=7 10，c1=6，c2=5，c3=2，c4=3，T0=9，T0′=5，T u=-1.8，T u′=-2.2，η=0.6，η′=0.8。柔性機(jī)械臂參數(shù)為：機(jī)械臂長(zhǎng)l=700mm，高h(yuǎn)=30mm，厚d=2mm，密度ρ=7.85×103k g∕m3，彈性模量E=2×1011Pa，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.8kg?m2。

為了形成比較的效果，使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的PID控制方法同時(shí)進(jìn)行軌跡跟蹤控制，PID控制器與全階終端滑?？刂破鞯能壽E跟蹤效果，如圖5所示。

圖5 不同控制器的軌跡跟蹤效果Fig.5 Trajectory Tracking Effect of Different Controller

從圖5中可以看出，在1s機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，在全階終端滑?？刂破鞯目刂葡聨缀醪淮嬖谡駝?dòng)現(xiàn)象，而在PID控制器的控制下，機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)結(jié)束后的殘余振動(dòng)幅度較大且振動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，3.5s時(shí)振動(dòng)才減小到較小程度，說(shuō)明全階終端滑?？刂破鲗?duì)柔性機(jī)械臂具有極好的抑振效果和跟蹤精度。

在全階終端滑?？刂破骱蚉ID控制器的控制下，系統(tǒng)的一階振動(dòng)模態(tài)位移，如圖6所示。

圖6 不同控制器的一階振動(dòng)模態(tài)Fig.6 One Order Vibration Mode of Different Controller

由圖6可以看出，在全階終端滑模面控制器的控制下，不僅機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的振動(dòng)幅度較小，而且旋轉(zhuǎn)結(jié)束后幾乎不存在殘余振動(dòng)，可以迅速穩(wěn)定在目標(biāo)角位置，也說(shuō)明了全階終端滑?？刂破鞯目刂菩Чh(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于PID控制器。這是因?yàn)樵谌嵝詸C(jī)械臂旋轉(zhuǎn)過(guò)程中和旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，滑?？刂破骶鶎?duì)機(jī)械臂施加控制，使跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面并移動(dòng)至零點(diǎn)，達(dá)到了極好的抑振效果。

6 結(jié)論

本文研究了柔性機(jī)械臂的最優(yōu)抑振軌跡規(guī)劃和跟蹤控制問(wèn)題，通過(guò)仿真驗(yàn)證得到了以下結(jié)論：（1）自適應(yīng)遺傳算法相比于遺傳算法具有更快的收斂速度和更高的尋優(yōu)精度；（2）自適遺傳算法規(guī)劃的抑振軌跡在機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)結(jié)束后殘余振動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)蟻群算法規(guī)劃的軌跡；（3）全階終端滑?？刂破鞯囊终裥Ч黠@優(yōu)于PID控制器。