趙千惠 張維忠

【摘? ?要】分?jǐn)?shù)是抽象、復(fù)雜的概念?；诳鐚W(xué)科教學(xué)的視角，展現(xiàn)了4個“用音樂藝術(shù)教授分?jǐn)?shù)”的成功案例，介紹如何實施多種模式教學(xué)，直觀展現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義;如何巧妙利用音符時值，厘清分?jǐn)?shù)基本性質(zhì);如何借助圖示音符分解過程，凸顯運算實用價值;如何通過視覺享受光學(xué)藝術(shù)，實現(xiàn)“三數(shù)”間的轉(zhuǎn)化。并基于案例的解讀，對小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)提出三點建議：要注重多維度剖析不同層級分?jǐn)?shù)的意義;要深入挖掘數(shù)學(xué)思想方法在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的重要價值;要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)教學(xué);數(shù)學(xué)與音樂;跨學(xué)科

小學(xué)分?jǐn)?shù)知識是整數(shù)概念的拓展，深層次理解分?jǐn)?shù)概念能夠增強學(xué)生解決現(xiàn)實世界問題的能力;掌握分?jǐn)?shù)知識結(jié)構(gòu)是學(xué)生以后學(xué)習(xí)小數(shù)、比、統(tǒng)計與概率及基本代數(shù)運算等的基礎(chǔ)[1]。分?jǐn)?shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，常被視為最抽象、最復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，也是一些小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出真正困難的實際起點，并由此在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了兩極分化。[2]在我國的小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)中，很多教師對分?jǐn)?shù)知識的理解多基于運算法則的運用，缺乏對分?jǐn)?shù)概念各個知識點之間聯(lián)系的整體認(rèn)識，從而在一定程度上對學(xué)生的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)造成影響。譬如，學(xué)生對單位“1”、平均分、分?jǐn)?shù)單位等子概念理解模糊;在解決分?jǐn)?shù)概念問題（連續(xù)量和離散量）時面臨困難，認(rèn)為等值分?jǐn)?shù)不等值[3]，無法體會分?jǐn)?shù)運算的實際應(yīng)用價值，未能正確審視分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)聯(lián)等。同時，分?jǐn)?shù)教學(xué)中所蘊含的等價類、轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法也未能引起教師足夠的重視，由此錯失了一次實施“四基”教學(xué)的寶貴機會。由此可見，如何有效地促進我國當(dāng)前小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)是一個值得關(guān)注的問題?；诳鐚W(xué)科教學(xué)的視角，筆者通過評介國外“用音樂藝術(shù)教授分?jǐn)?shù)”的成功案例[4-7]，嘗試挖掘數(shù)學(xué)和音樂藝術(shù)之間的關(guān)聯(lián)，以期為我國小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)提供借鑒與啟示。

一、實施多種模式教學(xué)，直觀展現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義

【案例1】課程伊始，教師以生動形象的語言表述和豐富直觀的視頻素材為學(xué)生描述數(shù)學(xué)和音樂間的密切關(guān)聯(lián)，充分調(diào)動學(xué)生的探索熱情，營造良好的課堂教學(xué)氛圍。緊接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶音樂課上已學(xué)過的音樂及相關(guān)術(shù)語，如節(jié)拍、小節(jié)、五線譜、音符及時值等概念，以學(xué)生已有的知識作為生長點，建立學(xué)科間的聯(lián)系。需要說明的是，我國小學(xué)音樂課程中多采用數(shù)字簡譜進行教學(xué)，而本文所涉及案例中采用的五線譜操作性相對更強，故教師就需要對此進行必要補充或做出適當(dāng)調(diào)整。

（設(shè)計意圖：建立學(xué)科間的關(guān)聯(lián)，給予學(xué)生多重感官體驗，站在嶄新的視角審視分?jǐn)?shù)概念及平均分、單位“1”、分?jǐn)?shù)單位等子概念，擴寬學(xué)生的思維廣度。）

