劉翔，景璐璐

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

與三軸銑削加工相比，五軸銑削加工除了X，Y，Z 三個方向的約束外，還多了2 個旋轉(zhuǎn)自由度α和β，使得五軸銑削加工的加工參數(shù)不僅有傳統(tǒng)的切削深度、主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給量等，還有前傾角α和側(cè)傾角β[1]。

對五軸銑削加工穩(wěn)定性的研究主要包括2 部分工作：變軸向銑削動力學(xué)建模和銑削穩(wěn)定性的判定。Tlusty[2]等對刀具方向問題進(jìn)行了研究，提出了刀具方向能改變刀具和工件表面靜態(tài)撓度的結(jié)論；Ozturk[3]等做了刀具前傾角和側(cè)傾角對銑削穩(wěn)定性影響的實(shí)驗(yàn)，通過零階和多頻穩(wěn)定性方法生成系統(tǒng)的穩(wěn)定葉瓣圖作為選擇合適前傾角和側(cè)傾角的依據(jù)；Budak[4]等分析了五軸銑削的加工特點(diǎn)，建立了判定五軸球頭銑削穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)模型，并且使用頻域法對銑削穩(wěn)定性進(jìn)行了求解，分析了前傾角和側(cè)傾角對銑削穩(wěn)定性的影響；Wang[5]等研究了不同刀軸朝向下加工區(qū)域的變化，提出了在不同的刀軸朝向下加工區(qū)域的形狀基本不變的結(jié)論。

銑削穩(wěn)定性的判定主要分為頻域法與時域法，頻域法速度快，但是精度低，時域法計算復(fù)雜但是精度高。Altintas[6]等使用單頻率法判定加工穩(wěn)定性，但是該方法只適用于大切深的條件下，對小切深下的銑削穩(wěn)定性預(yù)報誤差較大；Bayly[7]等用有限元微分法計算對加工穩(wěn)定性的極限進(jìn)行了分析；Stepan[8]使用半離散法對銑削穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)報，該方法通過離散化的思想，求出相鄰離散項(xiàng)的轉(zhuǎn)移矩陣，并用Floquet 理論判定穩(wěn)定性。

本文建立了刀具坐標(biāo)系來描述刀具的螺旋角、浸潤角、滯后角等參數(shù)，建立工件坐標(biāo)系描述刀軸的前傾角和側(cè)傾角，并且建立各自坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。使用微元法對銑削力進(jìn)行建模，使用實(shí)驗(yàn)法對銑削力系數(shù)進(jìn)行計算。對動態(tài)銑削過程進(jìn)行建模?？紤]顫振的再生效應(yīng)列出二階時域微分方程，通過傅里葉變換將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到頻域內(nèi)進(jìn)行分析，得到輸入輸出與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系通式。通過實(shí)驗(yàn)法測得刀具和工件各自的頻率響應(yīng)函數(shù)，并通過坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系計算接觸區(qū)域的頻率響應(yīng)函數(shù)。最后，使用頻率法對銑削穩(wěn)定性進(jìn)行判定。

1 五軸球頭銑床銑削穩(wěn)定性判定

1.1 坐標(biāo)變換

圖1 所示為定義的刀具坐標(biāo)系。Z 軸為刀軸方向，用于描述刀具的螺旋角、浸潤角、滯后角等參數(shù)，刀具的頻率響應(yīng)函數(shù)可使用感應(yīng)錘沿著刀尖的法向和徑向即XT和ZT方向進(jìn)行敲擊測得。

圖1 刀具坐標(biāo)系Fig.1 Tool coordinate system

圖2 所示為工件坐標(biāo)系。走刀的路徑就是在工件坐標(biāo)系中定義的，該坐標(biāo)系是根據(jù)銑削加工后的刀路軌跡來定義的，其原點(diǎn)位于刀具銑削時所在的刀心位置，XW軸為刀路軌跡曲面在該點(diǎn)的切線方向，YW垂直于XW并且與其在同一工件平面內(nèi)，ZW為刀路軌跡在該刀心點(diǎn)的法線方向。

圖2 工件坐標(biāo)系Fig.2 Workpiece coordinate system

工件坐標(biāo)系用于描述銑削加工后在工件表面留下的形貌，刀具包絡(luò)面、刀具進(jìn)給量、切削深度以及刀具傾角等參數(shù)，當(dāng)?shù)遁S有一定傾角時，施加在工件上的銑削力方向會改變，因此，要求出刀具-工件結(jié)合部的頻率響應(yīng)函數(shù)不能單純對刀具和工件各自的頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行疊加，而是應(yīng)該進(jìn)行一系列的換算。

首先當(dāng)?shù)毒邲]有任何傾角時，刀具坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系可以當(dāng)成同一個坐標(biāo)系，當(dāng)?shù)毒弋a(chǎn)生前傾角α和側(cè)傾角β時，即刀具坐標(biāo)系沿著X 軸和Z 軸分別旋轉(zhuǎn)了α和β角度，故分別有如下旋轉(zhuǎn)矩陣：

因此，從工件坐標(biāo)系到刀具坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)矩陣為

1.2 銑削力建模

對一般的銑削力進(jìn)行建模，通常的處理方法是將球頭銑刀微元化，本文采用Altintas 銑削力模型對銑削力進(jìn)行研究[9]

式中：dFt，dFr，dFa——微元上所受的單位切向力，單位徑向力，單位軸向力；Ktc，Krc，Kac——切向力銑削力系數(shù)，徑向力銑削力系數(shù)和軸向力銑削力系數(shù)；Kte，Kre，Kae——切向力刃口力系數(shù)，徑向力刃口力系數(shù)和軸向力刃口力系數(shù)；dS——微元長度，hd——瞬時切削厚度，hd=fzsinφsinχ，其中fz表示刀具的進(jìn)給率；db——微元的高度，