在此鋪墊下，教師要為學(xué)生提供分?jǐn)?shù)的視覺、聽覺及觸覺表征，讓其參與分?jǐn)?shù)的生成過程，以不同的方式實現(xiàn)多感官層面的直觀體驗及知識內(nèi)化。譬如，教師可以讓學(xué)生接受不同音符時值的聽覺體驗，重構(gòu)分?jǐn)?shù)的形成過程。若把全音符的時值看作一個整體，二分音符時值是其一半，則將全音符時值平均分為兩份，取其中的一份即為二分音符的時值長度，故可用[12]表示二分音符的時值，以此類推。之后，通過剪紙活動生成觸覺表征，若一張正方形彩色卡紙代表一個全音符，要求學(xué)生分別剪出代表二分音符、四分音符及八分音符的卡片。再如，針對分?jǐn)?shù)形成的聽覺及視覺表征，Tara Julia Hamilton等學(xué)者在數(shù)學(xué)和音樂中提取了“整體”這一思想要素，分別對應(yīng)于一個圓或其他幾何圖形和單一小節(jié)?；诖?，開發(fā)了XronoBeat軟件，該軟件能夠?qū)崿F(xiàn)音樂節(jié)奏的生成以及節(jié)拍的可視化，有助于探索和生成多層次的節(jié)奏和旋律循環(huán)。教師可通過設(shè)定不同的節(jié)奏，改變圓外有規(guī)則間隔的大小及圓內(nèi)扇形區(qū)域的面積，幫助學(xué)生認(rèn)識到平均分是指各部分所占地位相同，并非各部分的顏色、形狀、大小等均需完全一致;分?jǐn)?shù)單位的選取是靈活多變的，分子中的“1”代表1份，而不是1個，同時學(xué)會通過旋轉(zhuǎn)、平移重組圖形。教師還可以讓學(xué)生動手改變節(jié)奏、節(jié)拍和樂器聲音，切身體驗分?jǐn)?shù)和生成節(jié)奏之間的關(guān)聯(lián)。

需要強調(diào)的是，除了上述不同音符時值、XronoBeat軟件建立的分?jǐn)?shù)概念的連續(xù)量情境外，教師還應(yīng)該充分利用分實物等活動構(gòu)建離散量情境，使學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知逐漸從具體轉(zhuǎn)化為抽象。此外，教師可與學(xué)生共同探討拍號為4/4拍的小節(jié)與拍號為3/4拍的小節(jié)的異同，打破對單位“1”的刻板印象，體會數(shù)學(xué)中的“整體”思想。

二、巧妙利用音符時值，厘清分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)

【案例2】教師首先說明不同音符時值及其所對應(yīng)的節(jié)拍，建立不同音符之間的等價轉(zhuǎn)換，即1個全音符=2個二分音符=4個四分音符=8個八分音符=16個十六分音符=32個三十二分音符（見圖1）。以拍手活動為例，若學(xué)生拍手四次表示全音符，那么拍手兩次表示二分音符，拍手一次表示四分音符，而雙手在合上或者張開過程中的持續(xù)時間就是八分音符的相對時值。

（設(shè)計意圖：基于學(xué)生對分?jǐn)?shù)的已有認(rèn)知，以基本樂理知識教學(xué)、數(shù)學(xué)游戲、小組討論和班級交流分享為主線，師生共同探究如何借助音符時值厘清分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。）

至此，教師應(yīng)給予學(xué)生充足的思考與探討時間交流個人發(fā)現(xiàn)，其后給出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。相比之下，一些國外教材把分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)稱為等值分?jǐn)?shù)，更加直觀且易于理解，符合學(xué)生的認(rèn)知特點。而在我國現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)教學(xué)下，在比較兩個等值分?jǐn)?shù)的大小時，學(xué)生常誤以為分母比較大的分?jǐn)?shù)，其值也比較大，或?qū)W生能機械地比較分?jǐn)?shù)的大小，但要求學(xué)生有意義地解釋如何比較分?jǐn)?shù)大小卻是很困難的。而本案例依托音符時值等價圖，將不同分?jǐn)?shù)間的等價關(guān)系悉數(shù)盡顯，能夠輔助學(xué)生掌握等值分?jǐn)?shù)同量不同名的特征，降低上述問題發(fā)生的概率，不迷失于對規(guī)則的機械掌握。

同時，圖1還可進一步抽象，延伸至線段模型。這是一個半抽象模型，是圓模型和其他平面模型的“再抽象”[8]。在數(shù)射線上對分?jǐn)?shù)進行幾何表征，豐富了等值分?jǐn)?shù)表征的內(nèi)涵，幫助學(xué)生理解測量意義層面的分?jǐn)?shù)。譬如，在驗證[12=48]時，學(xué)生不僅可以利用分?jǐn)?shù)關(guān)于商的定義算出其值均等于0.5，也可以借助數(shù)射線及等分圓模型建立二者的等價關(guān)系。另外，由于音樂學(xué)科的特殊性，本文案例中所出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)分母均是偶數(shù)，故教師還應(yīng)提供分母是奇數(shù)的情況以進行適當(dāng)補充。

此外，需彌補現(xiàn)有教學(xué)在教授等值分?jǐn)?shù)內(nèi)容過程中對轉(zhuǎn)換、等價類等思想方法滲透的缺失。教師可以讓學(xué)生盡可能多地寫出“與2個四分音符所持續(xù)時間相等的等價類音符”，強調(diào)同一事物有多種表示方式并把其歸為一類，將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和分類思想方法結(jié)合起來。而這種等值分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化，自然就滲透著轉(zhuǎn)換的思想方法。

三、圖示音符分解過程，凸顯運算實用價值

【案例3】首先，教師借助圖1，讓學(xué)生進行“誰先覆蓋分?jǐn)?shù)條”的數(shù)學(xué)游戲，即學(xué)生拋擲一個標(biāo)有單位分?jǐn)?shù)的骰子，如[12，14，18，116]，其中部分分?jǐn)?shù)使用多次。當(dāng)學(xué)生擲骰子時，需將出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)對應(yīng)到不同時值的音符上并用相應(yīng)卡片覆蓋，其間可根據(jù)需要靈活移動自己已有的卡片，直到某一分?jǐn)?shù)條被完全覆蓋，率先覆蓋一個等價于全音符的分?jǐn)?shù)條即贏得比賽。學(xué)生在此階段尚未正式學(xué)習(xí)同異分母的分?jǐn)?shù)加減運算法則，但是此游戲給予了學(xué)生一個產(chǎn)生直觀體驗的學(xué)習(xí)機會，通過平移、拼接卡片等實操手段，切身感知分?jǐn)?shù)間的加減運算，與后續(xù)學(xué)習(xí)結(jié)合產(chǎn)生更好的教學(xué)效果。

（設(shè)計意圖：這一游戲使學(xué)生理解并掌握同異分母的分?jǐn)?shù)加減運算規(guī)則，并解決與音樂相關(guān)的實際問題，讓學(xué)生體會到分?jǐn)?shù)加減運算的實際應(yīng)用價值，提升學(xué)生聯(lián)系實際以及解決問題的能力。）

其后，教師以“音符運算題”（兩個音符相加減）為例拋出問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進行問題的轉(zhuǎn)述，從音符加減到分?jǐn)?shù)加減，并歸納總結(jié)出一般運算規(guī)律，實現(xiàn)音樂與數(shù)學(xué)的完美嫁接。圖2展示了[58-12]的運算過程。而只重視運算規(guī)則的教學(xué)必然是不可取的，會導(dǎo)致學(xué)生忽視分?jǐn)?shù)加減的實際意義，出現(xiàn)盲目把數(shù)量加法當(dāng)作比例加法處理等諸多錯誤。而本案例通過圖示音符分解過程，動態(tài)演示了分?jǐn)?shù)間的換算過程，有助于學(xué)生形成清晰的解題思路。

最后，教師要為學(xué)生創(chuàng)建解決實際問題的情境，凸顯應(yīng)用價值，增強學(xué)習(xí)成就感。譬如，圍繞“每首音樂作品都是由小節(jié)構(gòu)成的，不同長度的音符必須與某一節(jié)拍所規(guī)定的小節(jié)相適應(yīng)”這一主題，教師可要求學(xué)生用兩種不同時值的音符創(chuàng)建新的小節(jié)并拍手表演，也可以以學(xué)生熟悉的某一首歌曲片段為例，課前將部分音符做遮擋處理，要求學(xué)生復(fù)原其中用紅色問號表示的被作曲家誤刪的音符。此情境的設(shè)置切中學(xué)生的興趣點，不僅能夠活躍課堂氛圍，還恰到好處地體現(xiàn)了所學(xué)知識的價值所在，使學(xué)生在這樣的跨學(xué)科課堂中流連忘返。

四、視覺享受光學(xué)藝術(shù)，實現(xiàn)“三數(shù)”間的轉(zhuǎn)化

【案例4】一直以來，在分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系，實現(xiàn)“三數(shù)”之間的靈活轉(zhuǎn)化，對于學(xué)生來說是一個重難點。在人教版教材五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”的最后一小節(jié)中，設(shè)計了分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化這一內(nèi)容，其后，在六年級上冊引入了百分?jǐn)?shù)的概念，并在下冊突出百分?jǐn)?shù)在真實生活情境中的表現(xiàn)形式?？梢?，教材的安排層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，但是對于三者之間的區(qū)別與聯(lián)系沒有做過于細(xì)致的對比與闡述，留有一定空白，這也就為教師提供了充足的實現(xiàn)教學(xué)創(chuàng)新的機會和發(fā)揮空間。教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對三者進行橫向比較，展現(xiàn)它們的異同點，著重強調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。