對3 個銑削力系數(shù)和3 個刃口力系數(shù)的計算是銑削力建模的關(guān)鍵，銑削力系數(shù)和刃口力系數(shù)主要通過實(shí)驗(yàn)法測得，下面簡述其原理。

給定接觸角、軸向切削深度，改變每齒進(jìn)給量，做銑削實(shí)驗(yàn)，獲取每個銑刀周期內(nèi)的平均銑削力。為避免刀具偏心的影響，可以先測量主軸轉(zhuǎn)一圈之后的總切削力，再除以銑刀刀齒數(shù)。

式中：φp——齒間角，φp=2π/N；φ——微元的瞬時齒位角；b1，b2——微元高度的上下限。

X，Y，Z 三個方向的瞬時銑削力可以表示為

將式（6）和式（7）聯(lián)立，可得到x，y，z三個方向的平均銑削力。

根據(jù)式（3），平均銑削力又可以表示為

將式（10）代入式（8），即可求得銑削力系數(shù)和刃口力系數(shù)。

綜上，將式（3）微元銑削力模型中所有的參數(shù)作了說明和求解。故單個微元上的銑削力沿x，y，z 三個方向的分量為

故由式（2）、（3）、（12）可得，瞬時銑削力在x，y，z 三個方向的分量為

式中：V——銑刀與工件接觸部分。

1.3 動態(tài)銑削過程建模

對于柔性刀具-剛性工件系統(tǒng)，可以將銑削過程看成一個多自由度的彈簧-阻尼系統(tǒng)，如圖3 所示。

圖3 銑削系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of milling system

五軸球頭銑削系統(tǒng)可以看成是X，Y，Z 三個方向的彈簧-阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動微分方程可以表示為

式中：x（t），y（t），z（t）——刀具在x，y，z 三個方向上的瞬時振動位移；m，c，k——質(zhì)量，阻尼和剛度。

目前，在時域內(nèi)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較難實(shí)現(xiàn)，因?yàn)闀r域微分方程尤其是高階微分方程很難求解，常用的方法是利用頻率法來研究系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性。

對等式兩邊進(jìn)行整理，可得

式中：H（s）——傳遞函數(shù)。

令s=jω，可得在頻域內(nèi)的動態(tài)銑削模型如下：

式中：Φ（jω）——頻率響應(yīng)函數(shù)或者傳遞函數(shù)。

系統(tǒng)在t 時刻的振動矢量可以表示為

同理，系統(tǒng)在上一個周期即t-T 時刻的振動矢量為

故

在頻域內(nèi)達(dá)到臨界狀態(tài)，即振動頻率為顫振頻率ωc時，此時的振動又可以在頻域內(nèi)表示為

對式（3）式進(jìn)行處理，可得動態(tài)銑削力的另一種表達(dá)形式：

將式（24）代入到式（25）中可得

為方便計算，可將所有的已知量設(shè)為[A0]，令式（26）的行列式的值為0，即可得閉環(huán)銑削系統(tǒng)的特征方程

1.4 頻率響應(yīng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換

加工過程中，銑刀自身做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，工件自身做進(jìn)給運(yùn)動，因此刀具-工件結(jié)合部的振動在嚙合坐標(biāo)系中可以表示為

其中，ΦE即為刀具-工件結(jié)合部的頻率響應(yīng)函數(shù)。

同理，工件和刀具在各自的頻域內(nèi)傳遞函數(shù)為

刀具-工件結(jié)合部的相對振動由二者疊加而成

刀具-工件結(jié)合部的銑削力

由式（31）可知，刀具-工件結(jié)合部的頻率響應(yīng)函數(shù)與刀具傾角有關(guān)。

1.5 銑削穩(wěn)定性判定

銑削穩(wěn)定性的判定，特別是穩(wěn)定葉瓣圖（LOBE 圖）的繪制主要用到頻域法和時域法。在頻域內(nèi)如果一個閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，它的充要條件是該系統(tǒng)的特征方程的根全部在復(fù)平面的左半平面。當(dāng)然，直接解出特征方程的特征根仍然是不現(xiàn)實(shí)的，利用頻域法能減少很大的計算量[10]。

將式（31）代入式（27）中可得

對于三階系統(tǒng)而言，假設(shè)它的3 個根全在復(fù)平面的左側(cè)，則當(dāng)wc由0 逐漸變?yōu)椤迺r，系統(tǒng)的特征方程又可以寫成

相角沿著逆時針的變化為

若3 個根有一個跟在復(fù)平面的右側(cè)，此時，2 個在復(fù)平面左側(cè)的根引起的相角變化為π，在復(fù)平面右側(cè)的根引起的相角變化為，總的相角變化為而并非

通過頻域法得出一系列的顫振頻率wc，即可求得對應(yīng)的臨界軸向切削深度：

而主軸轉(zhuǎn)速可以通過刀齒周期T 求得

1.6 小結(jié)

根據(jù)以上分析，對變軸向銑削穩(wěn)定性分析的大致步驟如圖4 所示。

圖4 銑削穩(wěn)定性判定流程圖Fig.4 Flow chart of milling stability judgment

2 結(jié)論

五軸球頭銑削加工過程由于球頭銑刀的靈活性，使得可變的加工參數(shù)增加了前傾角α和側(cè)傾角β。本文首先定義了工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系來分別描述球頭銑刀的刀軸位置和銑刀自身的參數(shù)，并且給出了2 個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣；其次，使用微元法對銑削力進(jìn)行建模，并且對銑削過程進(jìn)行建模；最后，使用傅里葉變換將銑削過程數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換到頻域內(nèi)，利用頻域法對銑削穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。