（設(shè)計意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過識別網(wǎng)格的彩色部分，對分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等數(shù)學(xué)概念做可視化處理，厘清并掌握概念之間的關(guān)聯(lián)和區(qū)別，站在藝術(shù)家的視角學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并創(chuàng)建屬于自己的光學(xué)藝術(shù)。）

對此，教師需站在學(xué)生的視角，以其易于理解的方式，厘清數(shù)學(xué)概念之間縱橫交織的脈絡(luò)。而視覺上的直觀沖擊對于小學(xué)階段的學(xué)生來說無疑是其最樂于接受的方式之一，故可以此為突破口。譬如，二十世紀(jì)美國藝術(shù)家Ellsworth Kelly使用了一個網(wǎng)格系統(tǒng)，將各種暖色調(diào)和冷色調(diào)彼此相對放置，以在畫布上產(chǎn)生光學(xué)效果。教師可以從中尋找靈感，為學(xué)生提供10[×]10的方塊網(wǎng)格，要求學(xué)生用三種及以上的顏色為網(wǎng)格著色或粘貼彩色小色塊以完成自己的美術(shù)作品，之后統(tǒng)計每種顏色的個數(shù)并分別用分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)表示所占比重。在學(xué)生創(chuàng)作的同時，不斷播放各種藝術(shù)家的作品以作為靈感的來源。其后，教師還可以向?qū)W生發(fā)起8[×]8或11[×]11網(wǎng)格的挑戰(zhàn)，在進行檢驗時必然會出現(xiàn)所得數(shù)據(jù)加起來不足1或100%的情況，抓住時機引導(dǎo)學(xué)生思考原因，跨越無限小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化的這一障礙。此外，教師還可以額外引入學(xué)生熟悉的貨幣系統(tǒng)，讓學(xué)生以填表的方式鞏固“三數(shù)”轉(zhuǎn)化的規(guī)律，如給出48%，要求寫出對應(yīng)的分?jǐn)?shù)、小數(shù)、等值人民幣金額。在本案例的教學(xué)過程中，教師需幫助學(xué)生打破知識在學(xué)生頭腦中的割裂狀態(tài)，正確審視已學(xué)知識之間的密切關(guān)聯(lián)。

五、對小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的三點建議

基于國外“用音樂藝術(shù)教授分?jǐn)?shù)”的四個成功案例，結(jié)合我國小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的現(xiàn)存問題，從數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的視角，對小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)談三點建議。

第一，注重多維度剖析不同層級分?jǐn)?shù)意義?，F(xiàn)有的教學(xué)正是缺失了對分?jǐn)?shù)意義的分層理解，才導(dǎo)致學(xué)生在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)時出現(xiàn)了種種問題。教師須在不同的學(xué)習(xí)階段，考慮到學(xué)生的認(rèn)知特點，順其自然地為學(xué)生講解不同意義下的分?jǐn)?shù)概念。本文所述四個案例以跨學(xué)科教學(xué)的模式，從多個維度出發(fā)，涉及分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義、商的定義以及測量的定義[9]，相比于現(xiàn)有的小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)，更大程度地發(fā)揮學(xué)生的理解力和想象力，使其理解數(shù)學(xué)例證中的隱含意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。

第二，挖掘數(shù)學(xué)思想方法在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的重要價值。在小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)教學(xué)中，需要著重滲透等價類、轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法。張奠宙教授曾指出，等價類是分類思想方法的引申，“等價類”這個名詞不一定要說出來，但是對小學(xué)生來說，必須知道一個事物可以有多種表示[10]，教學(xué)中就需要有這種潛移默化的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。除了用“一個人可以有不同的裝束，但實質(zhì)為同一人”為例說明等價類思想方法的內(nèi)涵，案例二中依托音符，構(gòu)造等價類音符時值，站在不同的視角闡述這種數(shù)學(xué)思想方法，以此收獲更好的教學(xué)效果，同時也有助于數(shù)學(xué)教育的多樣性敘事。

第三，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)雖在不同年級教授，但是三者之間確是密切聯(lián)系的。主動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，對小學(xué)段的學(xué)生來說存在一定難度，故教師在此過程中發(fā)揮的作用就顯得尤為重要。通過課堂中的適當(dāng)引導(dǎo)及對知識的深入挖掘，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的敏感度。諸如案例四，以光學(xué)藝術(shù)為載體，把“三數(shù)”置于同一層面進行橫向比較，直觀拼接學(xué)生腦海中的分塊知識，使之印象深刻，為之后建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)及進行知識遷移提供可靠樣例。

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（浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院? 321004）